Teorema di Cantor: differenze tra le versioni

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{{F|matematica|luglio 2017}}

Nella [[Teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel]] (ZF), il '''teorema di Cantor''' afferma che, dato un insieme di qualsiasi [[cardinalità]] (numero di elementi), esiste sempre un insieme di cardinalità maggiore. In particolare, dato un insieme <math> X </math>, l'[[insieme delle parti]] di <math> X </math> (cioè l'insieme formato da tutti i possibili sottoinsiemi di <math> X </math>) ha sempre cardinalità maggiore di quella di <math> X </math>.

In [[matematica]], e in particolare nella [[teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel]] (ZF), il '''teorema di Cantor''', sviluppato dall'omonimo matematico tedesco [[Georg Cantor]], afferma che per ogni insieme <math>A</math> di [[cardinalità]] arbitraria (finita o infinita), il suo [[insieme delle parti]] <math>\mathcal P(A)</math> ha cardinalità strettamente maggiore:

:<math>f:A \to |\mathcal P(A)| > |A|.</math>

Il teorema di Cantor è ovvio per [[insieme finito|insiemi finiti]], ma continua a valere anche per [[insieme infinito|insiemi infiniti]]. In particolare, l'[[insieme delle parti]] di un [[insieme numerabile]] è più che numerabile.

La relazione che lega la cardinalità di <math>A</math> con quella di <math>\mathcal P(A)</math> è espressa dalla disequazione <math>|A| < 2^{|A|}</math>.

Per una trattazione della tecnica di dimostrazione usata da Cantor si veda la voce [[Argomento diagonale di Cantor]].

Nel caso in cui <math>A</math> sia un insieme con cardinalità numerabile, sotto l'[[ipotesi del continuo]], il suo insieme delle parti è un insieme con cardinalità non numerabile. Come conseguenza importante, si ha che l'insieme delle parti dei [[Numero naturale|numeri naturali]] <math>\mathcal P(\N)</math> (dove <math>\N</math> è un [[Insieme numerabile|infinito numerabile]] con cardinalità <math>\aleph_0 = |\N|</math>) è un infinito non numerabile, con cardinalità uguale alla cardinalità dei [[Numero reale|numeri reali]] <math>\R</math>, cioè la [[cardinalità del continuo]].

== La dimostrazione ==

Il teorema di Cantor ha avuto un impatto immediato e importante sulla [[filosofia della matematica]]. Ad esempio, nell'applicare iterativamente l'insieme delle parti di un [[insieme infinito]] e successivamente il teorema di Cantor, otteniamo una gerarchia infinita di cardinalità infinite, ognuna strettamente maggiore della precedente. Di conseguenza, il teorema implica che non esiste una cardinalità massima per un dato insieme, o equivalentemente, che i livelli gerarchici delle cardinalità infinite sono anch'essi infiniti.<ref>{{Cita libro|autore=Marco Bramanti|autore2=Pagani Carlo Domenico|autore3=Sandro Salsa|titolo=Analisi Matematica 1}}</ref>

Sia <math>f</math> una generica funzione da <math>A</math> nell'insieme delle parti di <math>A</math>:

:<math>f:A \to \mathcal P(A).</math>

Per provare il teorema si deve mostrare che <math>f</math> è necessariamente non [[Funzione suriettiva|suriettiva]]. A tal fine è sufficiente individuare un elemento di <math>\mathcal P(A)</math> che non è nell'immagine di <math>f</math>. Questo elemento è:

== Dimostrazione ==

:<math>B=\left\{\,x\in A : x\not\in f(x)\,\right\} \in \mathcal P(A).</math>

Il teorema si divide in due casi, in base alla cardinalità di <math>A</math>.

Se la cardinalità di <math>A</math> è finita, il teorema di Cantor si dimostra semplicemente enumerando gli elementi dei due insiemi e confrontandone la cardinalità.

Per dimostrare che <math>B</math> non è nell'immagine di <math>f</math>, si suppone per assurdo che lo sia. Per qualche <math>y\in A</math>, si ha allora <math>f(y) = B</math>. Si considerano ora i due casi possibili:

:<math>y \not\in B</math> oppure <math>y \in B</math>.

La cardinalità di <math>A</math> è <math>n</math>. La cardinalità di <math>\mathcal P(A)</math> corrisponde al numero di sottoinsiemi impropri generabili a partire dagli elementi di <math>A</math>, che risulta essere <math>2^n</math>. Di conseguenza il teorema vale, dato che <math>2^n > n, \ \forall n \in \N</math>.

Se <math>y \not\in B = f(y)</math> allora per la definizione di <math>B</math> si ha <math>y \in B</math>, assurdo.

Se la cardinalità di <math>A</math> è infinita, presi due insiemi generici <math>X</math> e <math>S</math>, per definizione stessa di cardinalità abbiamo che <math>|X| < |S|</math> [[se e solo se]] tutte le funzioni da <math>X</math> a <math>S</math> non sono suriettive (o equivalentemente ogni [[funzione iniettiva]] non è anche suriettiva).

Se <math>y \in B = f(y)</math> allora per la definizione di <math>B</math> si ha <math>y \not\in B</math>, assurdo.

Basta far vedere che non esiste una funzione <math>f</math> capace di mappare tutti gli elementi di un insieme qualsiasi <math>A</math> a tutti gli elementi di <math>\mathcal P(A)</math>.

In entrambi i casi si ottiene una contraddizione. Quindi <math>A</math> e il suo insieme potenza non sono equipotenti.

Sia <math>f</math> una generica funzione da <math>A</math> nell'insieme delle parti dia <math>\mathcal P(A)</math>:

:<math>f\colon A \to \mathcal P(A).</math>

Un sottoinsieme con le proprietà appena descritte è dato dalla seguente costruzione, derivato dall'[[argomento diagonale di Cantor]].

:<math>B=\left\{\,x\in A : x\not\in f(x)\,\right\} \in \mathcal P(A).</math>

Tale sottoinsieme avrà come elementi costitutivi tutti gli elementi appartenenti ad <math>A</math>, che però non appartengono al sottoinsieme di cui sono [[controimmagine]].

Supponiamo per assurdo quindi, che esista una funzione <math>f</math> suriettiva da <math>A</math> a <math>\mathcal P(A)</math> (e che quindi ogni elemento di <math>\mathcal P(A)</math> abbia controimmagine in <math>A</math>).

Necessariamente ci sarà un qualche valore <math>\xi \in A</math> la cui funzione <math>f(\xi)</math> sarà uguale a <math>B</math> . Ci sono ora due casi possibili:

:<math>y\xi \not\in B</math> oppure <math>y\xi \in B.</math>.

Allora si giunge alla seguente contraddizione:

:<math>\begin{aligned}

\xi \in f(\xi) &\iff \xi \in B && \text{(dall'assunzione che }f(\xi)=B\text{)}; \\

\xi\in B &\iff \xi\notin f(\xi) && \text{(per definizione di }B\text{)}.\end{aligned}</math>

Quindi non esiste un valore <math>\xi \in A</math> tale che <math>f(\xi) = B</math>.

Ossia, <math>B</math> non è nell'immagine di <math>f</math>, e <math>f</math> non mappa a tutti gli elementi di <math>A</math> in <math>\mathcal P(A)</math>. <math>f</math> non è suriettiva. Per completare il teorema non resta che trovare una funzione iniettiva <math>g\colon A \to \mathcal P(A).</math> Questa funzione è molto semplice ed è definita come la [[funzione identità]] che mappa <math>x</math> all'insieme contenente solamente <math>x</math> stesso:

:<math>g(x)=\{x\}.</math>

== Note ==

<references/>

== Voci correlate ==

Line 26 ⟶ 56:

* [[Georg Cantor]]

* [[Paradosso dell'ipergioco]]

== Altri progetti ==

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== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Teoria degli insiemi]]

[[Categoria:Teoremi di matematica|Cantor]]

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