Linearità (matematica): differenze tra le versioni

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{{NN|matematica|gennaio 2024}}

La '''linearità''' in [[matematica]] è una relazione che intercorre fra due o più enti matematici. Intuitivamente, due quantità sono in relazione lineare se tra loro sussiste una qualche forma di [[proporzionalità diretta]]: per esempio, la legge <math>A = 3B\,</math> correla linearmente ''A'' e ''B'' (se ''B'' raddoppia, anche ''A'' raddoppia). Il significato esatto di ''linearità'' dipende tuttavia dal contesto in cui il termine viene adoperato.

In [[matematica]], la '''linearità''' è una relazione che intercorre fra due o più enti matematici. Intuitivamente, due quantità sono in relazione lineare se tra loro sussiste una qualche forma di [[proporzionalità diretta]].

Ad esempio, la legge <math>A = 2B</math> correla linearmente <math>A</math> e <math>B</math>: se <math>B</math> raddoppia, anche <math>A</math> raddoppia. Il significato esatto del termine "linearità" dipende tuttavia dal contesto in cui il termine viene adoperato.

== Definizioni ==

=== Relazione lineare tra vettori ===

== Relazione lineare tra vettori ==

In [[algebra]], ''n'' [[vettore (matematica)|vettori]] <math>\mathbf v_1,\mathbf v_2, \cdots \mathbf v_n</math> appartenenti a uno [[spazio vettoriale]] definito sul [[corpo (matematica)|corpo]] <math>\mathcal K</math> si dicono ''[[dipendenza lineare|linearmente dipendenti]]'' se intercorre tra di essi una relazione del tipo

In [[algebra]], ''n'' [[vettore (matematica)|vettori]] <math>\mathbf v_1,\mathbf v_2, \cdots \mathbf v_n</math> appartenenti a uno [[spazio vettoriale]] definito sul [[corpo (matematica)|corpo]] <math>\mathcal K</math> sono [[dipendenza lineare|linearmente dipendenti]] se intercorre tra di essi una relazione del tipo:

:<math> a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_n \mathbf v_n = \mathbf 0</math>

dove <math>a_1, a_2, \cdots, a_n \in \mathcal K</math> non sono tutti nulli.<ref>Il [[vettore nullo]] <math>\mathbf 0</math> è ''[[indipendenza lineare|linearmente dipendente]]'', poiché vale ad esempio la relazione <math>1\lambda \mathbf 0 = \mathbf 0</math>.</ref>; seSe invece l'eguaglianza è soddisfatta solo per <math>a_1 = \ldots = a_n = 0</math>, si dice che i vettori sono ''linearmente indipendenti''. Se un vettore <math>\mathbf v</math> può essere scritto nel modo seguente:

:<math> \mathbf v = a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_n \mathbf v_n </math>,

si dice cheallora <math>\mathbf v</math> è una ''[[combinazione lineare]]'' dei vettori <math>\mathbf v_1,\mathbf v_2, \cdots \mathbf v_n</math>. In particolare, lo spazio <math>\mathcal{L}(\mathbf v_1, \cdots, \mathbf v_n)</math> delle combinazioni lineari dei vettori <math>\mathbf v_1, \cdots, \mathbf v_n</math> prende il nome di [[sottospazio generato]] da tali vettori, ed è un [[sottospazio vettoriale]] dello spazio di cui questi vettori fanno parte. È immediato dimostrare che un vettore <math>\mathbf v</math> è combinazione lineare di <math>\mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_n</math> [[se e solo se]] i vettori <math>\mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_n, \mathbf v</math> sono linearmente dipendenti.

=== Applicazioni lineari ===

{{vedi anche|Trasformazione lineare}}

Un'[[applicazione]] <math>f: V \to W</math> definita da un <math>\mathcal{K}</math>-[[spazio vettoriale]] <math>V</math> a un <math>\mathcal{K}</math>-spazio <math>W</math> è ''lineare'' se, per ogni elementocoppia di elementi <math>x</math> e <math>y</math> appartenenti a <math>V</math> su cui agisce la funzione, e per ogni [[scalare]]coppia di scalari <math>\lambda</math> e <math>\mu</math> per cui tale funzione può essere moltiplicata, vale la relazione:

:<math>f(\lambda x + \mu y)\, = \lambda f(x)\, + \mu f(y)\,</math>.

:<math>f(\lambda x + \mu y)\, = \lambda f(x)\, + \mu f(y)</math>

Più in generale, un'applicazione che preservi le leggi di composizione tra due insiemi dotati della stessa [[struttura algebrica|struttura]] è detto [[omomorfismo]]; a seconda della struttura definita su tali insiemi, si parla quindi di [[omomorfismo di gruppi]], [[omomorfismo di anelli|di anelli]], [[trasformazione lineare|di spazi vettoriali]] (''vedi sopra'') e [[omomorfismo di algebre|di algebre]].

In generale, un'applicazione che preservi le leggi di composizione tra due insiemi dotati della stessa [[struttura algebrica|struttura]] è detto [[omomorfismo]]. A seconda della struttura definita su tali insiemi si parla quindi di [[omomorfismo di gruppi]], [[omomorfismo di anelli|di anelli]], di spazi vettoriali e [[omomorfismo di algebre|di algebre]].

Un'applicazione in <math>n</math> variabili <math>f : V_1 \times \ldots \times V_n \to W</math> (dove i <math>V_i</math> sono <math>\mathcal K</math>-spazi vettoriali) che sia lineare in tutte le sue variabili:

Una funzione in <math>n</math> variabili <math>f : V_1 \times \ldots \times V_n \to W</math> (dove i <math>V_i</math> sono <math>\mathcal K</math>-spazi vettoriali) che sia lineare in tutte le sue variabili:

:<math>f(\mathbf x + \mathbf y) =f(\mathbf x) + f(\mathbf y) \quad \quad \quad \quad \quad \forall \mathbf x, \mathbf y \in V_1 \times \ldots \times V_n</math>,

:<math>f(a_1\mathbf x_1,x + \ldots,mathbf a_n x_ny) = a_1 f(\ldotsmathbf x) a_n+ f(x_1, \ldots,mathbf x_ny) \quadqquad \forall a_1\mathbf x, \ldotsmathbf a_ny \in V_1 \mathcaltimes K\ldots \times V_n</math>,

:<math>f(a_1 x_1, \ldots, a_n x_n) = a_1 \ldots a_n f(x_1, \ldots, x_n) \qquad \forall a_1, \ldots a_n \in \mathcal K</math>

è detta ''multilineare''. Ad esempio, il [[prodotto scalare euclideo]] è un'applicazione multilineare (nello specifico, ''bilineare'').

è detta [[Applicazione multilineare|multilineare]]. Ad esempio, il [[prodotto scalare|prodotto scalare euclideo]] è una [[forma bilineare]].

=== Equazioni lineari ===

==== Equazioni algebriche ====

{{vedi anche|Equazione lineare}}

== Equazioni lineari ==

Un'[[equazione algebrica]] in ''n'' incognite <math>x_1, x_2, \cdots, x_n</math> si dice ''lineare'' se è della forma

=== Equazioni algebriche ===

{{vedi anche|Equazione lineare}}

Un'[[equazione algebrica]] in ''n'' incognite <math>x_1, x_2, \cdots, x_n</math> si dice lineare se è della forma:

:<math> a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n - b = 0 </math>

dove i coefficienti (costanti) <math>a_i</math> non sono tutti nulli. Equivalentemente, un'equazione algebrica nell'incognita <math>\mathbf x = (x_1, \cdots, x_n)^T</math> è detta ''lineare'' se esisteesistono un [[vettore]] <math>\mathbf a = (a_1, \cdots, a_n)^T \in \mathcal{K}^n</math>, (dove <math>\mathcal K</math> è un campo[[Campo (matematica)|campo]], e un elemento <math>b \in \mathcal K</math> per cui si può scrivere:

:<math>\mathbf a \cdot \mathbf x = b</math>,

dove ilIl simbolo <math>\cdot</math> denota il [[prodotto scalare]] ordinario definito sullo spazio <math>\mathcal K^n</math>.

Un'equazione lineare può ammettere o meno soluzioni a seconda del campo a cui si richiede appartengano le componenti di <math>\mathbf x</math>. Segnatamente, unUn'equazione lineare ammette sempre soluzioni nel campo [[numeri razionali|razionale]] se sono razionali i coefficienti <math>a_1, \ldots, a_n, b</math>, o nel campo [[numeri reali|reale]] se i coefficienti sono reali. Queste soluzioni si ottengono ponendo a [[parametro (matematica)|parametro]] tutte le incognite tranne quella rispetto alla quale si risolve;. adAd esempio, se <math>a_1 \ne 0</math>, l'equazione di cui sopra ammette l'insieme di soluzioni:

:<math>\begin{cases} x_1 = - \frac{1}{a_1} \left(a_2 t_2 + \cdots + a_n t_n + b\right) \\ x_2 = t_2 \\ \vdots \\ x_n = t_n \end{cases}</math>

Riga 48 ⟶ 50:

dove si sono definiti i parametri liberi <math>t_i = x_i</math>.

==== EquazioniSistemi differenzialidi equazioni ====

{{vedi anche|EquazioneSistema differenzialedi lineareequazioni lineari}}

Un sistema lineare di equazioni algebriche è una collezione di ''m'' equazioni lineari, ciascuna nelle ''n'' incognite <math>x_1, \cdots, x_n</math>, le cui soluzioni sono soluzioni di tutte le equazioni del sistema. Equivalentemente, l'insieme delle soluzioni del sistema è l'[[intersezione (insiemistica)|intersezione]] degli insiemi di soluzioni di tutte le equazioni. A ogni sistema lineare può essere associata una [[matrice]] <math>A</math> di dimensione <math>m \times n</math>, il cui elemento <math>a_{ij}</math> rappresenta il coefficiente dell<nowiki>'</nowiki>''i''-esima equazione nella ''j''-esima incognita. Se allora <math>\mathbf x</math> è l<nowiki>'</nowiki>''n''-vettore che ha per componenti le incognite, e <math>\mathbf b</math> è l<nowiki>'</nowiki>''m''-vettore dei termini noti, l'intero sistema si può scrivere:

:<math>A \mathbf x = \mathbf b</math>

Un'[[equazione differenziale]] [[equazione differenziale ordinaria|ordinaria]] è detta ''lineare'' se è della forma

che equivale a:

:<math> a_n(x)y^{(n)}(x) + \cdots + a_1(x)y^{\prime}(x) + a_0(x)y(x) = f(x)</math>

con qualche <math>a_i \ne 0</math>.

In questo caso, la linearità dell'equazione si esprime nel fatto che le varie derivate di ''y'' compaiono tutte al primo grado (o a grado zero); la dicitura "lineare" è motivata dal fatto che l'operatore

:<math> \mathfrak{L} : y \mapsto a_n(x)y^{(n)} + \cdots + a_1(x)y^{\prime} + a_0(x)y</math>

è lineare, cioè, se <math>y_1\,</math> è soluzione di <math>\mathfrak{L}(y) = f_1 (x)</math> e <math>y_2\,</math> è soluzione di <math>\mathfrak{L}(y) = f_2 (x)</math>, allora <math>(y_1+y_2)\,</math> è soluzione di <math>\mathfrak{L}(y) = f_1 (x) + f_2 (x)</math>,

o, in altri termini, vale la relazione

:<math>\mathfrak{L}(ay_1+by_2) = a \mathfrak{L}(y_1) + b \mathfrak{L}(y_2) \quad \forall a,b \in \mathbb{R}</math>.

==== Sistemi di equazioni ====

{{vedi anche|Sistema lineare}}

Un [[sistema lineare]] di equazioni algebriche è una collezione di ''m'' equazioni lineari, ciascuna nelle ''n'' incognite <math>x_1, \cdots, x_n</math>, le cui soluzioni sono soluzioni di ''tutte'' le equazioni del sistema; equivalentemente, l'insieme delle soluzioni del sistema è l'[[intersezione]] degli insiemi di soluzioni di tutte le equazioni. A ogni sistema lineare può essere associata una [[matrice]] <math>A</math> ''m''x''n'', il cui elemento <math>a_{ij}</math> rappresenta il coefficiente dell<nowiki>'</nowiki>''i''-esima incognita nella ''j''-esima equazione. Se allora <math>\mathbf x</math> è l<nowiki>'</nowiki>''n''-vettore che ha per componenti le incognite, e <math>\mathbf b</math> è l<nowiki>'</nowiki>''m''-vettore dei termini noti, l'intero sistema di può scrivere

:<math>A \mathbf x = \mathbf b</math>,

che equivale a

:<math>

Riga 78 ⟶ 64:

& \vdots & \\

a_{m,1}x_1 +a_{m,2}x_2 + \cdots + a_{m,n}x_n & = & b_m\end{matrix}

\right.</math>.

Un sistema del genere può essere ''irresolubileimpossibile'', se non ammette soluzioni;, ''determinato'', se ammette una e una sola soluzione; e ''indeterminato'', se ammette più di una soluzione. Se il [[campo (matematica)|campo]] <math>\mathcal K</math> in cui si stanno cercando le incognite ha [[cardinalità]] infinita, un sistema indeterminato ammette infinite soluzioni;: questo perché l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare è un [[Spazio_affine#Sottospazi_affini|sottospazio affine]] di <math>\mathcal K</math>,. e piùPiù precisamente:

:<math>\mathrm{Sol}(A \mathbf x = \mathbf b) = \mathrm{Sol}(A \mathbf x = \mathbf 0) + \mathbf b</math>;

in particolare, lo spazio <math>\mathrm{Sol}(A \mathbf x = \mathbf 0)</math> delle soluzioni del sistema omogeneo associato è uno spazio vettoriale, poiché:

:<math>A \mathbf x = \mathbf 0 \mbox{ e } A \mathbf y = \mathbf 0 \ \Rightarrow A (\lambda \mathbf x + \mu \mathbf y) = \mathbf 0 \qquad \mbox{ per ogni }forall \lambda, \mu \in \mathcal K</math>.

Esiste un [[teorema di Rouché-Capelli|teorema]] che mette in relazione il [[rango (algebra lineare)|rango]] della matrice <math>A</math> con la risolubilità del sistema.

=== LuoghiEquazioni geometricidifferenziali ===

{{vedi anche|Equazione differenziale lineare}}

La rappresentazione [[piano cartesiano|cartesiana]] di un'equazione lineare in ''n'' incognite è un [[iperpiano]] ''n-1''-dimensionale immerso nell<nowiki>'</nowiki>''n''-spazio. Ad esempio, l'equazione

Un'[[equazione differenziale ordinaria]] è lineare se è della forma:

:<math>3x a_n(x)y^{(n)}(x) + 8y\cdots -+ 2a_1(x)y^{\prime}(x) + a_0(x)y(x) = 0\,f(x)</math>

con qualche <math>a_i \ne 0</math>.

individua una [[retta]] sul piano (x,y), mentre all'equazione

In questo caso, la linearità dell'equazione si esprime nel fatto che le varie derivate di <math>y</math> compaiono tutte al primo grado (o a grado zero). La dicitura "lineare" è motivata dal fatto che l'operatore:

:<math>x + 2y - z + 1 = 0\,</math>

:<math> \mathfrak{L} : y \mapsto a_n(x)y^{(n)} + \cdots + a_1(x)y^{\prime} + a_0(x)y</math>

corrisponde un [[piano (geometria)|piano]] nello spazio (x,y,z); queste equazioni sono dette in ''forma implicita'', laddove le corrispettive ''forme esplicite'' sarebbero, rispettivamente,

è lineare, cioè se <math>y_1</math> è soluzione di <math>\mathfrak{L}(y) = f_1 (x)</math> e <math>y_2</math> è soluzione di <math>\mathfrak{L}(y) = f_2 (x)</math> allora <math>(y_1+y_2)</math> è soluzione di <math>\mathfrak{L}(y) = f_1 (x) + f_2 (x)</math>. In altri termini, vale la relazione:

:<math>y = - \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}</math>

:<math>\mathfrak{L}(ay_1+by_2) = a \mathfrak{L}(y_1) + b \mathfrak{L}(y_2) \quad \forall a,b \in \mathbb{R}</math>

(rispetto alla coordinata ''y'') e

== Luoghi geometrici ==

:<math>z = x + 2y + 1\,</math>

La rappresentazione [[piano cartesiano|cartesiana]] di un'equazione lineare in ''n'' incognite è un [[iperpiano]] ''n-1''-dimensionale immerso nell<nowiki>'</nowiki>''n''-spazio. Ad esempio, l'equazione:

:<math>3x + 8y - 2 = 0</math>

(rispetto alla coordinata ''z'').

individua una [[retta]] sul piano (x,y), mentre all'equazione:

:<math>x + 2y - z + 1 = 0</math>

corrisponde un [[piano (geometria)|piano]] nello spazio (x,y,z). Queste equazioni sono dette in ''forma implicita'', laddove le corrispettive ''forme esplicite'' sarebbero:

:<math>y = - \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}</math>

rispetto alla coordinata ''y'', e:

:<math>z = x + 2y + 1</math>

rispetto alla coordinata ''z''.

== Note ==

<references />

== Bibliografia ==

* {{cita libro | cognome= Lang| nome= Serge | titolo= Algebra lineare| editore= Bollati Boringhieri| città= Torino| anno= 1992| isbn= 88-339-5035-2|cid =lang}}

* {{cita libro | cognome= Hoffman| nome= Kenneth |coautori= Ray Kunze| titolo= Linear Algebra| url= https://archive.org/details/linearalgebra00hoff_0| editore= Prentice - Hall, inc.| città= Englewood Cliffs, New Jersey| anno= 1971|ed = 2|isbn= 0-13-536821-9|cid =kunze|lingua= en}}

* {{en}} Arfken, G. "A Second Solution." §8.6 in ''Mathematical Methods for Physicists'', 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 467-480, 1985.

== Voci correlate ==

* [[Equazione differenziale lineare]]

* [[Funzione lineare]]

* [[Trasformazione lineare]]

* [[Sistema di equazioni lineari]]

== Bibliografia ==

* Serge Lang, ''Algebra Lineare'', Torino, Bollati Boringhieri, 1970. ISBN 978-88-339-5035-8.

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:algebraAlgebra elementare]]

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