Insieme complemento: differenze tra le versioni

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Nella [[teoria degli insiemi]] e in altri campi della [[matematica]], esistonoil due tipi'''complemento''' di un insieme è l''insieme degli elementi che non appartengono a quell'insieme. Gli insiemi complemento''', ilsi dividono nei '''complementocomplementi relativorelativi''' (dettodetti anche '''insieme differenza''') e ilnei '''complementocomplementi assolutoassoluti'''.

{{F|matematica|febbraio 2012}}

Nella [[teoria degli insiemi]] e in altri campi della [[matematica]], esistono due tipi di '''insieme complemento''', il '''complemento relativo''' (detto anche '''insieme differenza''') e il '''complemento assoluto'''.

== Complemento relativo ==

[[ImmagineFile:Venn0010.svg|thumb|Il complemento relativo (o la differenza) di ''<math>A''</math> rispetto a ''<math>B''</math>:<br><math>~B \setminus A~~~~=~~~~A^c \cap B</math>]]

Avendo due insiemi <math>A</math> e <math>B</math>, il '''complemento''' di ''<math>A</math> rispetto a <math>B</math>'' o l''''insieme differenza''' ''<math>B</math> meno <math>A</math>'', è formato dai soli elementi di <math>B</math> che non appartengono ad <math>A</math>. Esso si indica solitamente come <math>B\setminus A</math> oppure come <math>\,\!B - A</math>. Formalmente abbiamo:

:<math>B\setminus A = B - A = \{ x \in B \wedge x \notin A \}</math>

Si noti che l'insieme differenza ''<math>B - A''</math> è un [[sottoinsieme]] dell'insieme ''<math>B''</math>.

=== Esempi ===

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=== Proposizioni ===

Se ''<math>A''</math>, ''<math>B''</math> e ''<math>C''</math> sono insiemi, allora valgono le seguenti [[Identità (matematica)|identità]]:

:*<math>C - \left ( A \cap B \right ) = \left ( C - A \right ) \cup \left ( C - B \right )</math>

:*<math>C - \left ( A \cup B \right ) = \left ( C - A \right ) \cap \left ( C - B \right )</math>

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== Complemento assoluto ==

[[ImmagineFile:Venn1010.svg|thumb|Il complemento assoluto <math>A^c</math> (in rosso) di ''<math>A''</math> (in bianco):<br><math>~A^c~~~~=~~~~\emptysetvarnothing^c \setminus A</math>]]

Il complemento assoluto è un caso particolare del complemento relativo.

[[ImmagineFile:Csg difference.png|frame|right|Differenza tra un cubo e una sfera parzialmente sovrapposti]]

Se è definito un [[insieme universo]] '''<math>U'''</math>, si definisce complemento assoluto di ''<math>A''</math> come il complemento relativo di ''<math>A''</math> rispetto ad '''<math>U'''</math>. Formalmente abbiamo:

:<math>A^c = \neg A = U - A = \{ x \in U \text{ e\ } x \notin A \}</math>

Il complemento assoluto, indicato anche come ''~<math>\sim A''</math>, rappresenta anche il NOT nell'[[algebra Booleana]].

A titolo di esempio, se l’insiemel'insieme universale è l’insiemel'insieme dei [[numeri naturali]], allora il complemento dell’insiemedell'insieme dei numeri dispari è l’insiemel'insieme dei numeri pari.

La prossima proposizione riporta alcune proprietà fondamentali del complemento assoluto in rapporto alle operazioni insiemistiche di unione e intersezione.

'''PROPOSIZIONE 2''': Se ''<math>A''</math> e ''<math>B''</math> sono sottoinsiemi di un [[insieme universo]] '''<math>U'''</math>, allora valgono le seguenti identità:.

:[[leggiLeggi di De Morgan]]:

::*<math>(A\cup B)^c=A^c \cap B^c;</math>

::*(''A'' ∪&nbsp;''B'')^C &nbsp;=&nbsp;''A''^C ∩&nbsp;''B''^C

::*<math>(A\cap B)^c=A^c \cup B^c.</math>

::*(''A'' ∩&nbsp;''B'')^C &nbsp;=&nbsp;''A''^C ∪&nbsp;''B''^C

:Leggi di complementarità:

::*<math>A \cup A^c=U;</math>

::*''A'' ∪&nbsp;''A''^C&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;'''U'''

::*<math>A \cap A^c=\varnothing;</math>

::*''A'' ∩&nbsp;''A''^C&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;Ø

::*<math>\varnothing^c=U;</math>

::*Ø^C&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;'''U'''

::*<math>U^c=\varnothing;</math>

::*'''U'''^C&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;Ø

::*Se ''<math>A''⊆''\subseteq B''</math>, allora ''B''<supmath>C</sup>⊆''B^c\subseteq A''<sup>C^c</supmath> (ciò segue dall’equivalenzadall'equivalenza di una proposizione condizionale con la proposizione [[contronominale]]).

:[[Involuzione]] o legge del doppio complemento:

::*<math>(A^c)^c=A.</math>

::*(''A''^C)^C&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''A''.

:Relazioni tra complemento relativo e complemento assoluto:

::*<math>A-B=A\cap B^c;</math>

::*''A''&nbsp;−&nbsp;''B'' = ''A''&nbsp;∩&nbsp;''B''^C

::*<math>(A-B)^c=A^c \cup B.</math>

::*(''A''&nbsp;−&nbsp;''B'')^C = ''A''^C&nbsp;∪&nbsp;''B''

Le prime due leggi di complementarità mostrano che se ''<math>A''</math> è un sottoinsieme non vuoto di '''<math>U'''</math>, allora <math>\{''A'', ''A''<sup>C^c\}</supmath>} è una [[partizionePartizione (teoria degli insiemi)|partizione]] di '''<math>U'''</math>.

== Bibliografia ==

* {{cita libro|Seymour|Lipschutz|Topologia|1979|Etas Libri|Sonzogno}}

*{{en}} Paul Halmos (1960): ''Naive set theory'', D. Van Nostrand Company. Ristampato da Springer nel 1974, ISBN 0-387-90092-6.

*{{fr}} [[Nicolas Bourbaki]] (1968): ''Théorie des ensembles'', Hermann.

==Voci correlate==

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* [[Teoria degli insiemi]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Teoria degli insiemi}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Teoria degli insiemi]]

[[Categoria:Operazioni binarie]]