Algoritmo di Dijkstra: differenze tra le versioni

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{{nota disambigua|l'algoritmo per la [[mutua esclusione]] in sistemi concorrenti, detto anche "algoritmo di proiezione di Dijkstra"|la voce [[algoritmoAlgoritmo di Dekker]]}}

{{Avvisounicode}}

{{nota disambigua|l'algoritmo per la [[mutua esclusione]] in sistemi concorrenti, detto anche "algoritmo di proiezione di Dijkstra"|la voce [[algoritmo di Dekker]]}}

{{Algoritmo

|classe = [[Algoritmo di ricerca]]

|immagine = Dijkstra Animation.gif

|didascalia = Esecuzione dell'algoritmo di Dijkstra

|struttura dati = [[Grafo (tipo di dato astratto)|Grafo]]

|tempo = <math>O(|E| + |V| \log|V|)</math><ref>[{{Cita web|url=http://ieeexplore.ieee.org/xpl/articleDetails.jsp?arnumber=715934 IEEE Xplore - |titolo=Fibonacci Heaps And Their Uses In Improved Network Optimization Algorithms<!-- Titolo generato automaticamente -->]}}</ref>

|tempo migliore =

|tempo medio =

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|completo =

}}

L<nowiki>{{'</nowiki>}}'''algoritmo di Dijkstra''' è un [[algoritmo]] utilizzato per cercare i [[cammini minimi]] in un [[grafo]] con o senza ordinamento, ciclico e con pesi non negativi sugli archi. Fu inventato nel 1956 dall'informatico olandese [[Edsger Dijkstra]] che lo pubblicò successivamente nel 1959.

Tale algoritmo trova applicazione in molteplici contesti quale l'ottimizzazione nella realizzazione di reti (idriche, [[telecomunicazioni]], stradali, circuitali, ecc.) o l'organizzazione e la valutazione di percorsi runtime nel campo della [[robotica]].

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==Pseudocodice==

Nel seguente algoritmo, il codice <code>u := vertici in ''Q'' con la più breve dist[]</code>, cerca per dei verticinodi <code><var>u</var></code> nell'insieme dei verticinodi <code><var>Q</var></code> che hanno il valore <code>dist[<var>u</var>]</code> più piccolo. Questi verticinodi sono rimossi dall'insieme <code><var>Q</var></code> e restituiti all'utente. <code>dist_betweendist_tra(<var>u</var>, <var>v</var>)</code> calcola la distanza tra due nodi vicini <code><var>u</var></code> e <code><var>v</var></code>. La variabile <code><var>alt</var></code> nelle linee 20 22 rappresenta la lunghezza del percorso dal nodo iniziale al nodo vicino <code><var>v</var></code> se passa da <code><var>u</var></code>. Se questo percorso è più corto dell'ultimo percorso registrato per <code><var>v</var></code>, allora il percorso corrente è rimpiazzato dal percorso identificato con <code><var>alt</var></code>. L'array <code>precedente</code> è popolato con un puntatore al nodo successivo del grafo sorgente per ricevere il percorso più breve dalla sorgente.

1 '''function''' Dijkstra(''Grafo'', ''sorgente''):

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3 dist[''v''] := infinito ; ''// Distanza iniziale sconosciuta''

4 ''// dalla sorgente a v''

5 precedente[''v''] := non definita ; ''// Nodo precedente in un percorso ottimale''

6 '''end for''' ''// dalla sorgente''

7

8 dist[''sorgente''] := 0 ; ''// Distanza dalla sorgente alla sorgente''

9 ''Q'' := L'insieme di tutti i nodi nel ''Grafo'' ; ''// Tutti i nodi nel grafo sono''

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15 '''break''' ; ''// tutti i vertici rimanenti sono''

16 '''end if''' ''// inaccessibili dal nodo sorgente''

17

18 '''For each''' neighbour ''v'' di ''u'': ''// dove v non è ancora stato''

19 ''// rimosso da Q.''

20 ''alt'' := dist[''u''] + dist_tra(''u'', ''v'') ;

21 '''if''' ''alt'' < dist[''v'']: ''// Rilasciaquesta condizione e' sempre false se (u,v,a) e' gia stato rimosso da Q''

22 dist[''v''] := ''alt'' ;

23 precedente[''v''] := ''u'' ;

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28 '''return''' dist;

Se siamo interessati solo al percorso minimo tra due verticinodi <code><var>sorgente</var></code> e <code><var>destinazione</var></code>, possiamo terminare la ricerca alla riga 13 se <code><var>u</var> = <var>destinazione</var></code>.

Adesso possiamo leggere il percorso più breve da <code><var>sorgente</var></code> a <code><var>destinazione</var></code> tramite un'iterazione inversa:

1 ''S'' := sequenza vuota

2 ''u'' := ''destinazione''

3 '''while''' precedente[''u''] è definito: ''// Costruisci il cammino minimo con uno stack S''

4 inserisci ''u'' all'inizio di ''S'' ''// Esegui il push del vertice sullo stack''

5 ''u'' := precedente[''u''] ''// Traverse da destinazione a sorgente.''

6 '''end while''' ;

Adesso la sequenza <code><var>S</var></code> è la lista dei verticinodi che costituiscono un cammino minimo da <code><var>sorgente</var></code> a <code><var>destinazione</var></code>, o la sequenza vuota se non ci sono percorsi minimi esistenti.

== Tempo di esecuzione ==

IlLa tempo[[Teoria didella complessità computazionale|complessità esecuzionecomputazionale]] dell'algoritmo di Dijkstra può essere espressoespressa in funzione di <math>|V|</math> ed <math>|E|</math> ossia, rispettivamente, il numero di verticinodi e degli archi appartenenti al grafo sul quale viene eseguito. L'algoritmo utilizza una [[coda di priorità,]] implementatasu attraversocui unvengono Min-Heapeffettuate tre operazioni: la costruzione della coda, Max-Heapl'estrazione odell'elemento minimo e la riduzione del valore di un alberoelemento. Red-BlackLa [[struttura dati]] utilizzata per l'implementazione della coda di priorità determina la complessità di queste tre operazioni e, di conseguenza, quella dell'algoritmo.

In generale, la complessità, <math>T_D(G)</math>, dell'algoritmo di Dijkstra è limitata superiormente da

In questo caso dunque il tempo di esecuzione può essere espresso nella forma:

:<math>OT_D(G) = \biglTheta(|EV|) + T_B(|V|) + |V| * T_E(|V|) + |E| * T_U(|V^2|\bigr)</math>

dove <math>T_B(|V|)</math>, <math>T_E(|V|)</math> e <math>T_U(|V|)</math> sono le complessità necessarie alle operazioni di costruzioni di una coda con <math>|V|</math> elementi, estrazione del minimo da una coda con <math>|V|</math> elementi e la riduzione di un valore in una coda con <math>|V|</math> elementi.

Assumendo che il grafo sia generico vale l'approssimazione <math>|E| = O(|V^2|)</math> e dunque il tempo di esecuzione può essere riscritto come:

Di seguito sono riportate le complessità di <math>T_B(|V|)</math>, <math>T_E(|V|)</math>, <math>T_U(|V|)</math> e dell'algoritmo di Dijkstra nel caso in cui le code di priorità siano implementate tramite array, [[Heap binario|heap binarie]] o [[heap di Fibonacci]].

<math>O\bigl(|E|+|V^2|\bigr) = O\bigl(|V^2|\bigr)</math>

{| class="wikitable"

Possiamo quindi concludere affermando che il tempo di esecuzione dell'algoritmo di Dijkstra è proporzionale al quadrato del numero dei vertici appartenenti al grafo sul quale viene eseguito.

|+Complessità dell'algoritmo di Dijkstra in funzione dell'implementazione della coda di priorità

! !! Costruire la coda !! Estrarre il minimo !! Ridurre un valore !! Algoritmo di Dijkstra

|-

! Arrays

| <math>\Theta(|V|)</math> || <math>O(|V|)</math> || <math>\Theta(1)</math> || <math>O(|V|^2+|E|)</math>

|-

! [[Heap binario|Heap binarie]]

| <math>\Theta(|V|)</math> || <math>O(\log_2 |V|)</math> || <math>O(\log_2 |V|)</math> || <math>O((|V|+|E|) \log_2 |V|)</math>

|-

! [[Heap di Fibonacci]]

| <math>\Theta(|V|)</math> || <math>O(\log_2 |V|)</math><ref name="ammortizata">Analisi ammortizzata</ref> || <math>\Theta(1)</math><ref name="ammortizata"/> || <math>O(|V|\log_2 |V| + |E|)</math><ref name="ammortizata" />

|}

È interessante notare che, nel caso in cui il grafo '''non''' sia sufficientemente sparso e <math>|E| \in \Omega( |V|^2 / \log_2 |V| )</math>, la soluzione basata sugli array è più efficiente di quella implementata tramite le [[Heap binario|heap binarie]].

== Esempio ==

Alla base di questi problemi c'è lo scopo di trovare il percorso minimo (più corto, più veloce, più economico…) tra due punti, uno di partenza e uno di arrivo. Con il metodo che si vedrà è possibile ottenere non solo il percorso minimo tra un punto di partenza e uno di arrivo ma l'[[albero dei cammini minimi]], cioè tutti i percorsi minimi tra un punto di partenza e tutti gli altri punti della rete. Come per praticamente tutti i problemi riguardanti le reti la cosa migliore è fare una schematizzazione della situazione per risolvere l'esercizio più agevolmente e avere sempre a disposizione i dati necessari. Una buona schematizzazione per i problemi di percorso minimo deve includere tutti i possibili collegamenti tra i nodi (e i relativi costi) e deve essere fissato un nodo di partenza.

Con il metodo che vedremo è possibile ottenere non solo il percorso minimo tra un punto di partenza e uno di arrivo ma l'[[albero dei cammini minimi]], cioè tutti i percorsi minimi tra un punto di partenza e tutti gli altri punti della rete.

Come per praticamente tutti i problemi riguardanti le reti la cosa migliore è fare una schematizzazione della situazione in cui ci troviamo per risolvere l'esercizio più agevolmente e avere sempre a disposizione i dati necessari.

Una buona schematizzazione per i problemi di percorso minimo deve includere tutti i possibili collegamenti tra i nodi (e i relativi costi) e deve essere fissato un nodo di partenza.

ConsideriamoSi consideri un problema in cui si vuole calcolare il percorso minimo tra casa e il posto di lavoro. SchematizziamoSi schematizzino tutti i possibili percorsi e il relativo tempo di percorrenza (supponendo di voler calcolare il percorso più breve in fatto di tempo di percorrenza). I nodi A, B, C, D, E indicano le cittadine per cui è possibile passare. Ecco una schematizzazione della rete:

[[File:Ricerca operativa percorso minimo 01.gif|center]]

DobbiamoBisogna ora assegnare a ogni nodo un valore, che chiameremochiamato “potenziale”, seguendo alcune regole:

<div style="float:center; width:80%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">

* Ogni nodo ha, all'inizio potenziale <math>+ \infty</math> (che indichiamo con “inf”);

Line 109 ⟶ 118:

* Quando si aggiorna il potenziale di un nodo si lascia quello minore (essendo un problema di percorso minimo).

</div>

VediamoSi in praticaveda come si risolve questo esercizio nella pratica. Questa è la rete in cui sono indicati anche i potenziali:

[[File:Ricerca operativa percorso minimo 02.gif|center]]

Seguendo le regole appena fissate consideriamosi consideri il nodo con potenziale minore (“casa”) e lo rendiamosi renda definitivo (colorandolo di rosso) e aggiorniamosi aggiornino tutti i nodi adiacenti sommando l'attuale valore del potenziale (ovvero zero) al costo del percorso. AggiorniamoSi aggiornino i potenziali perché avevamosi aveva, nel caso di A, potenziale infinito mentre ora abbiamoil potenziale è 2. Ricordando che il potenziale minore è sempre preferibile. VediamoEcco come si è aggiornata la rete:

[[File:Ricerca operativa percorso minimo 03.gif|center]]

Bisogna ora considerare il nodo non definitivo (ovvero quelli scritti in nero) con potenziale minore (il nodo A). Lo si rende definitivo e si aggiornano i potenziali dei nodi adiacenti B e C. IndichiamoSi indichi con una freccia da dove proviene il potenziale dei nodi resi definitivi.

[[File:Ricerca operativa percorso minimo 04.gif|center]]

Il nodo con potenziale minore ora è C. lo si rende definitivo e si aggiornano quelli adiacenti.

[[File:Ricerca operativa percorso minimo 05.gif|center]]

Va notato come il nodo D abbia ora potenziale 6 in quanto 6 è minore di 8 e quindi lo si aggiorna. Se avessimosi avutofosse ottenuto un valore maggiore di quello che già c'era losi avremmosarebbe lasciatodovuto lasciare invariato. Si renda definitivo il nodo D e si aggiorni il grafico:

Rendiamo definitivo il nodo D e aggiorniamo il grafico:

[[File:Ricerca operativa percorso minimo 06.gif|center]]

Il nodo con potenziale minore restante è B e lo si rende definitivo aggiornando di conseguenza il grafico:

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== Altri progetti ==

{{interprogetto|commonspreposizione=Dijkstrasull's algorithm}}

{{Algoritmi ricerca grafi}}

{{Portale|informatica|matematica}}

[[Categoria:Algoritmi di ottimizzazione|Dijkstra]]