Funzione intera: differenze tra le versioni

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In [[analisi complessa]], per '''funzione analitica intera''' o, brevementein breve, per '''funzione intera''' si intende una [[Funzione (matematica)|funzione]] di variabile complessa che è [[funzione olomorfa|olomorfa]] in tutti i punti del [[numero complesso|piano complesso]] <math>\mathbb{C}</math>.

Equivalentemente si definisce funzione intera una funzione di variabile complessa ''f''(''z'') che per qualche <math>c\in \mathbb{C}</math> è esprimibile con uno sviluppo in [[serie di potenze Taylor]]

Equivalentemente si definisce funzione intera una funzione di variabile complessa ''f''(''z'') che per qualche <math>c\in \mathbb{C}</math> è esprimibile con uno sviluppo in serie di potenze

:<math>f(z)=a_0+a_1(z-c)+a_2(z-c)^2+a_3(z-c)^3+\cdots</math>

convergente per ogni valore complesso della variabile ''z''.

In effetti uno sviluppo della forma precedente esiste per ogni <math>c\in \mathbb{C}</math>.

convergente per ogni valore complesso della variabile ''z''. In effetti, se uno sviluppo della forma precedente esiste per un punto '''c''', allora esso esiste per ogni punto del piano complesso.

Evidentemente la somma, la differenza, il prodotto, le derivate e le funzioni di funzioni intere sono funzioni intere.

== Esempi ==

I più semplici esempi di funzioni intere sono le [[polinomio|funzioni polinomiali]] e la [[funzione esponenziale]].

AncheI più semplici esempi di funzioni intere sono le [[polinomio|funzioni polinomiali]] e la [[funzione esponenziale]]; altri sono le [[funzione trigonometrica|funzioni trigonometriche]] seno e coseno, le funzioni [[seno iperbolico]] e [[coseno iperbolico]] e la funzione di distribuzione gaussiana sono intere, in quanto si possono ottenere con le suddette composizioni a partire dalla funzione esponenziale.

La somma, la differenza, il prodotto, le derivate e la [[composizione di funzioni]] intere sono funzioni intere; lo sono anche i quozienti ''f''/''g'', ma solo se ogni zero di ''g'', è anche zero di ''f'' con zero di molteplicità uguale o superiore (in caso contrario il quoziente è una [[funzione meromorfa]]).

Anche le [[funzione trigonometrica|funzioni trigonometriche]] seno e coseno, le funzioni [[seno iperbolico]] e [[coseno iperbolico]] e la funzione di distribuzione gaussiana sono intere, in quanto si possono ottenere con le suddette composizioni a partire dalla funzione esponenziale.

Molte funzioni inverse di funzioni intere non sono intere: non lo sono la funzione [[logaritmo]], la funzione [[radice quadrata]], [[arcoseno]], [[arcocoseno]].

Altre funzioni intere sono:

* le [[funzioni di Airy]];

* la [[funzione degli errori]] erf(''z'') e le sue varianti la funzione complementare della funzione degli errori erfc(''z'') e la funzione degli errori immaginaria erfi(''z'');

* la reciproca della [[funzione Gamma]];

* gli [[integrali di Fresnel]];

* la funzione [[integralFunzioni integrali trigonometriche|seno integrale]];

* le [[Funzione integrale esponenziale|funzioni En]];

* la [[funzione G di Barnes]].

== Crescita ==

Si noti che una funzione intera può presentare una [[singolarità (matematica)|singolarità]], anche una [[singolarità essenziale]] nel [[punto all'infinito]] del piano complesso.

Un primo strumento nello studio della crescita delle funzioni intere, ovvero di quanto diventa grande il suo [[valore assoluto|modulo]], sono le stime (valide per qualsiasi [[funzione olomorfa]]) derivanti dalla [[formula integrale di Cauchy]], secondo cui

:<math>\left|f^{(n)}(z)\right|\leq\frac{n!M}{R^n},</math>

Un risultato importante sulle funzioni intere è il [[teorema di Liouville (analisi complessa)|teorema di Liouville]]:

dove ''M'' è il massimo di |''f'' | nel cerchio di raggio ''R'' e centro ''z''. Per le funzioni intere, ''R'' può assumere qualsiasi valore, e quindi può essere fatto tendere all'infinito. Dall'applicazione di questa stima per ''n'' = 1 si ottiene il [[teorema di Liouville (analisi complessa)|teorema di Liouville]]: una funzione intera limitata deve ridursi a una costante; questo è un comportamento significativamente differente dal caso reale, dove esistono funzioni analitiche (ad esempio il seno) che rimangono limitate. Generalizzando, si ottiene che una funzione che cresca al più come un [[polinomio]] di grado ''m'' (tale cioè che <math>|f(z)|<C|z|^m</math> per una costante ''C'' e per un intero ''m'') è effettivamente un polinomio di grado al più ''m''.

:Una funzione intera che è limitata deve ridursi a una costante.

Questi due risultati possono essere riformulati nei termini del comportamento della funzione nel [[punto all'infinito]] del piano complesso: se una funzione intera vi ha una [[Singolarità isolata#Singolarità eliminabile|singolarità eliminabile]] allora è costante, mentre se ha un [[polo (analisi complessa)|polo]] allora è un polinomio; di conseguenza, ogni altra funzione intera ha una [[singolarità essenziale]] all'infinito. Legato a questo è il [[teorema di Picard|piccolo teorema di Picard]]: una funzione intera non costante assume come valore ogni numero complesso con al più una eccezione. La presenza dell'eccezione è necessaria, ad esempio, per la funzione esponenziale, che non è mai nulla.

Questo teorema si può usare per ottenere una elegante dimostrazione del [[teorema fondamentale dell'algebra]].

Un modo per quantificare la velocità con cui una funzione cresce è dato dal suo ''ordine'': questo è definito come

Un enunciato considerevolmente più stringente del teorema di Liouville è costituito dal [[teorema di Picard|piccolo teorema di Picard]]:

:<math>\lambda=\limsup_{r\to\infty}\frac{\ln\ln M_f(r)}{\ln r},</math>

:Una funzione intera non costante assume come valore ogni numero complesso con al più una eccezione.

dove ''M_f''(''r'' ) indica il massimo del modulo di ''f'' nei punti di modulo minori di ''r''. Ad esempio, i polinomi hanno ordine 0, la funzione esponenziale ordine 1 e la funzione <math>e^{e^z}</math> ha ordine infinito. Un esempio di ordine frazionario (1/2) è dato dalla funzione (intera) <math>\cos\sqrt{z}</math>.

Un esempio della suddetta eccezione si ha con la funzione esponenziale che assume tutti i valori complessi ad eccezione dello 0.

== Zeri ==

Come per ogni funzione olomorfa, l'insieme degli zeri di una funzione intera non può avere alcun [[punto di accumulazione]] interno al dominio, e dunque, in questo caso, nell'intero piano complesso; a parte questa condizione, tuttavia, gli zeri di una funzione intera possono distribuirsi in qualunque modo. Nel caso di un numero finito di zeri è facile costruire una funzione intera che si annulla in quegli zeri (e solo in quelli). Ad esempio, una funzione con zero in 0 di molteplicità ''m'' (può anche essere ''m''=0) e in ''a''₁, ..., ''a''_n, diversi da 0 (ove ogni zero è ripetuto un numero di volte pari alla sua molteplicità), è data dal polinomio

:<math>z^m\prod_{n=1}^r \left(1-\frac{z}{a_n}\right).</math>

Di conseguenza, ogni funzione intera con esattamente quegli zeri (con la giusta molteplicità) può essere ottenuta moltiplicando questa [[produttoria]] per <math>e^{g(z)}</math>, ove ''g''(''z'') è una funzione intera.

Questa costruzione non si può estendere senza modifiche ad infiniti zeri, perché il [[prodotto infinito]] potrebbe non convergere (o convergere ma non [[convergenza uniforme|uniformemente]], e quindi non necessariamente ad una funzione olomorfa). È necessario quindi introdurre dei fattori correttivi; il [[teorema di fattorizzazione di Weierstrass]] afferma che ogni funzione intera ''f'' (''z''), con uno zero di ordine ''m'' in 0 e gli altri zeri in ''a''₁, ''a''₂, ..., ''a''_''n'', ... (ognuno dei quali ripetuto in accordo con la sua molteplicità), può essere scritta nella forma

:<math>f(z)=z^m e^{g(z)}\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z}{a_n}\right)e^{g_n(z)},</math>

dove ''g'' (''z'') è una funzione intera e

:<math>g_n(z)=\frac{z}{a_n}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{a_n}\right)^2+\cdots+\frac{1}{h_n}\left(\frac{z}{a_n}\right)^{h_n}</math>

in cui gli ''h_n'' sono degli interi tali che

:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{|a_n|^{h_n+1}}<+\infty.</math>

Se tale serie risulta convergente prendendo gli ''h_n'' tutti uguali ad un [[numero reale]] positivo ''a'', il minimo &tau; tra gli ''a'' che soddisfano questa ipotesi viene detto esponente di convergenza della successione {|''a''_''n''|}_''n''. Il [[teorema di Hadamard]] lega l'ordine &lambda; di una funzione intera all'esponente di convergenza &tau; ed al grado del polinomio ''d'': più precisamente si ha

:<math>\lambda=\max(d,\tau).</math>

Grazie al teorema di Hadamard è possibile dimostrare che ogni funzione intera di ordine frazionario assume tutti i valori nel piano complesso infinite volte.

== Bibliografia ==

* {{cita libro|autore=[[Lars Ahlfors]]|titolo=Complex Analysis|url=https://archive.org/details/complexanalysisi0000ahlf_v7n1|anno=1979|editore=McGraw Hill|lingua=en|edizione=3|isbn=0-07-000657-1}}

== Voci correlate ==

* [[Funzione meromorfa]]

== Collegamenti esterni ==

[[Categoria:Analisi complessa]]

* {{Collegamenti esterni}}

[[Categoria:Funzioni speciali]]

{{Controllo di autorità}}

[[ca:Funció entera]]

{{Portale|matematica}}

[[de:Ganze Funktion]]

[[en:Entire function]]

[[Categoria:Analisi complessa]]

[[es:Función entera]]

[[fr:Fonction entière]]

[[he:פונקציה שלמה]]

[[ja:整関数]]

[[ko:완전함수]]

[[lmo:Funziun intrega]]

[[ru:Целая функция]]