Modulo iniettivo: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], un '''modulo iniettivo''' è un [[modulo (algebra)|modulo]] con la proprietà di essere un addendo diretto di ogni modulo che lo contiene: ovvero ''Q'' è iniettivo se, per ogni modulo ''M'' che lo contiene, esiste un sottomodulo ''N'' di ''M'' tale che ''M'' è la [[somma diretta]] di ''N'' e ''Q''.

{{S|algebra}}

In [[matematica]], un '''modulo iniettivo''' è un [[modulo (algebra)|modulo]] con la proprietà di essere un [[addendo diretto]] di ogni modulo che lo contiene. Questo concetto è il duale di quello di [[modulo proiettivo]] ed; è stato introdotto da [[Reinold Baer]] nel 1940. Un semplice esempio di '''modulo iniettivo''' è lo ''<math>\mathbb{Z''}</math>-modulo ''<math>\mathbb{Q''}</math> dei [[numero razionale|numeri razionali]].

== DefinizioneDefinizioni formaleequivalenti ==

Sia ''A'' un [[anello (algebra)|anello]] e ''Q'' un ''A''-[[modulo (algebra)|modulo]] sinistro (definizioni totalmente analoghe possono essere date per moduli destri). La definizione precedente (''Q'' è iniettivo se è addendo di ogni modulo che lo contiene) può essere espressa in termini di [[successione esatta|successioni esatte]]: ''Q'' è iniettivo [[se e solo se]] ogni successione esatta corta

:<math>0\longrightarrow Q\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow 0</math>

si spezza, ovvero se <math>M=Q\oplus g^{-1}(N)</math> (dove ''g'' è la mappa da ''M'' a ''N'').

UnÈ modulopossibile (sinistro)caratterizzare ''Q''i sumoduli uniniettivi [[anelloanche (algebra)|anello]]attraverso una proprietà di sollevamento: ''RQ'' è un modulo iniettivo se e solo se per ogni [[omomorfismo]] iniettivo di ''RA''-moduli (sinistri) ''f'' : ''X'' → ''Y'' e per ogni omomorfismo ''g'' : ''X'' → ''Q'' esiste un omomorfismo di moduli ''h'' : ''Y'' → ''Q'' tale che ''hf'' = ''g'', cioè tale da far [[diagramma commutativo|commutare]] il seguente diagramma:

:[[ImmagineFile:diagrammadefinizionemoduloiniettivo.png|150 px120px]]

Il ''criterio di Baer'' afferma inoltre che è sufficiente che questa proprietà valga per ''Y'' = ''A'' e per ogni [[ideale (matematica)|ideale]] ''X''.

== Definizioni equivalenti ==

{{...}}

Altre definizioni equivalenti sfruttano maggiormente la [[teoria delle categorie]]: ''Q'' è iniettivo se e solo se il [[Funtore (matematica)|Funtore]] <math>Hom_A(-,Q)</math> è [[funtore esatto|esatto]]; usando il [[funtore Ext]], ''Q'' è iniettivo se <math>Ext^1_A(M,Q)=0</math> per ogni ''A''-modulo ''M''.

== Esempi ==

Un [[gruppo abeliano]] ''G'' (cioè uno <math>\mathbb{Z}</math>-modulo) è iniettivo se e solo se è [[gruppo divisibile|divisibile]], cioè se per ogni <math>g\in G</math> e per ogni <math>n\in\mathbb{Z}</math> esiste un <math>h\in G</math> tale che ''nh'' = ''g''; lo stesso vale per ogni [[dominio ad ideali principali]].

Se ''A'' è un [[dominio d'integrità]], il suo [[campo dei quozienti]] ''K'' è un ''A''-modulo iniettivo; se inoltre ''A'' è un [[dominio di Dedekind]], anche ''K''/''A'' è un modulo iniettivo.

Se ''K'' è un [[campo (matematica)|campo]], tutti i ''K''-moduli (ovvero tutti i ''K''-[[spazio vettoriale|spazi vettoriali]]) sono iniettivi. Se tutti gli ''A''-moduli sono iniettivi, ''A'' è detto [[anello semisemplice|semisemplice]]; questo avviene se e solo se tutti gli ''A''-moduli sono [[modulo proiettivo|proiettivi]], e se e solo se la [[dimensione globale]] di ''A'' è 0.

== Proprietà ==

Il [[prodotto diretto]] <math>Q=\prod Q_i</math> è un modulo iniettivo se e solo se lo è ogni ''Q_i''; tuttavia, né i sottomoduli né i moduli quoziente di un modulo iniettivo sono necessariamente iniettivi.

Ogni ''A''-modulo ''M'' può essere immerso in un ''A''-modulo iniettivo; esiste inoltre un modulo iniettivo ''Q'' (detto ''inviluppo iniettivo'' di ''M'') che è "il più piccolo modulo iniettivo" che contiene ''M'', nel senso che ogni sottomodulo di ''Q'' interseca ''M'' in modo non banale. L'inviluppo iniettivo di ''M'' è unico a meno di [[isomorfismo|isomorfismi]].

== Risoluzioni iniettive ==

Una '''risoluzione iniettiva''' di un modulo ''M'' è una [[successione esatta]]

:<math>0\longrightarrow M\longrightarrow Q_0\longrightarrow Q_1\longrightarrow\cdots\longrightarrow Q_n\longrightarrow\cdots</math>

dove i ''Q_i'' sono moduli iniettivi; poiché ogni modulo è contenuto in un modulo iniettivo, ogni ''M'' ha una risoluzione iniettiva. Se ''Q_k'' è il modulo nullo per ''k'' > ''n'', la risoluzione è detta ''finita''; il minimo ''n'' per cui questo avviene - ovvero il minimo ''n'' per cui esiste una risoluzione finita

:<math>0\longrightarrow M\longrightarrow Q_0\longrightarrow Q_1\longrightarrow\cdots\longrightarrow Q_n\longrightarrow 0</math>

è detto '''dimensione iniettiva''' di ''M''; se ''M'' non ha una risoluzione finita, la sua dimensione è infinita. La dimensione iniettiva misura in un certo senso quanto un modulo "è lontano dall'essere iniettivo": infatti, la dimensione iniettiva di un modulo è 0 se e solo se è iniettivo (corrispondente alla risoluzione finita <math>0\longrightarrow M\longrightarrow M\longrightarrow 0</math>). Un [[anello commutativo]] [[anello noetheriano|noetheriano]] ''A'' la cui dimensione iniettiva (come modulo su sé stesso) è finita è detto [[anello di Gorenstein]].

L'[[estremo superiore]] delle dimensioni iniettive degli ''A''-moduli è detto [[dimensione globale]] (o ''omologica'') di ''A''.

== Bibliografia ==

{{Portale|matematica}}

*{{cita libro|autore=Charles A. Weibel|titolo=An introduction to homological algebra|editore=Cambridge University Press|isbn=0-521-43500-5|lingua=inglese}}

*{{cita libro|autore=Pete L. Clark|titolo=Commutative Algebra|url=http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf|accesso=5 novembre 2011|lingua=inglese|cid=Clarke|dataarchivio=14 dicembre 2010|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20101214214852/http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf|urlmorto=sì}}

== Collegamenti esterni ==

[[Categoria:Teoria dei moduli]]

*{{SpringerEOM|titolo=Injective module|autore=A.V. Mikhalev, A.A. Tuganbaev}}

{{S|algebra commutativa}}

[[en:Injective module]]

{{Controllo di autorità}}

[[es:Módulo inyectivo]]

{{Portaleportale|matematica}}

[[ru:Инъективный модуль]]

[[Categoria:Algebra omologica]]

[[zh:內射模]]

[[Categoria:Teoria dei moduli|Iniettivo]]