Formula per i numeri primi: differenze tra le versioni

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Una '''formula per i numeri primi''' è un'espressione che consenta di distinguere nell'ambito degli interi positivi tutti i [[numero primo|numeri primi]] e solo essi. La ricerca di una tale formula è stata perda secoli l'obiettivo di tanti studiosi, sia professionisti che dilettanti, mae finora non è nota alcuna formula semplice di questo tipo. Per contro negli ultimi decenni lo studio dei numeri primi si è servito sempre più sistematicamente di attività sperimentali condotte con il computer.

Per avere un'idea del problema, è bene chiarire che è semplice trovare una funzione o una classe di funzioni che generi un'infinità numerabile di numeri primi, a partire da una [[variabile (matematica)|variabile]] che è un numero naturale o un numero primo: la difficoltà è trovare una funzione che generi ''esclusivamente'' numeri primi, e in secondo luogo, che li generi tutti. Ad esempio la funzione

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*estensione della variabile indipendente: generare un'infinità numerabile di numeri primi;

*esclusività (rispetto alla variabile indipendente): generare solamente numeri primi e nessun [[numero composto]];

*generalità (rispetto alla variabile indipendente): generare ''tutti'' i numeri primi superiori a un certo valore (numero primo, dispari, o meglio naturale e intero), anziché un sottoinsieme di numeri primi;

*estensione (del dominio) della variabile indipendente: generare numeri primi a partire dall'insieme più vasto possibile di valori (numeri naturali o meglio interi, anche negativi), piuttosto che da un sottoinsieme (''x'' numero dispari o numero primo)

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Il [[teorema di Dirichlet]] afferma invece che questa proprietà vale per ogni polinomio di primo grado ''an+b'', nel caso che ''a'' e ''b'' siano [[interi coprimi|coprimi]]. Il [[teorema di Green-Tao]] migliora questo risultato, affermando che per ogni ''k'' esiste un ''L''(''n'')=''an+b'' che assume valori primi per ''n'' che varia da 0 a ''k''-1. Il miglior risultato noto è per ''k''=25:

:<math>6171054912832631 + 366384 \cdot \left( \prod_{p \leq 23} p \right) \cdot n=6171054912832631 + 81737658082080n</math> <ref>{{cita web|url=http://hjem.get2net.dk/jka/math/aprecords.htm|autore=Jens Kruse Andersen|titolo="Primes in Arithmetic Progression Records|accesso=2009.06.23|urlmorto=sì|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20080222221046/http://hjem.get2net.dk/jka/math/aprecords.htm|dataarchivio=22 febbraio 2008}}</ref>

dove <math>\prod_{p \leq 23} p</math> indica il prodotto di tutti i primi minori o uguali a 23.

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| 12 || 13697 || Matijasevič ||1976||

|-

| 10 || circa {{expM|1,6|e=45}} || Matijasevič ||1976||Minor numero di variabili (non esplicitato)

|}

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Il [[teorema di Mills]] afferma che esiste una costante <math>\theta</math> (detta [[costante di Mills]]) tale che

:<math>\lfloor \theta^{3^n}\rfloor</math>

(dove <math>\lfloor x \rfloor</math> indica la [[parte intera]] di ''x'') è sempre un numero primo per ogni scelta di ''n''. Non si conosce nessuna formula semplice per il calcolo della costante di Mills θ; le approssimazioni attualmente utilizzate si basano sulla sequenza dei cosiddetti primi di Mills (i numeri primi generati tramite questa formula). Assumendo per vera l'[[ipotesi di Riemann]], è stato possibile calcolare fino a 7000 cifre decimali di questa costante.<ref>[httphttps://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL8/Caldwell/caldwell78.pdf La dimostrazione di Caldwell e Cheng]</ref>

Un'altra formula, fornita da [[Edward M. Wright|Wright]], che genera solo primi per ''n'' ≥ 1, è

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:<math>\pi(m) =\sum_{j=2}^m \left\lfloor \frac{(j-1)! + 1}{j} - \left\lfloor\frac{(j-1)!}{j}\right\rfloor \right\rfloor</math>

La formula porta ad una formula diretta per l<nowiki>{{'</nowiki>}}''n''-esimo numero primo:

:<math>p_n = 1 + \sum_{m=1}^{2^n}\left\lfloor \left\lfloor\frac{n}{1 + \pi(m)} \right\rfloor^\frac{1}{n}\right\rfloor.</math>

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== Altre formule ==

[[Godfrey Harold Hardy|Hardy]] e [[Edward M. Wright|Wright]]<ref>{{Cita libro | cognome=Hardy | nome=Godfrey Harold | coautori=Edward Maitland Wright | anno=1979 | titolo=An Introduction to the Theory of Numbers | url=https://archive.org/details/introductiontoth00hard | ed=5 | editore=Clarendon Press | città=Oxford | isbn=0-19-853171-0 }}</ref> forniscono la formula

:<math>p_n=1+\sum_{j=1}^{2^n} f(n,\pi(j))</math>

Riga 124:

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

*{{MathWorld|PrimeFormulas|Formule per i numeri primi}}

{{portale|matematica}}