Matrice 2 per 2: differenze tra le versioni

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{{W|matematica}}

Le '''Matricimatrici quadrate di ordine 2''' (o ''[[matrici]] di aspetto 2 × 2'', o ''matrici di due righe e due colonne''), coprono un ruolo importante nell'[[analisi matematica]] e nella [[fisica]]. Tra le caratteristiche principali, esse rappresentano una [[trasformazione lineare]] dello [[spazio vettoriale]] bidimensionale e forniscono un metodo di soluzione dei sistemi di due [[equazioni lineari]] in due incognite.

== Notazioni intercambiabili ==

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Per presentare certi fatti su matrici e vettori conviene servirsi di scritture con deponenti per riuscire ad avere espressioni con combinazioni di indici facilmente dominabili. In altri momenti invece si ottengono formule più chiare servendosi di lettere senza indici.

L'adozione di notazioni intercambiabili può risultare pesante; essa però risulta utile in una un'esposizione piuttosto estesa nella quale si vogliono presentare e confrontare molti oggetti e molti fatti matematici. Questo sembra il caso della presente esposizione.

Per i vettori di R² useremo quindi notazioni equivalenti date da uguaglianze come

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\end{pmatrix}

</math>

== Matrici e trasformazioni lineari ==

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</math>

La trasformazione individuata è lineare. Questo si dimostra rielaborando l'applicazione di A alla generica [[combinazione lineare]] di vettori

:<math> A\left[h \mathbf{x} + k \mathbf{z}\right]

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== Matrici e trasformazioni di proiezioni e riflessioni ==

È utile passare in rassegna un buon numero di matrici 2 &times; 2 chiarendo le caratteristiche delle corrispondenti trasformazioni lineari.

La matrice che fornisce la trasformazione più semplice è la [[matrice identità]] o ''matrice unità'' di ordine 2:

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I nomi sono giustificati dal fatto che le corrispondenti trasformazioni

proiettaniproiettano ogni vettore rispettivamente sul primo asse ''Ox'' e sul secondo asse ''Oy'':

<math>

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</math>

Vediamo gli effetti delle altre due matrici 2 &times; 2 con una entrata uguale a 1 e le altre nulle:

<math>

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</math>

Esse hanno l'effetto di una proiezione seguita dallo scambio degli assi. Esse, facendo riferimento alla [[Notazione bra-ket|notazione di Dirac]], vengono dette ''ket-bra'' e si possono denotare significativamente:

Esse, facendo riferimento alla notazione di Dirac, vengono dette ''ket-bra'' e si possono denotare significativamente:

<math>

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A questo punto si possono individuare facilmente altre riflessioni del piano

R² e altre matrici involutorie, cioè matrici che moltiplicate per se stesse danno la matrice identità <math>\,\mathrm{Id}_2\,</math>.

Riflessione rispetto all'asse ''Ox'':

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<math>\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix} </math>

Riflessione rispetto alla bisettrice <math>\,y = -x\,</math>:

<math>\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ -x \end{pmatrix} </math>

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\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} |k| & 0 \\ 0 & |k| \end{pmatrix}</math>

Le matrici proporzionali all'identità costituiscono un particolare sottoinsieme di una un'importante classe di matrici, le [[matrice diagonale|matrici diagonali]]: esse sono le matrici che presentano entrate non nulle solo sulla [[diagonale principale]]. Osserviamo in particolare le azioni delle seguenti matrici diagonali a entrate positive:

<math>\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x \\ 3y \end{pmatrix}

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</math>

<div align="center"><math>

\begin{pmatrix} -h & 0 \\ 0 & -k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} h & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

</math></centerdiv>

Si osserva che una matrice 2 &times; 2 diagonale trasforma i punti del cerchio di raggio 1 nei punti della ellisse con centro nell'origine e avente come assi ''Ox'' e ''Oy''.

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e l'azione che esercita sopra un vettore con le coordinate cartesiane espresse mediante coordinate polari piane

e l'azione della matrice che segueSisegue. Si considera la matrice

<math>\mathrm{Rot}_\theta :=

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</math>

La matrice quindi rappresenta la rotazione dei vettori del piano di un angolo &<math>\theta</math>;.

Si osservino i casi particolari

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\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

</math>

. . . .

== Slittamenti ==

Si consideri l'azione della seguentaseguente matrice particolare sopra il generico vettore piano

<math>\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y/2 \\ y \end{pmatrix}

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== Determinanti e aree con segno ==

{{vedi anche|Determinante (algebra)}}

Il determinante di una matrice 2 &times; 2 si definisce come

:<math> \det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} := ad-bc </math>

Il determinante isi può considerare una funzione che ad una matrice quadrata sui reali associa un [[numero reale]]. Si trova che esso esprime l'area del parallelogramma ottenuto dalla trasformazione del quadrato di base avente vertici (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1). Quest'area va considerata con segno e si intende che abbia il segno positivo se i vertici ottenuti con la trasformazione, (0,0), (a,c), (a+b,c+d) e (b,d) si susseguono in modamodo da lasciare i punti interni alla sinistra, e abbia il segno negativo in caso contrario.

La dimostrazione di questo fatto per via di geometria analitica segue dalla interpretazione della seguente identità algebrica:

Riga 358 ⟶ 354:

* Matrix simulator: http://www.falstad.com/matrix/

{{WPortale|matematica}}

[[Categoria:Matrici quadrate|2 x 2]]