Distribuzione beta-binomiale: differenze tra le versioni

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In [[teoria delle probabilità]] la '''distribuzione beta-binomiale''' è una famiglia di [[distribuzione di probabilità|distribuzioni di probabilità]] [[Distribuzione discreta|discrete]] che può essere vista come generalizzazione della [[distribuzione binomiale]] e della distribuzione [[distribuzione Beta]]. Descrive la distribuzione del numero di successi su ''<math>n''</math> esperimenti [[indipendenza statistica|indipendenti]] di tipo sì/no, ma, contrariamente alla distribuzione Binomiale, la probabilità di successo non è un parametro π noto, ma è un valore incerto distribuito come una [[variabile casuale Beta]] B<math>\Beta(a,b).</math> Si tratta infatti di una [[Mistura di distribuzioni|mistura]] di Binomialibinomiali in cui il parametro π ha distribuzione Beta.

La distribuzione beta-binomiale dipende da tre parametri: ''<math>n'', ''a'', ''b''.</math>

== Definizione ==

Se ''<math>X''~BeB\sim \mathrm{BetaBin}(n,a,b)</math> è una variabile casuale distribuita come una variabile casuale beta-binomiale con i parametri ''<math>n'',</math> ''<math>a'',</math> ''<math>b'',</math> allora per <math>x \ge 0</math>

:<math>P(X=x) = C {n \choose x} \Gamma(a+x) \Gamma(b+n-x),</math>

dove la costante ''C'' è data da

dove la costante ''<math>C''</math> è data da

:<math>C = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b) \Gamma (a+b+n)}</math>

e <math>\Gamma( )</math> è la [[funzione gamma]].

e <math>\Gamma( )</math> è la [[funzione gamma]].

Un modo alternativo per descrivere la BeB(n,a,b) è dato da

:<math>P(X=x) = {n \choose x} \frac{\Beta(a+x , b+n-x)}{\Beta (a, b)}</math>

doveUn modo alternativo per descrivere la <math>\Betamathrm{BetaBin}( n,a,b)</math> è la [[funzione beta didato Eulero]].da

:<math>P(X=x) = {n \choose x} \frac{\Beta(a+x , b+n-x)}{\Beta (a, b)},</math>

dove <math>\Beta</math> è la [[funzione beta di Eulero]].

== Caratteristiche ==

Il [[valore atteso]] dipende da tutti e tre i parametri

:<math>\mathrm{E}(X) = n \frac{a}{a+b},</math>

così come pure la [[varianza]]

:<math>Var(X) = n \frac{a b}{(a+b)^2} \frac{a+b+n}{a+b+1}</math>

l'asimmetria viene indicata con

:<math>(a + b + 2 n)\frac{b-a}{a+b+2} \sqrt{\frac{1+a+b}{n a b (n+a+b)}}</math>

:=<math>(a + b + 2 n)\frac{b-a}{a+b+2}\ \frac{1}{a+b} \sqrt{\frac{1}{Var(X)}}</math>

:<math>\mathrm{Var}(X) = n \frac{a b}{(a+b)^2} \frac{a+b+n}{a+b+1}.</math>

Utilizzando la notazione <math>p=\frac{a}{a+b}</math> il valore atteso e la varianza possono essere descritti in una forma che ricorda quella della variabile casuale binomiale.

:<math>E(X) = n \frac{a}{a+b} = n p</math>

:<math>Var(X) = n \frac{a b}{(a+b)^2} \frac{a+b+n}{a+b+1} = n p (1-p) \frac{a+b+n}{a+b+1}</math>

dalla quale si nota che a parità di valore atteso (ed ''n'') la variabile casuale beta-binomiale ha sempre una varianza maggiore della variabile casuale binomiale.

e lL'asimmetria viene indicata con

:<math>\frac{1-2p}{\sqrt{Var(X)}} \frac{a + b + 2 n}{a + b + 2}</math>

:<math>= \frac{1-2p}{\sqrt{n p (1-p)}} \frac{a + b + 2 n}{a + b + 2} \sqrt{\frac{a + b + 1}{a + b + n}}</math>

:<math>(a + b + 2 n)\frac{b-a}{a+b+2} \sqrt{\frac{1+a+b}{n a b (n+a+b)}}=(a + b + 2 n)\frac{b-a}{a+b+2}\ \frac{1}{a+b} \sqrt{\frac{1}{\mathrm{Var}(X)}}.</math>

e così anche in questo caso diventa evidente come l'asimmetria della beta-binomiale sia sempre maggiore dell'asimmetria della binomiale, a parità valore atteso (ed ''n'').

Utilizzando la notazione <math>p=\frac{a}{a+b},</math> il valore atteso e la varianza possono essere descritti in una forma che ricorda quella della variabile casuale binomiale.:

:<math>\mathrm{E}(X) = n \frac{a}{a+b} = n p;</math>

:=<math>\mathrm{Var}(aX) + b + 2= n) \frac{b-a b}{(a+b+)^2}\ \frac{1a+b+n}{a+b+1} \sqrt{= n p (1-p) \frac{1a+b+n}{Var(X)}a+b+1}.</math>

dallaDalle qualeprecedenti si nota che a parità di valore atteso (ed ''<math>n''</math>) la variabile casuale beta-binomiale ha sempre una varianza maggiore della variabile casuale binomiale.

lL'asimmetria viene indicata con

:<math>\frac{1-2p}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)}} \frac{a + b + 2 n}{a + b + 2}= \frac{1-2p}{\sqrt{n p (1-p)}} \frac{a + b + 2 n}{a + b + 2} \sqrt{\frac{a + b + 1}{a + b + n}}.</math>

e così ancheAnche in questo caso diventa evidente come l'asimmetria della beta-binomiale sia sempre maggiore dell'asimmetria della binomiale, a parità valore atteso (ed ''<math>n''</math>).

== Casi particolari ==

Nel caso che <math>a=1</math> e <math>b=1,</math> allora si tratta di una [[variabile casuale uniforme discreta]] con <math>P(X=x)=1/(n+1)</math> essendoci <math>n+1</math> valori possibili.

== Ambiti di applicazione ==

La variabile casuale beta-binomiale è idonea a descrivere fenomeni solitamente descritti dalla variabile casuale binomiale, qualora però la probabilità di successo nella singola prova sia incerta, perchèperché inferita dai dati passati.

Un possibile caso è quello di prevedere in senso probabilistico quante lampadine si fulminano entro 1 anno dall'installazione sapendo che la probabilità che si fulminino non è uguale per tutte, ma è descritta da una variabile casuale Beta.

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== Esempi ==

=== Probabilità di estrarre ''X'' palline rosse da un'urna della quale si conosce solo approssimativamente la composizione ===

==== Un modello ====

Nell'ambito dell'[[inferenza bayesiana]], da un'urna della quale si ignora il numero di palline presenti ma che da estrazioni precedenti risulta che vi siano una percentuale di palline rosse che varia come una variabile casuale <math>\Beta(a,b),</math> dovranno essere estratte (e ogni volta reinserite) ''<math>n''</math> palline. Ci si chiede quale sia la probabilità che ''<math>x''</math> di queste siano rosse. La risposta sta nella variabile casuale BetaB<math>\mathrm{BetaBin}(n,a,b).</math>

==== Esempio numerico ====

Partendo da un concetto di completa ignoranza che ci porta a descrivere la distribuzione a priori come una variabile casuale uniforme continua e dunque come una <math>\Beta(1,1)</math> vengono estratte 15 palline, delle quali solo una è rossa. In questo modo la probabilità a posteriori diventa una variabile casuale <math>\Beta(1+1,1+14)=\Beta(2,15).</math>

A questo punto si decide di fare un'ulteriore estrazione di 40 palline e ci si chiede quale sia la probabilità che esattamente due di queste siano rosse.

Essendo in questa seconda estrazione la probabilità <math>P(X=x)</math> quella di una variabile casuale BetaB<math>\mathrm{BetaBin}(40,2,15)</math> si ottiene che

:<math>P(X=2 | n=40, a=2, b=15) = C {40 \choose 2} \Gamma(2+2) \Gamma(15+40-2),</math>

dove

:<math>C = \frac{\Gamma(2+15)}{\Gamma(2) \Gamma(15) \Gamma (2+15+40)},</math>

ed essendo <math>{40 \choose 2} = 780</math> e inoltre essendo in generale <math>\Gamma(k) = (k-1)!</math> e pertanto

:<math>\Gamma(2) = 1</math>

:<math>\Gamma(4) = 6</math>

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si ottiene

:<math>P(X=2 | n=40, a=2, b=15) = \frac{16!}{1 \ 14! \ 56!} (780 \ 6 \ 52!) = </math>

::<math>= 780 \ 6 \ \frac{16!}{14!} \ \frac{54!}{56!} = \frac{780}{53} \ \frac{6}{54} \ \frac{15}{55} \ \frac{16}{56} = </math>

::<math> = \frac{260}{53} \ \frac{2}{77} = 0,12741975 = 12,74\%.</math>

[[File:BetaBinomVsBinom.svg|upright=1.4|thumb|Le due variabili casuali usate nell'esempio]]

Questo risultato è diverso da quello che si sarebbe ottenuto utilizzando come probabilità di successo la stima puntuale, vale a dire la semplice proporzione ottenuta nella prima serie di estrazioni (1/15 = 6,67%) e applicando per la seconda la variabile casuale binomiale <math>B(n=40,p=1/15).</math> In questo caso si sarebbe ottenuto <math>P(X=2 | n=40, p=1/15) = 25,19%.</math>

Il grafico mette in evidenza il fatto che la variabile casuale <math>B(n=40,p=1/15)</math> è molto più "stretta" della BetaB<math>\mathrm{BetaBin}(40,2,15),</math> ciò è dovuto al fatto che nell'approccio bayesiano non ci si "dimentica" che vi è un'incertezza su quale sia la vera proporzione di palline rosse e questa incertezza rende probabili anche valori più "distanti".

=== Scelta bayesiana tra due modelli: Estrazione da un'urna: determinare a quale urna nota corrisponda un'urna ===

=== Scelta bayesiana tra due modelli: Estrazione da un'urna:, determinare a quale urna nota corrisponda un'urna ===

* Di un'urna si sa che una percentuale ignota di palline sono rosse.

* Si sa che l'urna è o l'urna <math>A</math> oppure l'urna <math>B.</math>

* Dall'urna <math>A</math> sono state estratte in passato 10 palline, delle quali 2 rosse (dunque il 20%), .

* mentreMentre dall'urna <math>B</math> in passato su 15 palline estratte 10 erano rosse (pari al 67%).

* Nulla fa pensare che l'urna in questione sia l'urna <math>A</math> piuttosto che l'urna <math>B.</math>

* Né dell'urna <math>A,</math> né dell'urna B si conosce il numero complessivo di palline.

* dallDall'urna in questione vengono estratte 50 palline, delle quali 12 sono rosse (il 24%).

Domande

* qual è la probabilità che l'urna in questione sia l'urna <math>A</math>?

* qual è la distribuzione a posteriori della percentuale di palline rosse?

* qual è la probabilità che dall'urna in questione alla prossima estrazione di 10 palline, neanche una volta esca una rossa?

Nell'ambito dell'inferenza bayesiana si può dire pertanto che:

* la probabilità a priori che l'urna in questione sia l'urna <math>A</math> è pari a <math>P(U=A)=1/2</math> e di conseguenza <math>P(U=B)=1-P(U=A)=1/2;</math>

* per l'urna <math>A,</math> grazie all'estrazione di 10 palline, delle quali 2 rosse, la distribuzione a posteriori della percentuale di palline rosse è una variabile casuale Beta <math>\Beta(a_A=1+2,b_A=1+10-2)</math>, nel caso che la distribuzione a priori sia una rettangolare, equivalente ad una <math>\Beta(1,1);</math>

* analogamente per l'urna <math>B,</math> la distribuzione a posteriori è una <math>\Beta(a_B=1+10,b_B=1+15-10).</math>

Per procedere è necessario fare ricorso alla variabile casuale beta-binomiale, infatti sapendo che su 50 palline estratte 12 sono rosse, si può calcolare la probabilità <math>P(U=A|X=12,n=50)</math> che si tratti dell'urna <math>A,</math> nel seguente modo:

:<math>P(U=A|X=x,n)=\frac{P(U=A) BetaB\mathrm{BetaBin}(X=x,n,a_A,b_A)}{P(U=A) BetaB\mathrm{BetaBin}(X=x,n,a_A,b_A) + BetaBP(U=B) \mathrm{BetaBin}(X=x,n,a_B,b_B)}</math>

che grazie al fatto che <math>P(U=B)=1-P(U=A)=1/2=P(U=A)</math> si semplifica ottenendo:

:<math>P(U=A|X=x,n)=\frac{ \mathrm{BetaBin}(X=x,n,a_A,b_A)}{ \mathrm{BetaBin}(X=x,n,a_A,b_A) + \mathrm{BetaBin}(X=x,n,a_B,b_B)}.</math>

tenutoTenuto conto dei valori dell'esempio, si calcola

:<math>BetaB\mathrm{BetaBin}(X=12,n=50,a_A=2,b_A=9) = 0,04499198;</math>

Per procedere è necessario fare ricorso alla variabile casuale beta-binomiale, infatti sapendo che su 50 palline estratte 12 sono rosse, si può calcolare la probabilità <math>P(U=A|X=12,n=50)</math> che si tratti dell'urna A, nel seguente modo

:<math>P(U=A|X=x,n)=\fracmathrm{P(U=A) BetaBBetaBin}(X=x12,n=50,a_Aa_B=11,b_A)}{P(Ub_B=A6) BetaB(X=x,n,a_A,b_A) + P(U=B) BetaB(X=x0,n,a_B,b_B)}0007276656;</math>

:<math>P(U=A|X=12,n=50)=\frac{ 0,04499198}{0,04499198 + 0,0007276656 }=\frac{ 0,04499198}{0.04571965 } = 0,984084 = 98,4\%.</math>

che grazie al fatto che P(U=B)=1-P(U=A)=1/2=P(U=A) si semplifica ottenendo

:<math>P(U=A|X=x,n)=\frac{ BetaB(X=x,n,a_A,b_A)}{ BetaB(X=x,n,a_A,b_A) + BetaB(X=x,n,a_B,b_B)}</math>

Ciò vuol dire che la probabilità che l'urna in questione sia l'urna <math>A</math> è del 98,4%. Questo risultato è comprensibile, visto che il 24% dell'urna ignota è molto più prossimo al 20% dell'urna <math>A</math> che non al 67% dell'urna <math>B.</math>

tenuto conto dei valori dell'esempio, si calcola

:<math>BetaB(X=12,n=50,a_A=2,b_A=9) = 0,04499198</math>

:<math>BetaB(X=12,n=50,a_B=11,b_B=6) = 0,0007276656</math>

:<math>P(U=A|X=12,n=50)=\frac{ 0,04499198}{0,04499198 + 0,0007276656 }=\frac{ 0,04499198}{0.04571965 } = 0,984084 = 98,4\%</math>

ciò vuol dire che la probabilità che l'urna in questione sia l'urna A è del 98,4%.

Questo risultato è comprensibile, visto che il 24% dell'urna ignota è molto più prossimo al 20% dell'urna A che non al 67% dell'urna B.

Tenuto conto delle prime due estrazioni (quando le urne erano note) e l'estrazione dall'urna della quale si era perso il nome, e del fatto che al 98,4% l'urna in questione è l'urna <math>A,</math> ma che c'è pur sempre una probabilità dell'1,6% che si tratti dell'urna <math>B,</math> la percentuale di palline rosse in questa urna della quale non si sa quale delle due sia viene descritta dalla mistura delle due variabili casuali <math>\Beta(n,a=a_i,b=b_i)</math> (con <math>i=A,B</math>) ponderate con le probabilità <math>P(U=i|X=x,n).</math>

Una volta nota tale mistura di variabili casuali è possibile calcolare la probabilità che alla prossima estrazione di 10 palline neanche una sia rossa. Par fare ciò è necessario fare ricorso a tecniche di [[calcolo numerico]].