Matrice elementare: differenze tra le versioni

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{{F|matematica|luglio 2017}}

In [[algebra lineare]], con '''matrice elementare''' si indica generalmente una [[matrice quadrata]] di un certo tipo, utile in alcuni algoritmi come l'[[algoritmo di Gauss]] o le fattorizzazioni [[fattorizzazione LU|LU]] e [[fattorizzazione QR|QR]].

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1 & -2 & 0 \\

4 & -8 & 0 \end{bmatrix}</math>

Equivalentemente, <math> A = uv^T </math> è il prodotto di due vettori, il primo <math> u </math> verticalecolonna ed il secondo <math> v^tT </math> orizzontaleriga (perché <math> v^T </math> indica la [[matrice trasposta|trasposta]] di <math> v </math>). Nell'esempio, abbiamo

:<math> A = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \end{bmatrix}. </math>

Risulta quindi comodo esprimere una matrice elementare come

:<math>E(\alpha,u,v) = I -+ \alpha uv^T,</math>

dove <math> \alpha </math> è un coefficiente (reale o complesso) e <math> u, v </math> sono vettori non nulli.

== Proprietà ==

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T_{i,j} = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 0 & & 1 & & \\ & & & \ddots & & & & \\ & & 1 & & 0 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1\end{bmatrix} </math>

Può essere anche definita come

:<math> T_{i,j} = E(-1,e_i+-e_j,e_i+-e_j) </math>

dove

:<math> e_i = (0,\ldots,0,1,0,\ldots,0) </math>

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== Voci correlate==

* [[algoritmoAlgoritmo di Gauss]]

* [[trasformazioneTrasformazione di Householder]]

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Matrici quadrate|Elementare]]

[[Categoria:Analisi numerica]]