Matrice elementare: differenze tra le versioni

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{{F|matematica|luglio 2017}}

==Definizione e proprietà==

In [[algebra lineare]], con '''matrice elementare''' si indica generalmente una [[matrice quadrata]] di un certo tipo, utile in alcuni algoritmi come l'[[algoritmo di Gauss]] o le fattorizzazioni [[fattorizzazione LU|LU]] e [[fattorizzazione QR|QR]].

==Definizione e proprietà==

Siano <math>\alpha\in \mathbb{C}</math> numero complesso ed i vettori non nulli <math>u,v\in\mathbb{C}^n</math> </br>

SiNella definiscepiù grande generalità, una '''matrice elementare''' laè una [[matrice </br>quadrata]] a coefficienti [[numeri reali|reali]] o [[numeri complessi|complessi]], del tipo

:<math>\ E(\alpha,u,v) = I -+ \alphaA uv^*</math>,

dove <math>I </math> è la [[matrice identicaidentità]] e di<math> dimensioneA </math>n è una matrice con [[rango (matematica)|rango]] al più uno. In altre parole, le colonne (o le righe) di <math> A </math>. sono tutte multiple una dell'altra, ad esempio:

:<math> A = \begin{bmatrix}

1 & -2 & 0 \\

1 & -2 & 0 \\

4 & -8 & 0 \end{bmatrix}</math>

Equivalentemente, <math> A = uv^T </math> è il prodotto di due vettori, il primo <math> u </math> colonna ed il secondo <math> v^T </math> riga (perché <math> v^T </math> indica la [[matrice trasposta|trasposta]] di <math> v </math>). Nell'esempio, abbiamo

:<math> A = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \end{bmatrix}. </math>

Risulta quindi comodo esprimere una matrice elementare come

Le matrici elementari sono alla base della descrizione delle tecniche di [[fattorizzazione

tali che :<math>E(\alpha,u,v)x =y I + \alpha uv^T,</math>.

LU]] e [[fattorizzazione QR|QR]] di una matrice.

dove <math> \alpha </math> è un coefficiente (reale o complesso) e <math> u, v </math> sono vettori non nulli.

== Proprietà ==

Le principali proprietà delle matrici elementari sono:

<ul>

<li> Se il numero <math>\alpha v^tu</math> è diverso da uno, la matrice <math>E</math> è [[matrice invertibile|invertibile]] e la sua [[matrice inversa|inversa]] è <math> E(\beta,u,v) </math> con

:<math>\ I-\beta u v^*</math>, dove <math>\ \beta=\frac{\alpha}{\alpha v^*utu-1}</math>.

<li> dati due vettori <math>x,y</math> non nulli, esiste una matrice elementare <math> E </math> tale che <math>Ex=y</math>.

</ul>

==Matrici elementari di Gauss==

'''Teorema.''' Se <math>\alpha v^*u\ne 0</math> allora la matrice <math>E</math> è

Le '''matrici elementari di Gauss''' sono matrici elementari molto semplici, definite per interpretare le [[mossa di Gauss|mosse di Gauss]] come [[moltiplicazione fra matrici|moltiplicazione per una matrice]]. Sono di tre tipi, ciascuno corrispondente ad un tipo di mossa.

invertibile e l'inversa della matrice <math>\ I-\alpha u v^*</math> è

<math>\ I-\beta u v^*</math>, dove <math>\ \beta=\frac{\alpha}{\alpha v^*u-1}</math>.

=== Scambio di righe ===

'''Teorema.''' Siano <math>x,y</math> due vettori non nulli, esistono matrici elementari

La matrice <math> T_{i,j} </math> è ottenuta dalla matrice identità scambiando le righe <math> i </math>-esima e <math> j </math>-esima:

tali che <math>E(\alpha,u,v)x=y</math>.

:<math>

T_{i,j} = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 0 & & 1 & & \\ & & & \ddots & & & & \\ & & 1 & & 0 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1\end{bmatrix} </math>

Può essere anche definita come

:<math> T_{i,j} = E(-1,e_i-e_j,e_i-e_j) </math>

dove

:<math> e_i = (0,\ldots,0,1,0,\ldots,0) </math>

è l'<math>i</math>-esimo vettore della [[base canonica]].

=== Moltiplicazione di una riga per uno scalare ===

==Matrici elementari di Gauss==

Analogamente, <math> T_i(m) </math> è ottenuta dalla matrice identità moltiplicando la riga <math> i </math>-esima per un numero <math> m </math>.

:<math>

T_i(m) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 1 & & & & & \\ & & & m & & & & \\ & & & & & 1 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1\end{bmatrix} </math>

Può anche essere definita come

:<math> T_i(m) = E(m-1,e_i,e_i). </math>

===Combinazione lineare ===

L'[[metodo di Gauss|algoritmo di Gauss]] può essere interpretato come l'applicazione di <math>n-1</math>

La matrice <math> T_{i,j}(m) </math> è ottenuta dalla matrice identità aggiungendo alla riga <math> i </math>-esima la riga <math> j </math>-esima moltiplicata per <math> m </math>.

matrici elementari alla matrice del sistema lineare.

:<math>

T_{i,j}(m) = \begin{bmatrix} 1 & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & \\ & & 1 & & & & & \\ & & & \ddots & & & & \\ & & m & & 1 & & \\ & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1\end{bmatrix}

</math>

Può anche essere definita come

:<math> T_{i,j}(m) = E(m,e_j,e_i). </math>

=== Relazione con l'algoritmo di Gauss ===

Ad ogni passo occorre annullare tutti gli elementi di un vettore <math>v</math> escluso il primo, <math>v_1</math>, questo può essere fatto con una matrice elementare che mandi <math>v</math> in <math>e_1=[1;0;\dots;0]^T</math>. Tale matrice elementare è quella ottenuta scegliendo <math>\alpha=1, u=m_i, v=e_1</math> dove <math>m_i=\frac{v_i}{v_1}</math>.

Se <math> M </math> è una matrice qualsiasi con <math> n </math> righe, allora le matrici <math> T_{i,j} M, T_i(m) M, T_{i,j}(m) M</math> sono le matrici ottenute da <math> M </math> operando le corrispondenti mosse di Gauss.

==Matrici elementari di Householder==

{{vedi anche|trasformazione di Householder}}

Una '''matrice di Householder''' è una matrice elementare del tipo <math> E(2,v,v) </math> dove <math> v </math> è un vettore di [[norma (matematica)|norma]] uno.

Le matrici elementari di Householder sono utili per definire le [[trasformazione di Householder|trasformazioni di Householder]] e quindi la [[fattorizzazione QR]].

Si può mandare il vettore <math>v</math> in un vettore del tipo <math>/alpha e_1</math> tramite una trasformazione ortonale che è una matrice elementare. Dal fatto che una trasformazione ortogonale è un'isometria segue che <math>\alpha=\|v\|_2</math>.

Basta scrivere la matrice di riflessione di <math>v</math> rispetto al piano ortogonale a <math>v-\alpha e_1</math> o quello

ortogonale a <math>v+\alpha e_1</math>.

La matrice così ottenuta è <math>P=I-\beta ww^*</math> dove <math>\beta=\frac 2{w^*w}</math> e <math>w=v\pm\frac{v_1}{|v_1|}\|v\|e_1</math> se <math>v_1=0</math>.

== Voci correlate==

Tale matrice è detta matrice elementare di [[Householder]].

* [[Algoritmo di Gauss]]

* [[Trasformazione di Householder]]

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Algebra lineare]]

[[Categoria:Matrici quadrate|Elementare]]

[[Categoria:Analisi numerica]]