Metodo di Gupta-Bleuler: differenze tra le versioni

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In [[teoria quantistica dei campi]], il '''metodo di Gupta-Bleuler''' è una tecnica di [[quantizzazione (fisica)|quantizzazione]] del [[campo elettromagnetico]]. La formulazione è dovuta ai fisici teorici [[Suraj N. Gupta]] e [[Konrad Bleuler]].

==Descrizione==

Consideriamo dapprima un singolo [[fotone]]. Una [[base (matematicaalgebra lineare)|base]] dello [[spazio vettoriale]] del singolo fotone (diremo poi più sotto perchèperché non è uno [[spazio di Hilbert]]) è dato dagli [[autostato|autostati]] <math>|k,\varepsilon_\mu\rangle</math> dove <math>k</math> il 4-momento (<math>k^2=0</math>) e la componente <math>k_0</math>, l'energia, è positiva e <math>\varepsilon_\mu</math> è il [[Polarizzazione della radiazione elettromagnetica|vettore di polarizzazione]] unitario mentre l'indice <math>\mu</math> va da 0 a 3. Perciò, <math>k</math> è unicamente determinato dalla sua parte spaziale <math>\mathbf{k}</math>. Utilizzando la [[notazione bra-ket]], equipaggiamo lo spazio con una [[forma sesquilineare]] definita da]]

:<math>\langle\vec{k}_a;\epsilon_varepsilon_\mu|\vec{k}_b;\epsilon_varepsilon_\nu\rangle=(-\eta_{\mu\nu}){1\over 2|\vec{k}_a|}\delta(\vec{k}_a-\vec{k}_b)</math>

dove il fattore <math>{1\over 2|\vec{k}_a|}</math> serve ad implementare l'[[scalare di Lorentz|invarianza di Lorentz]]. Utilizziamo qui la [[metrica]] +<math>diag(1,-1,-1,-1)</math>. Questa forma sesquilineare dà norme positive per polarizzazioni di tipo spazio ma norme negative per polarizzazioni di tipo tempo. Le probabilità negative non hanno significato fisico. Per non dire che un fotone fisicareale ha solo due polarizzazioni e non quattro.

Includendo l'[[invarianza di gauge]], comprendiamo che un fotone può avere tre polarizzazioni possibili (due trasversali ed una longitudinale (ossia parallela al 4-momento)). Questo nasce dalla restrizione <math>k\cdot \epsilonvarepsilon=0</math>. Ma, la componente longitudinale non è fisica nascendo dalla libertà di scegliere la gauge. Sarebbe bellovantaggioso poter definire una restrizione più forte di quella data che ci lasci con le due sole componenti trasversali, ma è facile verificare che questa non può essere definita in maniera covariante poichèpoiché ciò che è trasversale in un sistema di riferimento non lo è più in un altro.

Per risolvere tale dificoltàdifficoltà, diamo prima un'occhiata al sottospazio con tre polarizzazioni. La forma sesquilineare ristretta ad esso è semplicemente semidefinita positiva, che è meglio che indefinita. Inoltre, il sottospazio con norma nulla si scopre essere nient'altro che i gradi di libertà di gauge. perciòPerciò, definiamo lo [[spazio di Hilbert]] fisico come lo [[spazio vettoriale quoziente|spazio quoziente]] del sottospazio delle tre polarizzazioni con il suo sottospazio a norma zero. Questo spazio ha una forma definita positiva, rendendolo un vero spazio di Hilbert.

Questa tecnica può essere estesa in modo simile allo [[spazio di Fock]] bosonico a molti fotoni. Usando il trucco standard degli [[Operatori di creazione e distruzione|operatori di creazione ed annichilazione]], ma con il metodo del quoziente, arriviamo ad un [[potenziale vettore]] di campo libero di tipo operatoriale a valori sullo spazio delle [[Distribuzione (matematica)|distribuzioni]] tale da soddisfare

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:<math>\langle\chi|\partial^\mu A_\mu|\psi\rangle=0</math>

per gli stati fisici <math>|\chi\rangle</math> e <math>|\psi\rangle</math> nello [[spazio di Fock]] (si intende che gli stati fisici siano [[relazione di equivalenza|classi di equivalenza]] che differiscono per uno stato a norma zero).

Va sottolineato che questo non è la stessa cosa di

:<math>\partial^\mu A_\mu=0.</math>

Da notare che se O è un qualsiasi operatore invariante di gauge

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non dipende dalla scelta della rappresentatività delle classi di equvialenza, e dunque, questa quantità è ben definita.

Ciò non è vero per operatori non invarianti di gauge in generale percheperché la [[gauge di Lorenz]] lascia ancora gradi di libertà di gauge residuali.

In una teoria interagente come l'[[elettrodinamica quantistica]], la condizione di [[gauge di Lorenz]] si applica ancora ma il potenziale vettore non soddisfa l'[[equazione delle onde]] libera.

== RiferimentiBibliografia ==

* S. Gupta, Proc. Phys. Soc. v. A63, nr.267, p.&nbsp;681–691, 1950

S* K. GuptaBleuler, ProcHelv. Phys. Soc.Acta, v. A6323, nrrn.2675, p.681–691&nbsp;567–586, 1950

K. Bleuler, Helv.Phys.Acta, v.23, rn.5, p.567–586, 1950

== Voci correlate ==

* [[Modello Standard]]

* [[Scattering]]

* [[Diagramma di Feynman]]

* [[Elettrodinamica quantistica]]

* [[Propagatore]]

* [[FotoniFotone]]

* [[Bosoni]]

* [[Bosoni vettore]]

* [[Bosoni vettori assiali]]

* [[Equazione di Dirac]]

* [[Lista delle particelle]]

== Collegamenti esterni ==

* [{{cita web|http://daarb.narod.ru/qed-eng.html |Sulla quantizzazione del campo elettromagnetico (in inglese)] }}

{{Teoria quantistica dei campi}}

* [http://daarb.narod.ru/qed-eng.html Sulla quantizzazione del campo elettromagnetico (in inglese)]

{{Portale|meccanica quantistica}}

{{Portale|meccanica quantistica}}

[[Categoria:TeorieElettrodinamica di campoquantistica]]

[[Categoria:Teorie quantistiche]]

[[Categoria: Elettrodinamica quantistica]]