Linearità (matematica): differenze tra le versioni

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{{NN|matematica|gennaio 2024}}

In [[matematica]], la '''linearità''' è una relazione che intercorre fra due o più enti matematici. Intuitivamente, due quantità sono in relazione lineare se tra loro sussiste una qualche forma di [[proporzionalità diretta]].

Ad esempio, la legge <math>A = 2B</math> correla linearmente <math>A</math> e <math>B</math>: se <math>B</math> raddoppia, anche <math>A</math> raddoppia. Il significato esatto del termine "linearità" dipende tuttavia dal contesto in cui il termine viene adoperato.

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:<math> a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_n \mathbf v_n = \mathbf 0</math>

dove <math>a_1, a_2, \cdots, a_n \in \mathcal K</math> non sono tutti nulli.<ref>Il [[vettore nullo]] <math>\mathbf 0</math> è [[indipendenza lineare|linearmente dipendente]], poiché vale ad esempio la relazione <math>1\lambda \mathbf 0 = \mathbf 0</math>.</ref> Se invece l'eguaglianza è soddisfatta solo per <math>a_1 = \ldots = a_n = 0</math> i vettori sono linearmente indipendenti. Se un vettore <math>\mathbf v</math> può essere scritto nel modo seguente:

:<math> \mathbf v = a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_n \mathbf v_n </math>

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=== Sistemi di equazioni ===

{{vedi anche|Sistema di equazioni lineari}}

Un sistema lineare di equazioni algebriche è una collezione di ''m'' equazioni lineari, ciascuna nelle ''n'' incognite <math>x_1, \cdots, x_n</math>, le cui soluzioni sono soluzioni di tutte le equazioni del sistema. Equivalentemente, l'insieme delle soluzioni del sistema è l'[[intersezione (insiemistica)|intersezione]] degli insiemi di soluzioni di tutte le equazioni. A ogni sistema lineare può essere associata una [[matrice]] <math>A</math> di dimensione <math>nm \times mn</math>, il cui elemento <math>a_{ij}</math> rappresenta il coefficiente dell<nowiki>'</nowiki>''i''-esima incognitaequazione nella ''j''-esima equazioneincognita. Se allora <math>\mathbf x</math> è l<nowiki>'</nowiki>''n''-vettore che ha per componenti le incognite, e <math>\mathbf b</math> è l<nowiki>'</nowiki>''m''-vettore dei termini noti, l'intero sistema disi può scrivere:

:<math>A \mathbf x = \mathbf b</math>

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=== Equazioni differenziali ===

{{vedi anche|Equazione differenziale lineare}}

Un'[[equazione differenziale]] [[equazione differenziale ordinaria|ordinaria]] è lineare se è della forma:

:<math> a_n(x)y^{(n)}(x) + \cdots + a_1(x)y^{\prime}(x) + a_0(x)y(x) = f(x)</math>

con qualche <math>a_i \ne 0</math>.

In questo caso, la linearità dell'equazione si esprime nel fatto che le varie derivate di <math>y</math> compaiono tutte al primo grado (o a grado zero). La dicitura "lineare" è motivata dal fatto che l'operatore:

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corrisponde un [[piano (geometria)|piano]] nello spazio (x,y,z). Queste equazioni sono dette in ''forma implicita'', laddove le corrispettive ''forme esplicite'' sarebbero:

:<math>y = - \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}</math>

rispetto alla coordinata ''y'', e:

:<math>z = x + 2y + 1</math>

rispetto alla coordinata ''z''.

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== Bibliografia ==

* {{cita libro | cognome= Lang| nome= Serge | titolo= Algebra lineare| editore= Bollati Boringhieri| città= Torino| anno= 1992|id isbn=ISBN 88-339-5035-2|cid =lang}}

* {{en}} {{cita libro | cognome= Hoffman| nome= Kenneth |coautori= Ray Kunze| titolo= Linear Algebra| url= https://archive.org/details/linearalgebra00hoff_0| editore= Prentice - Hall, inc.| città= Englewood Cliffs, New Jersey| anno= 1971|ed = 2|idisbn= ISBN 010-35313-6821536821-9|cid =kunze|lingua= en}}

* {{en}} Arfken, G. "A Second Solution." §8.6 in ''Mathematical Methods for Physicists'', 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 467-480, 1985.

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{{Portale|matematica}}

[[Categoria:algebraAlgebra elementare]]

[[cs:Lineární]]