Funzione intera: differenze tra le versioni
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I più semplici esempi di funzioni intere sono le [[polinomio|funzioni polinomiali]] e la [[funzione esponenziale]]; altri sono le [[funzione trigonometrica|funzioni trigonometriche]] seno e coseno, le funzioni [[seno iperbolico]] e [[coseno iperbolico]] e la funzione di distribuzione gaussiana sono intere, in quanto si possono ottenere con le suddette composizioni a partire dalla funzione esponenziale.
La somma, la differenza, il prodotto, le derivate e la [[composizione di funzioni]] intere sono funzioni intere; lo sono anche i quozienti ''f''/''g'', ma solo se ogni zero di ''g'', è anche zero di ''f'' con zero di molteplicità uguale o superiore (in caso contrario il quoziente è una [[funzione meromorfa]]).
Molte funzioni inverse di funzioni intere non sono intere: non lo sono la funzione [[logaritmo]], la funzione [[radice quadrata]], [[arcoseno]], [[arcocoseno]].
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:<math>z^m\prod_{n=1}^r \left(1-\frac{z}{a_n}\right).</math>
Di conseguenza, ogni funzione intera con esattamente quegli zeri (con la giusta molteplicità) può essere ottenuta moltiplicando questa [[produttoria]] per <math>e^{g(z)}</math>, ove ''g''(''z'') è una funzione intera.
Questa costruzione non si può estendere senza modifiche ad infiniti zeri, perché il [[prodotto infinito]] potrebbe non convergere (o convergere ma non [[convergenza uniforme|uniformemente]], e quindi non necessariamente ad una funzione olomorfa). È necessario quindi introdurre dei fattori correttivi; il [[teorema di fattorizzazione di Weierstrass]] afferma che ogni funzione intera ''f'' (''z''), con uno zero di ordine ''m'' in 0 e gli altri zeri in ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>, ... (ognuno dei quali ripetuto in accordo con la sua molteplicità), può essere scritta nella forma
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:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{|a_n|^{h_n+1}}<+\infty.</math>
Se tale serie risulta convergente prendendo gli ''h<sub>n</sub>'' tutti uguali ad un [[numero reale]] positivo ''a'', il minimo τ tra gli ''a'' che soddisfano questa ipotesi viene detto esponente di convergenza della successione {|''a''<sub>''n''</sub>|}<sub>''n''</sub>. Il [[teorema di Hadamard]] lega l'ordine λ di una funzione intera all'esponente di convergenza τ ed al grado del polinomio ''d'': più precisamente si ha
:<math>\lambda=\max(d,\tau).</math>
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== Bibliografia ==
* {{cita libro|autore=[[Lars Ahlfors]]|titolo=Complex Analysis|url=https://archive.org/details/complexanalysisi0000ahlf_v7n1|anno=1979|editore=McGraw Hill|lingua=en|edizione=3|isbn=0-07-000657-1}}
== Voci correlate ==
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== Collegamenti esterni ==
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