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Il '''Sistemasistema input-output''' è stato definito dadall'economista sovietico [[Wassily Leontief]] analizzando statisticamente le interazioni tra le industrie di una nazione. L’analisiL'analisi si basa sulla ''tavola input-output'' o ''[[tavola delle interdipendenze settoriali]]'' e offre una rappresentazione schematica delle relazioni determinate dalla [[produzione]] e dalla circolazione (acquisti e vendite) dei beni tra i vari settori in cui si articola un [[sistema economico]] e con l'esterno ([[importazione|importazioni]] ed [[esportazione|esportazioni]]); determina l’impattol'impatto sulle industrie fornitrici rispetto a cambiamenti della produzione in una singola industria. Queste tecniche possono essere usate per misurare l’impattol'impatto del cambiamento della [[domanda (economia)|domanda]] in qualunque [[industria]] sull'intera [[economia]].
Il '''Sistemasistema input-output''' considera un'[[Scambio (economia)|economia di scambio]] (a livello nazionale o regionale) suddivisa in un certo numero di settori produttivi (detti anche [[ATECO|branche di attività economiche]] o industrie) individuati generalmente per tipo omogeneo di prodotto realizzato. Ciascun settore, nel suo insieme, si pone sul mercato con un duplice ruolo: come acquirente dei beni e dei servizi degli altri settori e di [[Fattore produttivo|fattori]] che impiega nel processo produttivo, da un lato; come venditore della merce che produce dall’altrodall'altro.
== Il modello chiuso di Leontief ==
Nel modello chiuso, introdotto da Leontief nel 1941, si descrivono i flussi di beni e servizi tra tutti i settori di un'economia in un dato arco di tempo. Non vi è distinzione tra settori di produzione e settori di consumo: così come i settori della produzione si scambiano beni e servizi (ad esempio, l'agriculturaagricoltura fornisce materie prime all'industria, ovvero l'industria «consuma» prodotti agricoli: i cosiddetti [[Consumo|consumi intermedi]]), i consumatori forniscono risorse ai settori produttivi (che «consumano» lavoro) e spendono i redditi ricevuti come contropartita nel consumo dei beni e servizi prodotti (cosiddetti [[Consumo|consumi finali]]).
Ad esempio:<ref>L'esempio ede i successivi sviluppi analitici sono adattati da W. Leontief, «Input-output analysysanalysis», in ''Input-Output Economics'', 1986, pp. 19-40.</ref>
{| border="0" align="center" style="border-bottom:2px solid black; text-align:center"
| style="text-align:left" | 300 anni-uomo di lavoro
|}
Le righe della tabella mostrano gli output (le erogazioni):
Le colonne mostrano gli input (le immissioni):
* l'agriculturaagricoltura impiega 7,5 quintali di grano, 14 metri di stoffa e 80 anni-uomo per produrre 30 quintali di grano:
* l'industria impiega 6 quintali di grano, 6 metri di stoffa e 180 anni-uomo;
* le famiglie spendono i loro redditi da lavoro per acquistare 16,5 quintali di grano, 30 metri di stoffa e 40 anni-uomo di lavoro.
Deve esistere un sistema di prezzi che garantisca la possibilità effettiva degli scambi tra i diversi settori; nel caso della Tabella 1 i prezzi sono 20 euro per un quintale di grano, 15 euro per un metro di stoffa, 23 euro per un anno-uomo di lavoro. Si ottiene così la tabella dei valori:
{| border="0" align="center" style="border-bottom:2px solid black; text-align:center"
| style="border-top:1px solid black;" | 2.250
|}
La prima riga mostra che il settore agricolo usa 150 euro del proprio prodotto (utilizzo diretto o scambi tra agricoltori), ne vende parte all'industria per 120 euro ed il resto alle famiglie per 330 euro, con un ricavo complessivo di 600 euro.
La prima colonna mostra che il settore agricolo usa 150 euro del proprio prodotto, 210 euro di prodotti industriali e 240 di lavoro (salari), per un costo complessitocomplessivo di 600 euro.
Analogamente per gli altri settori, che chiudono anch'essi «in pareggio». Ciò consente di iniziare un nuovo ciclo annuale (tutti i settori ricevono gli input necessari per una nuova produzione), che si svolgerà come il precedente. Si dice quindi che i prezzi indicati garantiscono la ''riproducibilità'' del sistema economico considerato.
Analiticamente, il prodotto totale dell<nowiki>'</nowiki>''i''-esimo settore si indica con ''q<sub>i</sub>'', la quantità prodotta dall<nowiki>'</nowiki>''i''-esimo settore e impiegata dal ''j''-esimo si indica con ''q<sub>ij</sub>'', il prezzo del prodotto dell<nowiki>'</nowiki>''i''-esimo settore con ''p<sub>i</sub>''. Le due tabelle costituiscono casi particolari dei due [[Sistemasistema di equazioni lineari|sistemi di equazioni lineari]]:
:<math>(1)\quad\begin{cases}q_{11}+q_{12}+\dots+q_{1n}=q_1\\q_{21}+q_{22}+\dots+q_{2n}=q_2\\ \dots \\q_{n1}+q_{n2}+\dots+q_{nn}=q_n\end{cases}</math>
:<math>(2)\quad\begin{cases}q_{11}p_1+q_{21}p_2+\dots+q_{n1}p_n=q_1p_1\\q_{12}p_1+q_{22}p_2+\dots+q_{n2}p_n=q_2p_2\\ \dots \\q_{1n}p_1+q_{2n}p_2+\dots+q_{nn}p_n=q_np_n\end{cases}</math>
Da notare che le righe del primo sistema corrispondono alle righe della Tabella 1, mentre le righe del secondo corrispondono ''alle colonne'' della Tabella 2 ed esprimono la condizione di «pareggio», cioè di uguaglianza tra il valore degli input di ciascun settore (somma della relativa colonna) e il valore del suo output (somma di riga).
Da notare che le righe del primo sistema corrispondono alle righe della Tabella 1, mentre le righe del secondo corrispondo ''alle colonne'' della Tabella 2 ed esprimono la condizione di «pareggio», cioè di uguaglianza tra il valore degli input di ciascun settore (somma della relativa colonna) e il valore del suo output (somma di riga).
Dividendo la quantità di un prodotto utilizzato in un settore per la quantità totale del prodotto dello stesso settore si ottengono i ''coefficienti tecnici di produzione'':
:<math>a_{ij}=\frac{q_{ij}}{q_jq_{j}}</math>
Ad esempio, ''a<sub>21</sub>''=''q<sub>21</sub>''/''q<sub>1</sub>''=(210/15)/(600/20)=14/30=0.466747 ci dice che per la produzione di stoffaciascun assorbequintale il 46,67% deldi grano complessivamenteoccorrono prodotto0,47 dalm sistemadi stoffa.
Dividendo ciascuna riga del secondo sistema per le quantità prodotte, si ottiene un nuovo sistema espresso in termini dei coefficienti tecnici di produzione:
:<math>(3)\quad\begin{cases}a_{11}p_1+a_{21}p_2+\dots+a_{n1}p_n=p_1\\a_{12}p_1+a_{22}p_2+\dots+a_{n2}p_n=p_2\\ \dots \\a_{1n}p_1+a_{2n}p_2+\dots+a_{nn}p_n=p_n\end{cases}</math> in forma matriciale: <math>A^T\vec{p}=\vec{p}</math>
:<math>(4)\quad\begin{cases}(a_{11}-1)p_1+a_{21}p_2+\dots+a_{n1}p_n=0\\a_{12}p_1+(a_{22}-1)p_2+\dots+a_{n2}p_n=0\\ \dots \\a_{1n}p_1+a_{2n}p_2+\dots+(a_{nn}-1)p_n=0\end{cases}</math> in forma matriciale: <math>(A^T-I)\vec{p}=\vec{0}</math>
dove ''A<sup>T</sup>'' è la [[Matrice trasposta|trasposta]] della [[matrice quadrata]] (''a<sub>ij</sub>'') dei coefficienti tecnici di produzione e ''I'' è la [[matrice identità]].
L'ultimo è un [[Sistema di equazioni lineari#Sistema linearedi equazioni lineari omogeneo|sistema lineare omogeneo]], che ammette soluzioni non banali (diverse da ''p<sub>i</sub>''=0 per qualsiasi ''i'') e non negative se 1 è l'[[autovalore]] massimo di ''A<sup>T</sup>''. Si può dimostrare che tale condizione sussiste sempre e, pertanto, che il sistema (2) permette di trovare i prezzi che garantiscono la riproducibilità dell'economia.
Il modello chiuso, peraltro, è il modello di un'economia statica che riproduce costantemente se stessa, producendo e consumando sempre le stesse quantità.
== Il modello aperto di Leontief ==
Nel 1951 Leontief introdusse un modello aperto, così detto perché interviene una [[domanda]] [[Consumo|finale]] ''esogena'', non determinata dalle condizioni tecniche ed economiche di riproducibilità ma proveniente da settori non direttamente coinvolti nella produzione (amministrazioni pubbliche, percettori di rendite ecc.), e perché compare un [[valore aggiunto]] (un surplus rispetto a quanto consente la semplice riproduzione) utilizzato per distribuire redditi ai settori esogeni. Il valore aggiunto può essere semplicemente consumato, oppure [[Investimento|investito]] per aumentare la produzione; gli investimenti, a loro volta, possono comportare o meno cambiamenti nella tecnologia.
Nel 1951 Leontief introdusse un modello aperto, così detto perché interviene una domanda [[Consumo|finale]] ''esogena'', non determinata dalle condizioni tecniche ed economiche di riproducibilità ma proveniente da settori non direttamente coinvolti nella produzione (amministrazioni pubbliche, percettori di rendite ecc.), e perché compare un [[valore aggiunto]] (un surplus rispetto a quanto necessario per la semplice riproduzione) che consente di distribuire redditi ai settori esogeni. Il valore aggiunto può essere semplicemente consumato, oppure [[Investimento|investito]] per aumentare la produzione; gli investimenti, a loro volta, possono comportare o meno cambiamenti nella tecnologia.
=== Analisi statica ===
Si suppone che gli investimenti effettuati al tempo ''t'' producano effetti a partire dal tempo ''t''+1. Nell'analisi statica, limitata ad un unico ciclo produttivo, si prescinde quindi dagli investimenti e si analizza l'economia secondo modalità analoghe a quelle del modello chiuso.
Dal punto di vitavista analitico, sostituendo nel sistema (1) ai termini ''q<sub>ij</sub>'' gli equivalenti ''a<sub>ij</sub>q<sub>j</sub>'' ed aggiungendo le domande finali ''y<sub>i</sub>'' si ottiene:
:<math>(5)\quad\begin{cases}a_{11}q_1+a_{12}q_2+\dots+a_{1n}q_n+y_1=q_1\\a_{21}q_1+a_{22}q_2+\dots+a_{2n}q_n+y_2=q_2\\ \dots \\a_{n1}q_1+a_{n2}q_2+\dots+a_{nn}q_n+y_n=q_n\end{cases}</math>
:<math>(6)\quad\begin{cases}(1-a_{11})q_1-a_{12}q_2-\dots-a_{1n}q_n=y_1\\-a_{21}q_1+(1-a_{22})q_2-\dots-a_{2n}q_n=y_2\\ \dots \\-a_{n1}q_1-a_{n2}q_2-\dots+(1-a_{nn})q_n=y_n\end{cases}</math> in forma matriciale: <math>(I-A)\vec{q}=\vec{y}</math>
Si può dimostrare che anche in questo caso esiste sempre un vettore di quantità non negative che sia soluzione del sistema (6) e che, pertanto, si possono trovare le quantità che, dati i [[Coefficiente di produzione|coefficienti di produzione]], consentono di ottenere output uguali alla domanda.
Partendo invece dal sistema (2), aggiungendo le domande finali e dividendo per le quantità, si ottiene un sistema di equazioni che esprimono l'uguaglianza tra i pagamenti effettuati dai settori endogeni (direttamente coinvolti nel processo produttivo) e i ricavi ottenuti, ''v<sub>i</sub>'', da ciascun settore per una unità di prodotto:
Si può dimostrare che anche in questo caso esiste sempre un vettore di quantità non negative che sia soluzione del sistema (6) e che, pertanto, si possono trovare le quantità che, dati i coefficienti di produzione, consentono di ottenere output uguali alla domanda.
Partendo invece dal sistema (2), aggiungengo le domande finali e dividendo per le quantità, si ottiene un sistema di equazioni che esprimono l'uguaglianza tra i pagamenti effettuati dai settori endogeni (direttamente coinvolti nel processo produttivo) ed i ricavi ottenuti, ''v<sub>i</sub>'', da ciascun settore per una unità di prodotto:
:<math>(7)\quad\begin{cases}(1-a_{11})p_1-a_{21}p_2-\dots-a_{n1}p_n=v_1\\-a_{12}p_1+(1-a_{22})p_2-\dots-a_{n2}p_n=v_2\\ \dots \\-a_{1n}p_1-a_{2n}p_2-\dots+(1-a_{nn})p_n=v_n\end{cases}</math> in forma matriciale: <math>(I-A^T)\vec{p}=\vec{v}</math>
I valori ''v<sub>i</sub>'' comprendono sia i costi degli input che il valore aggiunto distribuito ai settori esogeni. Il sistema (7) consente di determinare i prezzi sulla base di dati valori aggiunti per unità di prodotto.
Tuttavia, al fine di meglio determinare i prezzi è necessario tener conto del fatto che in ciascuna attività produttiva intervengono sia i [[Consumo|consumi intermedi]] e il lavoro, sia i beni capitali. I ricavi delle vendite, infatti, vengono utilizzati sia per pagare i consumi intermedi ede i salari, sia per remunerare il capitale investito.
Per tenere conto dei beni capitali, si aggiunge alla matrice ''A''=(''a<sub>ij</sub>'') dei coefficienti di produzione una matrice ''B''=(''b<sub>ij</sub>'') dei coefficienti di capitale, ciascuno dei quali esprime quanto dei beni capitale prodotti dal settore ''i'' viene consumato nel settore ''j''.
dove:
* i [[Vettore (matematica)|vettori]] ''q''(''t'') e ''q''(''t''+1) rappresentano gli output dei diversi settori ai tempi ''t'' e ''t''+1;
* il vettore ''y''(''t'') rappresenta i prodotti dei diversi settori disponibili, al tempo ''t'', per le famiglie e altri utenti finali (si tratta cioè del surplus; nella versione «chiusa» del modello il vettore ''y''(''t'') è nullo, in quanto tutto il prodotto deve essere utilizzato per ripristinare le condizionecondizioni iniziali di produzione);
* ''A'' e ''B'' sono, rispettivamente, le matrici dei coefficienti tecnici di produzione e dei coefficienti di capitale.
Le equazioni dicono quanto della produzione al tempo ''t'' è disponibile per i [[Consumo|consumi finali]], una volta detratto quando serve per i [[Consumo|consumi intermedi]] e per incrementare lo stock di capitale (si assume che i beni capitale aggiunti allo stock al tempo ''t'' entrino in uso al tempo ''t''+1).
Nel secondo caso, ne risultano alterate le matrici ''A'' e ''B''; possono cambiare i valori di alcuni loro elementi, oppure possono sparire vecchie righe o colonne e apparirne di nuove.
Può anche risultare utile valutare gli effetti di una tecnologia piuttosto che di altre, mediante algoritmi di [[Programmazione lineare]].<ref>Leontief («Input-output analysis», p. 35) ricorda che [[George Dantzig]] sviluppò l'[[algoritmo del simplesso]] come strumento per automatizzare i calcoli di modelli input-output con successive modifiche delle matrici. V. anche gli interventi di Dantzig in ''[http://cowles.econ.yale.edu/P/cm/m13/index.htm Activity Analysis of Production and Allocation. Proceedings of a Conference] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080604104048/http://cowles.econ.yale.edu/P/cm/m13/index.htm |date=4 giugno 2008 }}'', a cura di Tjalling Koopmans, New York, John Wiley & Sons, 1951 e G. Dantzig, «[httphttps://links.jstor.org/sici?sici=0012-9682%28195507%2923%3A3%3C295%3AOSOADL%3E2.0.CO%3B2-H Optimal Solution of a Dynamic Leontief Model with Substitution] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210528154736/https://www.jstor.org/stable/1910385 |date=28 maggio 2021 }}», ''Econometrica'', vol. 23, n. 3. (luglio 1955), pp. 295-302.</ref>
== Il modello rettangolare di Stone ==
{{vedi anche|Tavole input-output nella contabilità nazionale}}
I modelli di Leontief, come si è visto, si basano su matrici quadrate, dette anche simmetriche perché sia le righe che le colonne si riferiscono allo stesso insieme di settori.
Negli anni '60 [[Richard Stone]], nell'ambito del suo lavoro sui sistemi di [[contabilità nazionale]], introdusse matrici rettangolari dedicate alle risorse (''supply'') ed ai relativi impieghi (''use''), che, oltre a fornire informazioni di rilevante interesse, consentivano di costruire poi una matrice simmetrica di tipo Leontief. Il metodo di Stone è stato recepito, tramite gli standard internazionali SNA 93<ref>Nazioni Unite, [http://unstats.un.org/unsd/sna1993/introduction.asp System of National Accounts 1993] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080706174302/http://unstats.un.org/unsd/sna1993/introduction.asp |data=6 luglio 2008 }}.</ref> e [[Sec95]]<ref>Il Sec95 richiede che i conti nazionali siano derivati da uno schema intersettoriale e che sia garantita completa coerenza fra gli aggregati della contabilità nazionale e le tavole delle risorse e degli impieghi. Cfr. ISTAT, [http://www.istat.it/dati/dataset/20061023_00/nota_metodologica.pdf Le tavole delle risorse e degli impieghi e la loro trasformazione in tavole simmetriche. Nota metodologica] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070117122213/http://www.istat.it/dati/dataset/20061023_00/nota_metodologica.pdf |date=17 gennaio 2007 }}, ottobre 2006, pag. 2.</ref>, nella contabilità nazionale di molti paesi.
Le matrici rettangolari sono asimmetriche in quanto sono matrici prodotto per branca (le righe si riferiscono ai prodotti, le colonne alle branche di attività economica, eventualmente aggregate in settori). Ciò consente di tenere conto delle cosiddette «produzioni secondarie». Nei modelli di Leontief prodotti e branche coincidono (l'output dell'agricoltura comprende solo prodotti agricoli, quello dell'industria solo prodotti industriali, ecc.), mentre nelle matrici di Stone in ogni colonna vi sono i prodotti di ciascuna branca/settore, sia quelli tipici che quelli secondari (per l'agricoltura possono esservi sia i prodotti agricoli in senso stretto, sia servizi come l'agriturismo).
=== La tavola delle risorse ===
La tavola delle risorse mostra la disponibilità di risorse, distinguendo tra produzione interna e importazioni, normalmente valutate a [[Prezzo base|prezzi base]].
== Considerazioni ==
Si tratta di una matrice rettangolare composta da:
Sono intuibili le possibilità di impiegare questi modelli a fini di programmazione economica: essi consentono infatti di studiare gli effetti che modificazioni della composizione e del livello della domanda finale provocano sui livelli di produzione dei diversi settori e sull'occupazione a livello settoriale e complessivo, e di confrontare tali grandezze con la potenzialità produttiva del sistema economico.
* una ''matrice della produzione'', quadrata, con righe intestate ai prodotti e colonne intestate alle branche di attività economica; la matrice tiene conto del fatto che ciascuna branca può produrre, oltre al suo prodotto caratteristico, anche prodotti tipici di altre branche:<ref>Si tratta di un aspetto di cui è difficile tenere conto nei modelli di Leontief.</ref> lungo la diagonale principale si leggono le produzioni tipiche di ciascuna branca, nelle altre caselle vi sono le cosiddette ''produzioni secondarie'', ovvero i beni e servizi prodotti collateralmente a quelli tipici (ad esempio, il servizio di agriturismo offerto da un'azienda agricola);
* una ''matrice delle importazioni'', che contiene le importazioni [[Cost, Insurance and Freight|CIF]];
* una ''matrice di valutazione'', che comprende le imposte nette sui prodotti ed i margini di trasporto che, aggiunti ai [[Prezzo base|prezzi base]], consentono di passare ai prezzi di acquisto.
Analisi di impatto, analisi dei moltiplicatori, individuazione di filiere di produzione e/o di settori verticalmente integrati dell'economia (regionale), costituiscono alcuni dei più fecondi sviluppi della concezione della tavola come modello economico.
Raccogliendo branche e prodotti in tre aggregati, la tavola delle risorse si presenta così:
Nell'analisi di impatto, questo modello si presta ad essere utilizzato per valutare l'effetto prodotto da manovre di [[politica economica]] che operano facendo variare direttamente le componenti della domanda finale (un programma di investimenti pubblici, per esempio) o per effettuare esercizi di simulazione a scopo previsivo (ad esempio valutazione degli effetti prodotti sul sistema da variazioni sui mercati di esportazione causate da variazioni del [[tasso di cambio]] o dall'incremento/decremento delle presenze turistiche).
{| border="0" align="center" style="border-bottom:2px solid black; text-align:center"
|+ style="border-bottom:2px solid black; text-align:left; font-size:smaller" | Tabella 1. ''Tavola delle risorse a prezzi base - anno 2000 (milioni di euro)''.
|
! style="border-bottom:1px solid black;" colspan=4 | Produzione ai prezzi base
! Importazioni
! Risorse totali
|-
! style="border-bottom:1px solid black;" | prodotti
! style="border-bottom:1px solid black;" | agricoltura
! style="border-bottom:1px solid black;" | industria
! style="border-bottom:1px solid black;" | servizi
! style="border-bottom:1px solid black;" | totale
! style="border-bottom:1px solid black;" | cif
! style="border-bottom:1px solid black;" | a prezzi base
|-
| agricoltura || 46.459 || 0 || 674 || 47.133 || 9.257 || 56.390
|}
La matrice dei flussi fisici intersettoriali può essere trasformata nella tavola delle transazioni, nella quale si individuano:
<ul>
<li>una matrice quadrata ''X'' di dimensione n×n dei flussi intermedi: il generico elemento ''x<sub>ij</sub>'' rappresenta il valore del flusso di beni e servizi che il settore ''j'' acquista presso il settore ''i''
<li>un vettore colonna ''f'' della domanda finale: il generico elemento ''f<sub>i</sub>'' rappresenta il valore della domanda finale del bene prodotto dal settore ''i''
<li>un vettore riga ''v'' del [[valore aggiunto]]: il generico elemento ''v<sub>j</sub>'' costituisce il residuo tra la il valore della produzione del settore ''j'' e gli impieghi per l’acquisto dei beni intermedi ad esso necessari. Rappresenta quindi il plusvalore generato dalla produzione del settore ''j'' ed è formato tipicamente dalla somma dei salari e dei profitti
</ul>
inoltre, il passaggio da ''Q'' a ''X'' consente in generale di ridurre il numero di settori considerati, aggregando insieme due o più settori, consentendo quindi di esaminare l’economia ad un preciso (e desiderato) livello di disaggregazione.
<center>
<table height="50" width="50" border="2">
<tr><td>''X''</td><td>''f''</td></tr>
<tr><td>''v''</td></tr>
</table>
</center>
La matrice ''X'' e i vettori ''v'' e ''f'' rispettano le seguenti identità contabili:
<br><br>
(4) <math>x_i = \sum_{j} x_{ij} + f_i\,</math>
<br><br>
(5) <math>x_j = \sum_{i} x_{ij} + v_j\,</math>
<br><br>
La (4) è un’equazione di domanda, simile alla (1): il valore della produzione ''x<sub>i</sub>'' di un dato settore viene destinata per soddisfare la domanda intermedia (indicati dagli elementi della riga ''i'' della matrice ''X'') e la domanda finale ''f'' (in valore).
La (5) è un’equazione dei costi, costruita sommando le colonne della il valore della produzione ''x<sub>j</sub>'' del settore ''j'' è dato dalla somma del costo dei fattori (indicati dagli elementi della colonna ''j'' della matrice ''X'') più il valore aggiunto ''v<sub>j</sub>'' determinato in modo residuale.
Dalle (4) e (5) segue una relazione contabile fondamentale che lega il valore complessivo della produzione destinata alla domanda finale al valore aggiunto complessivamente realizzato nel sistema economico:
<br><br>
(6) <math>\sum_{i} f_i = \sum_{j} v_j\,</math>
<br><br>
La (6) indica per l’appunto l’identità che esiste tra prodotto nazionale ([[PIL]]) e valore aggiunto complessivo (reddito nazionale).
Per quanto riguarda la parte interindustriale della tavola dei flussi fisici, normalizzando la matrice ''Q'' rispetto alla produzione del singolo settore ''q<sub>j</sub>'' si rende la tavola indipendente dal livello di produzione ottenendo una matrice ''A'' di coefficienti tecnici di produzione e un vettore ''l'' di coefficienti di lavoro:
<br><br>
(7) <math>a_{ij} = \frac{q_{ij}}{q_j}</math>
<br><br>
(8) <math>l_j = \frac{L_j}{q_j}</math>
<br><br>
Il generico elemento ''a<sub>ij</sub>'' misura la quantità della merce ''i'' impiegata per la produzione di un’unità di merce ''j'' ossia la composizione dei mezzi di produzione e del lavoro che consente al settore ''j'' di realizzare la propria produzione. La loro grandezza è determinata principalmente da fattori di ordine tecnologico, in quanto in un reale [[sistema economico]] essi mutano lentamente mostrando di risentire relativamente poco delle variazioni nei livelli di produzione settoriale e di rispondere in maniera graduale al manifestarsi del progresso tecnico. La matrice dei coefficienti tecnici [''a<sub>ij</sub>''] e il vettore dei coefficienti del lavoro ''l<sub>j</sub>'' esprimono la struttura tecnologica del sistema economico ossia la regola specifica di combinazione dei mezzi di produzione nei diversi settori dell’economia.
===Determinazione di prodotto e lavoro===
Raccogliendo ''q<sub>j</sub>'' nella (1) è possibile scrivere il c.d. modello aperto di Leontief e di risolverlo rispetto a ''q'' in funzione del livello della domanda finale ''y'' interpretando così la tavola input-output come modello di [[equilibrio economico generale]], sia pure molto semplificato:
<br><br>
(1.a) <math>q_i = \sum_{j} a_{ij} q_i + y_i\,</math>
<br><br>
(1.b) <math>q = Aq + y\,</math>
<br><br>
dove ''q'' è il vettore colonna delle produzioni ''q<sub>i</sub>''
<br><br>
(1.c) <math>q = (I-A)^{-1}y = By\,\!</math>
<br><br>
(1.d) <math>q_i = \sum_{j} b_{ij} y_i\,</math>
<br><br>
La matrice risolvente ''B'' viene detta ''matrice dei requisiti diretti e indiretti'', nel senso che il generico coefficiente ''b<sub>ij</sub>'' indica la quota di produzione di bene ''j'' che deve essere impiegata nella produzione del bene ''i'' affinché sia resa disponibile alla domanda finale un’unità di bene ''j''. Per come è stata definita la matrice ''A'' esiste sempre l'inversa di ''(I-A)''.
Una volta determinato il livello della produzione ''q'', l’occupazione complessiva ''L'' si determina tramite i coefficienti di lavoro ''l<sub>i</sub>'' infatti:
<br><br>
(2.a) <math>L = \sum_{j} l_j q_j\,\!</math>
<br><br>
===Determinazione dei prezzi===
In maniera del tutto analoga alla relazione che è stata individuata tra domanda finale e produzione complessiva dei diversi settori, è possibile mettere in relazione il valore aggiunto e il prezzo delle merci di ciascun settore produttivo: Da ciascuna delle colonne della tavola delle transazioni risulta infatti che il valore della produzione eguaglia la somma del costo degli impieghi intermedi e del valore aggiunto, cioè
<br><br>
(9) <math>p_j = \sum_{i} a_{ij}p_i + u_j\,</math>
<br><br>
(9.a) <math>p = A'p + u\,\!</math>
<br><br>
dove il vettore ''u'' rappresenta il [[valore aggiunto]] per unità di prodotto (anziché il valore aggiunto complessivo). Risolvendo il sistema rispetto ai prezzi otteniamo
<br><br>
(9.b) <math>p = B'u\,\!</math>
<br><br>
(9.c) <math>p_j = \sum_{i} b_{ij} u_i\,</math>
<br><br>
Noti dunque i coefficienti tecnici di produzione e il valore aggiunto settoriale per unità di prodotto, è possibile determinare i prezzi dei beni.
<br><br>
===Considerazioni===
Sono intuibili le possibilità di impiegare questo modello a fini di programmazione economica: esso consente infatti di studiare gli effetti che modificazioni della composizione e del livello della domanda finale provocano sui livelli di produzione dei diversi settori e sull’occupazione a livello settoriale e complessivo, e di confrontare tali grandezze con la potenzialità produttiva del sistema economico.
<br>
Analisi di impatto, analisi dei moltiplicatori, individuazione di filiere di produzione e/o di settori verticalmente integrati dell’economia (regionale), costituiscono alcuni dei più fecondi sviluppi della concezione della tavola come modello economico.
<br>
Nell’analisi di impatto, questo modello si presta ad essere utilizzato per valutare l’effetto prodotto da manovre di [[politica economica]] che operano facendo variare direttamente le componenti della domanda finale (un programma di investimenti pubblici, per esempio) o per effettuare esercizi di simulazione a scopo previsivo (ad esempio valutazione degli effetti prodotti sul sistema da variazioni sui mercati di esportazione causate da variazioni del [[tasso di cambio]] o dall’incremento/decremento delle presenze turistiche).
<br>
In genere, però, il modello input-output è suscettibile di essere impiegato ogniqualvolta sia possibile ricondurre le variabili causali in effetti di variazione di una o più delle componenti finali in modo da rendere operante il meccanismo di funzionamento “da domanda finale a produzione” proprio dello schema logico input-output.
== Note ==
{{<references}} />
== Bibliografia ==
* [[Amedeo Amato]], [[Paolo_Costa_%28politico%29Paolo Costa (politico)|Paolo Costa]], ''Interdipendenze industriali e programmazione regionale'', [[Milano]], [[F. Angeli]], [[1978]], ISBN 882041078888-204-1078-8
* ISTAT, [http://www.istat.it/dati/dataset/20061023_00/nota_metodologica.pdf Le tavole delle risorse e degli impieghi e la loro trasformazione in tavole simmetriche. Nota metodologica] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070117122213/http://www.istat.it/dati/dataset/20061023_00/nota_metodologica.pdf |date=17 gennaio 2007 }}, ottobre 2006.
* {{en}} [[Wassily Leontief]], ''The Structure of American Economy 1919-1929'', 1ªª edizione, Cambridge, Mass., Harvard University Press, 1941; 2ªª edizione, New York, Oxford University Press, 1951; la prima edizione contiene solo il modello chiuso, la seconda anche il modello aperto.
* {{en}} [[Wassily Leontief]], ''Input-Output OconomicsEconomics'', New York, Oxford University Press, 1986, ISBN 01950352590-19-503525-9; raccoglie venti articoli scritti tra il 1947 e il 1985.
* [[Luigi Pasinetti]], ''Lezioni di teoria della produzione'', Bologna, Il Mulino, 1981, ISBN 881502035788-15-02035-7; il Capitolo 4 è dedicato a «Lo schema di Leontief», il Capitolo 2 a «La tavola delle transazioni o delle immissioni-erogazioni» ed al suo utilizzo come complemento e controllo delle rilevazioni di [[contabilità nazionale]].
== Voci correlate ==
* [[Input/output]]
* [[OutputMetodi di input/output]]
* [[Tavole input-output nella contabilità nazionale]]
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
{{Controllo di autorità}}
{{Portale|economia}}
[[Categoria:Economia politica]]
[[Categoria:Economia della produzione]]
[[Categoria:SistemiEconometria]]
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