Linearità (matematica): differenze tra le versioni
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{{NN|matematica|gennaio 2024}}
In [[matematica]], la '''linearità''' è una relazione che intercorre fra due o più enti matematici. Intuitivamente, due quantità sono in relazione lineare se tra loro sussiste una qualche forma di [[proporzionalità diretta]].
Ad esempio, la legge <math>A = 2B</math> correla linearmente <math>A</math> e <math>B</math>: se <math>B</math> raddoppia, anche <math>A</math> raddoppia. Il significato esatto del termine "linearità" dipende tuttavia dal contesto in cui il termine viene adoperato.
== Relazione lineare tra vettori ==
In [[algebra]], ''n'' [[vettore (matematica)|vettori]] <math>\mathbf v_1,\mathbf v_2, \cdots \mathbf v_n</math> appartenenti a uno [[spazio vettoriale]] definito sul [[corpo (matematica)|corpo]] <math>\mathcal K</math> sono [[dipendenza lineare|linearmente dipendenti]] se intercorre tra di essi una relazione del tipo:
:<math>
dove <math>a_1, a_2, \cdots, a_n \in \mathcal K</math> non sono tutti nulli.<ref>Il [[vettore nullo]] <math>\mathbf 0</math> è [[indipendenza lineare|linearmente dipendente]], poiché vale la relazione <math>\lambda \mathbf 0 = \mathbf 0</math>.</ref> Se invece l'eguaglianza è soddisfatta solo per <math>a_1 = \ldots = a_n = 0</math> i vettori sono linearmente indipendenti. Se un vettore <math>\mathbf v</math> può essere scritto nel modo seguente:
:<math> \mathbf v = a_1 \mathbf v_1 + a_2 \mathbf v_2 + \cdots + a_n \mathbf v_n </math>
allora <math>\mathbf v</math> è una [[combinazione lineare]] dei vettori <math>\mathbf v_1,\mathbf v_2, \cdots \mathbf v_n</math>. In particolare, lo spazio <math>\mathcal{L}(\mathbf v_1, \cdots, \mathbf v_n)</math> delle combinazioni lineari dei vettori <math>\mathbf v_1, \cdots, \mathbf v_n</math> prende il nome di [[sottospazio generato]] da tali vettori, ed è un [[sottospazio vettoriale]] dello spazio di cui questi vettori fanno parte. È immediato dimostrare che un vettore <math>\mathbf v</math> è combinazione lineare di <math>\mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_n</math> [[se e solo se]] i vettori <math>\mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_n, \mathbf v</math> sono linearmente dipendenti.
== Applicazioni lineari ==
{{vedi anche|Trasformazione lineare}}
Un'applicazione <math>f: V \to W</math> definita da un <math>\mathcal{K}</math>-[[spazio vettoriale]] <math>V</math> a un <math>\mathcal{K}</math>-spazio <math>W</math> è lineare se, per ogni coppia di elementi <math>x</math> e <math>y</math> appartenenti a <math>V</math> su cui agisce la funzione e per ogni coppia di scalari <math>\lambda</math> e <math>\mu</math> per cui tale funzione può essere moltiplicata, vale la relazione:
:<math>f(\lambda x + \mu y)\, = \lambda f(x)\, + \mu f(y)</math>
In generale, un'applicazione che preservi le leggi di composizione tra due insiemi dotati della stessa [[struttura algebrica|struttura]] è detto [[omomorfismo]]. A seconda della struttura definita su tali insiemi si parla quindi di [[omomorfismo di gruppi]], [[omomorfismo di anelli|di anelli]], di spazi vettoriali e [[omomorfismo di algebre|di algebre]].
Una funzione in <math>n</math> variabili <math>f : V_1 \times \ldots \times V_n \to W</math> (dove i <math>V_i</math> sono <math>\mathcal K</math>-spazi vettoriali) che sia lineare in tutte le sue variabili:
:<math>f(\mathbf x + \mathbf y) =f(\mathbf x) + f(\mathbf y) \qquad \forall \mathbf x, \mathbf y \in V_1 \times \ldots \times V_n</math>
:<math>f(a_1 x_1, \ldots, a_n x_n) = a_1 \ldots a_n f(x_1, \ldots, x_n) \qquad \forall a_1, \ldots a_n \in \mathcal K</math>
è detta [[Applicazione multilineare|multilineare]]. Ad esempio, il [[prodotto scalare|prodotto scalare euclideo]] è una [[forma bilineare]].
== Equazioni lineari ==
=== Equazioni algebriche ===
{{vedi anche|Equazione lineare}}
Un'[[equazione algebrica]] in ''n'' incognite <math>x_1, x_2, \cdots, x_n</math> si dice lineare se è della forma:
:<math> a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n - b = 0 </math>
dove i coefficienti (costanti) <math>a_i</math> non sono tutti nulli. Equivalentemente, un'equazione algebrica nell'incognita <math>\mathbf x = (x_1, \cdots, x_n)^T</math> è lineare se esistono un vettore <math>\mathbf a = (a_1, \cdots, a_n)^T \in \mathcal{K}^n</math>, dove <math>\mathcal K</math> è un [[Campo (matematica)|campo]], e un elemento <math>b \in \mathcal K</math> per cui si può scrivere:
:<math>\mathbf a \cdot \mathbf x = b</math>
Il simbolo <math>\cdot</math> denota il [[prodotto scalare]] ordinario definito sullo spazio <math>\mathcal K^n</math>.
Un'equazione lineare può ammettere o meno soluzioni a seconda del campo a cui si richiede appartengano le componenti di <math>\mathbf x</math>. Un'equazione lineare ammette sempre soluzioni nel campo [[numeri razionali|razionale]] se sono razionali i coefficienti <math>a_1, \ldots, a_n, b</math>, o nel campo [[numeri reali|reale]] se i coefficienti sono reali. Queste soluzioni si ottengono ponendo a [[parametro (matematica)|parametro]] tutte le incognite tranne quella rispetto alla quale si risolve. Ad esempio, se <math>a_1 \ne 0</math> l'equazione di cui sopra ammette l'insieme di soluzioni:
:<math>\begin{cases} x_1 = - \frac{1}{a_1} \left(a_2 t_2 + \cdots + a_n t_n + b\right) \\ x_2 = t_2 \\ \vdots \\ x_n = t_n \end{cases}</math>
dove si sono definiti i parametri liberi <math>t_i = x_i</math>.
=== Sistemi di equazioni ===
{{vedi anche|Sistema di equazioni lineari}}
Un sistema lineare di equazioni algebriche è una collezione di ''m'' equazioni lineari, ciascuna nelle ''n'' incognite <math>x_1, \cdots, x_n</math>, le cui soluzioni sono soluzioni di tutte le equazioni del sistema. Equivalentemente, l'insieme delle soluzioni del sistema è l'[[intersezione (insiemistica)|intersezione]] degli insiemi di soluzioni di tutte le equazioni. A ogni sistema lineare può essere associata una [[matrice]] <math>A</math> di dimensione <math>m \times n</math>, il cui elemento <math>a_{ij}</math> rappresenta il coefficiente dell<nowiki>'</nowiki>''i''-esima equazione nella ''j''-esima incognita. Se allora <math>\mathbf x</math> è l<nowiki>'</nowiki>''n''-vettore che ha per componenti le incognite, e <math>\mathbf b</math> è l<nowiki>'</nowiki>''m''-vettore dei termini noti, l'intero sistema si può scrivere:
:<math>A \mathbf x = \mathbf b</math>
che equivale a:
:<math>
\left\{
\begin{matrix} a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 +\cdots + a_{1,n}x_n & = & b_1\\
a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 +\cdots + a_{2,n}x_n & = & b_2\\
& \vdots & \\
a_{m,1}x_1 +a_{m,2}x_2 + \cdots + a_{m,n}x_n & = & b_m\end{matrix}
\right.</math>
Un sistema del genere può essere ''impossibile'' se non ammette soluzioni, ''determinato'' se ammette una e una sola soluzione e ''indeterminato'' se ammette più di una soluzione. Se il [[campo (matematica)|campo]] <math>\mathcal K</math> in cui si stanno cercando le incognite ha [[cardinalità]] infinita, un sistema indeterminato ammette infinite soluzioni: questo perché l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare è un [[Spazio_affine#Sottospazi_affini|sottospazio affine]] di <math>\mathcal K</math>. Più precisamente:
:<math>\mathrm{Sol}(A \mathbf x = \mathbf b) = \mathrm{Sol}(A \mathbf x = \mathbf 0) + \mathbf b</math>
in particolare, lo spazio <math>\mathrm{Sol}(A \mathbf x = \mathbf 0)</math> delle soluzioni del sistema omogeneo associato è uno spazio vettoriale, poiché:
:<math>A \mathbf x = \mathbf 0 \mbox{ e } A \mathbf y = \mathbf 0 \ \Rightarrow A (\lambda \mathbf x + \mu \mathbf y) = \mathbf 0 \qquad \forall \lambda, \mu \in \mathcal K</math>
Esiste un [[teorema di Rouché-Capelli|teorema]] che mette in relazione il [[rango (algebra lineare)|rango]] della matrice <math>A</math> con la risolubilità del sistema.
=== Equazioni differenziali ===
{{vedi anche|Equazione differenziale lineare}}
Un'[[equazione differenziale ordinaria]] è lineare se è della forma:
:<math> a_n(x)y^{(n)}(x) + \cdots + a_1(x)y^{\prime}(x) + a_0(x)y(x) = f(x)</math>
con qualche <math>a_i \ne 0</math>.
In questo caso, la linearità dell'equazione si esprime nel fatto che le varie derivate di <math>y</math> compaiono tutte al primo grado (o a grado zero). La dicitura "lineare" è motivata dal fatto che l'operatore:
:<math> \mathfrak{L} : y \mapsto a_n(x)y^{(n)} + \cdots + a_1(x)y^{\prime} + a_0(x)y</math>
è lineare, cioè se <math>y_1</math> è soluzione di <math>\mathfrak{L}(y) = f_1 (x)</math> e <math>y_2</math> è soluzione di <math>\mathfrak{L}(y) = f_2 (x)</math> allora <math>(y_1+y_2)</math> è soluzione di <math>\mathfrak{L}(y) = f_1 (x) + f_2 (x)</math>. In altri termini, vale la relazione:
:<math>\mathfrak{L}(ay_1+by_2) = a \mathfrak{L}(y_1) + b \mathfrak{L}(y_2) \quad \forall a,b \in \mathbb{R}</math>
== Luoghi geometrici ==
La rappresentazione [[piano cartesiano|cartesiana]] di un'equazione lineare in ''n'' incognite è un [[iperpiano]] ''n-1''-dimensionale immerso nell<nowiki>'</nowiki>''n''-spazio. Ad esempio, l'equazione:
:<math>3x + 8y - 2 = 0</math>
individua una [[retta]] sul piano (x,y), mentre all'equazione:
:<math>x + 2y - z + 1 = 0</math>
corrisponde un [[piano (geometria)|piano]] nello spazio (x,y,z). Queste equazioni sono dette in ''forma implicita'', laddove le corrispettive ''forme esplicite'' sarebbero:
:<math>y = - \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}</math>
rispetto alla coordinata ''y'', e:
:<math>z = x + 2y + 1</math>
rispetto alla coordinata ''z''.
== Note ==
<references />
== Bibliografia ==
* {{cita libro | cognome= Lang| nome= Serge | titolo= Algebra lineare| editore= Bollati Boringhieri| città= Torino| anno= 1992| isbn= 88-339-5035-2|cid =lang}}
* {{cita libro | cognome= Hoffman| nome= Kenneth |coautori= Ray Kunze| titolo= Linear Algebra| url= https://archive.org/details/linearalgebra00hoff_0| editore= Prentice - Hall, inc.| città= Englewood Cliffs, New Jersey| anno= 1971|ed = 2|isbn= 0-13-536821-9|cid =kunze|lingua= en}}
* {{en}} Arfken, G. "A Second Solution." §8.6 in ''Mathematical Methods for Physicists'', 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 467-480, 1985.
== Voci correlate ==
* [[Equazione differenziale lineare]]
* [[Funzione lineare]]
* [[Trasformazione lineare]]
* [[Sistema di equazioni lineari]]
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Algebra elementare]]
[[cs:Lineární]]
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