Funzione monotona: differenze tra le versioni

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== Definizione generale ==

Sia <math>f\colon P\to Q</math> una [[funzioneFunzione (matematica)|funzione]] tra due [[Insieme|insiemi]] <math>P</math> e <math>Q</math>, entrambi dotati di [[relazione d'ordine|ordinamento parziale]], denotato col simbolo <math>\le</math> per entrambi gli insiemi. Di solito in analisi si pone l'accento su funzioni tra sottoinsiemi dei [[numero reale|numeri reali]] e la relazione d'ordine <math>\le</math> è la relazione d'ordine usuale dei numeri reali, ma questa posizione non è necessaria ai fini di questa definizione.

La funzione <math>f</math> si dice '''monotona''' se, per ogni <math>x_1 \leq x_2</math>, allora <math>f(x_1)\leq f(x_2)</math>. Detto in altri termini, una funzione monotona ''conserva l'ordinamento''.

== Monotonia in analisi ==

[[File:Monotonicity example1.png|thumb|Grafico di una funzione monotona non decrescente]]

In [[analisi matematica]] di solito non è necessario utilizzare i metodi astratti della teoria degli ordini. Come già sottolineato, le funzioni di solito operano tra [[sottoinsiemeSottoinsieme|sottoinsiemi]] dei [[numero reale|numeri reali]], ordinati secondo l'ordinamento naturale.

Prendendo spunto dalla forma che ha il [[grafico di una funzione]] monotona sui reali, leuna funzionifunzione che possiedonopossiede la proprietà sopra enunciata vengonoviene anche chiamatedetta monotone'''monotona crescenticrescente''' (o monotone''monotona non decrescentidecrescente'').

Analogamente, una funzione viene detta '''monotona decrescente''' (o ''monotona non crescente'') se, per ogni <math>x_1\leq x_2\;</math> si ha che <math>f(x_1)\geq f(x_2)\;</math>, cioè se ''inverte l'ordinamento''.

Se la relazione d'ordine <math>\le</math> nella definizione di monotonia è sostituita dalla relazione d'ordine stretto &lt;<math><</math>, allora si richiede una proprietà più forte. Una funzione che gode di questa proprietà viene detta '''strettamente crescente'''. Anche in questo caso, invertendo il simbolo di ordinamento, si può ottenere il concetto di funzione '''strettamente decrescente'''.

Le funzioni strettamente crescenti o decrescenti sono dette '''strettamente monotone''' e sono [[funzione iniettiva|iniettive]] (perché <math>a < b</math> implica <math>a \neq b</math>) e dunque [[Funzione inversa|invertibili]] restringendo il codominio all'[[immagine (matematica)|immagine]].

(perché <math>a < b</math> implica <math>a \neq b</math>) e dunque [[funzione invertibile|invertibili]] restringendosi all'[[immagine (matematica)|immagine]].

I termini ''non decrescente'' e ''non crescente'' evitano ogni possibile confusione con ''strettamente crescente'' e ''strettamente decrescente'', rispettivamente.

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In analisi, ognuna delle seguenti proprietà di una funzione

<math>f\colon \R\to \R</math> implica la successiva:

* Una funzione <math>f</math> è monotona;

* <math>f</math> ha [[limite (matematica)|limite]] destro e sinistro in ogni punto del suo [[dominio (matematica)|dominio]];

* <math>f</math> può avere solo [[punto di discontinuità#Discontinuità di prima specie (o di salto)|discontinuità a salto]];

* <math>f</math> può avere solo una quantità finita o, al più, [[numerabile]] di [[discontinuità]] nel suo dominio.

{{Nota

|titolo=Dimostrazione

|contenuto=Sia l'intervallo <math>[a,b]</math> l'[[insieme di definizione]] della funzione <math>f</math> e sia <math>x_0</math> un punto di [[discontinuità]] della funzione. Si dimostrerà per esclusione che questa non può che essere ''di prima specie''.

==== Dimostrazione parziale ====

Si consideri <math>f</math> ad esempio monotona non decrescente (un discorso analogo vale per una funzione non crescente).

Dimostriamo che la seconda affermazione implica la terza.

|contenuto=Sia l'intervallo <math>[a,b]</math> l'[[insieme di definizione]] della funzione <math>f</math> e sia <math>x_0</math> un punto di [[discontinuità]] della funzione. Si dimostreràDimostriamo per esclusione che questa non può chedeve essere ''di prima specie''.

Data la proprietà precedente, <math>f</math> ammette limite sinistro e destro in <math>x_0</math>:

Si consideri <math>f</math> ad esempio monotona non decrescente (un discorso analogo vale per una funzione non crescente). Data la proprietà precedente, <math>f</math> ammette limite sinistro e destro in <math>x_0</math>:

: <math> \exists \lim_{x \to x_0^{-}} f(x) =: f(x_0^{-}) \and \exists \lim_{x \to x_0^{+}} f(x) =: f(x_0^{+})</math>

: <math> \exists \lim_{x \to x_0^{-}} f(x) =: f(x_0^{-}) \andland \exists \lim_{x \to x_0^{+}} f(x) =: f(x_0^{+}).</math>

E deve essere, per la monotonia, <math>f(a) \le f(x_0^{-}) \le f(x_0) \le f(x_0^{+}) \le f(b)</math>, perciò i limiti devono esistere finiti. Questo significa che la discontinuità ''non può essere di seconda specie''.

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Per esclusione, allora, in <math>x_0</math> si ha una ''discontinuità di prima specie''.

Dimostriamo ora che la terza affermazione implica la quarta.

[[Quod erat demonstrandum|Q.E.D.]]

}}

*<math>f</math> può avere solo una quantità finita o, al più, [[numerabile]] di [[discontinuità]] nel suo dominio.

{{Nota

|titolo=Dimostrazione

|allineamento=sinistra

|contenuto=Valgano le stesse ipotesi della previa dimostrazione, e sia <math>x_1</math> un altro punto di discontinuità tale che, ad esempio, <math>x_1 > x_0</math>.

Valgano le stesse ipotesi della precedente dimostrazione, e sia <math>x_1</math> un altro punto di discontinuità tale che, ad esempio, <math>x_1 > x_0</math>. Per la monotonia e per il risultato di cui sopra abbiamo <math>f(x_0^{-}) < f(x_0^{+}) \le f(x_1^{-}) < f(x_1^{+}),</math> dove diciture come <math>f(x_1^{-})</math> sono state definite come nella dimostrazione precedente. Gli intervalli non vuoti <math>\left(f(x_0^{-}), f(x_0^{+})\right) </math> e <math>\left(f(x_1^{-}), f(x_1^{+})\right) </math> sono evidentemente [[disgiunzione|disgiunti]]; poiché i [[numeri razionali|razionali]] sono [[insieme denso|densi]] nei [[numeri reali|reali]], ciascuno di questi intervalli ne contiene almeno uno, il quale non è contenuto nell'altro. Posso costruire una funzione che associ biunivocamente un numero razionale <math>q_i</math> a ogni intervallo del tipo <math>\left(f(x_i^{-}), f(x_i^{+})\right) </math> che lo contiene, il quale intervallo rappresenta il [[Punto di discontinuità#Discontinuità di prima specie (o di salto)|salto]] della funzione nel punto di discontinuità <math>x_i</math>:

Per la monotonia e per il risultato di cui sopra abbiamo

: <math>f(x_0^{-}) < f(x_0^{+}) \le f(x_1^{-}) < f(x_1^{+}) </math>

(dove diciture come <math>f(x_1^{-})</math> sono state definite come nella dimostrazione precedente).

Gli intervalli non vuoti <math>\left(f(x_0^{-}), f(x_0^{+})\right) </math> e <math>\left(f(x_1^{-}), f(x_1^{+})\right) </math> sono evidentemente [[disgiunzione|disgiunti]]; poiché i [[numeri razionali|razionali]] sono [[insieme denso|densi]] nei [[numeri reali|reali]], ciascuno di questi intervalli ne contiene almeno uno, il quale non è contenuto nell'altro. Posso costruire una funzione che associ biunivocamente un numero razionale <math>q_i</math> a ogni intervallo del tipo <math>\left(f(x_i^{-}), f(x_i^{+})\right) </math> che lo contiene, il quale intervallo rappresenta il [[Punto di discontinuità#Discontinuità di prima specie (o di salto)|salto]] della funzione nel punto di discontinuità <math>x_i</math>:

:<math> g : x_i \longmapsto \left(f(x_i^{-}), f(x_i^{+})\right) \quad \text{biunivoca} </math>

:<math> h : \left(f(x_i^{-}), f(x_i^{+})\right) \longmapsto q_i \quad \text{biunivoca} </math>

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[[Quod erat demonstrandum|Q.E.D.]]

}}

Queste proprietà sono la ragione per la quale le funzioni monotone sono utili nel lavoro tecnico dell'[[analisi matematica]]. Due proprietà riguardanti queste funzioni sono:

*se <math>f</math> è una funzione monotona definita su un [[intervallo (matematica)|intervallo]] <math>I</math>, allora <math>f</math> è [[funzione differenziabile|differenziabile]] quasi ovunque su <math>I</math>, cioè l'insieme dei valori <math>x</math> in <math>I</math> per i quali <math>f</math> non è differenziabile in <math>x</math> ha [[misura di Lebesgue|misura]] [[insieme di misura nulla|nulla]], e la [[derivata]] di <math>f</math> è non negativa se è crescente (positiva se strettamente crescente), non positiva se decrescente (negativa se strettamente decrescente); quest'ultima affermazione è un corollario del [[teorema di Lagrange]].

*se <math>f</math> è una funzione monotona definita su un intervallo <math>[a,b]</math>, allora <math>f</math> è [[integrale di Riemann|integrabile]] secondo [[Georg Friedrich Bernhard Riemann|Riemann]].

[[File:DisNormal01.svg|thumb|Grafico di una funzione non monotona ma unimodale (la [[campana di Gauss]])]]

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*Le funzioni [[funzione esponenziale|esponenziale]], [[Funzioni iperboliche|seno iperbolico]] e [[Funzioni iperboliche|tangente iperbolica]] sono crescenti per ogni <math>x</math> reale.

*Le funzioni [[funzione seno|seno]] e [[funzione coseno|coseno]] non sono monotone in <math>\R</math>, poiché oscillano continuamente tra <math>-1</math> e <math>1</math>. Per poterle invertire allora ne si considera la [[restrizione di una funzione|restrizione]] in un opportuno intervallo di ampiezza <math>\pi</math>: per convenzione si adotta per il seno l'intervallo <math>[-\pi/2,\pi/2]</math> (in cui il seno è strettamente crescente da <math>-1</math> a <math>1</math>) e per il coseno l'intervallo <math>[0,\pi]</math> (in cui il coseno è strettamente decrescente da <math>1</math> a <math>-1</math>).

*La [[funzione quadratica]] <math>x^2</math> è crescente per ogni <math>x</math>>0 positivo e decrescente per ogni <math>x<0/math> negativo.

*<math>f(x)=\sup_{y\leq x}\{g(y)\}</math>, con <math>g</math> funzione reale qualsiasi, è non decrescente.

*La [[funzione integrale]] <math>F(x)=\int_a^x f(y)dy</math>, con <math>f</math> funzione non negativa qualsiasi, è non decrescente.

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== Monotonia nella teoria degli ordini ==

Nella teoria degli ordini non ci si restringe ai numeri reali, ma si ha a che fare con [[insieme parzialmente ordinato|insiemi parzialmente ordinati]] arbitrari o addirittura con [[preordine|insiemi preordinati]]. In questi casi le definizioni date sopra di monotonia rimangono valide, anche se i termini "crescente" e "decrescente" vengono evitati, dal momento che perdono il loro significato grafico non appena si ha a che fare con ordinamenti che non sono [[relazione d'ordine#Ordinamenti totali|totali]]. Inoltre le relazioni strette <math><</math> e <math>></math> sono poco usate in molti ordinamenti non totali e quindi non viene introdotta altra terminologia addizionale per esse.

Il concetto [[dualità (teoria degli ordini)|duale]] è spesso chiamato antitonia, anti-monotonia o order-reversing. Perciò una funzione antitona ''<math>f''</math> soddisfa alla proprietà seguente:

: ''<math>x'' &le;\leq ''y'' implica\implies che ''f''(''x'') &ge;\geq ''f''(''y''),</math>

per ogni ''<math>x''</math> e ''<math>y''</math> nel suo dominio. È facile vedere che la composizione di due funzioni monotone è a sua volta monotona.

Una [[funzione costante]] è sia monotona che antitona; inversamente, se ''<math>f''</math> è sia monotona che antitona, e se il [[dominio (matematica)|dominio]] di ''<math>f''</math> è un [[reticolo (matematica)|reticolo]], allora ''<math>f''</math> deve essere costante.

Le funzioni monotone sono di primaria importanza nella teoria degli ordini.

Alcune funzioni monotone degne di nota sono le

[[immersione d'ordine|immersioni d'ordine]] (order embedding)

(funzioni per le quali ''<math>x'' ≤\leq ''y'' [[Se\iff e solo se|sse]] ''f''(''x'') ≤\leq ''f''(''y''))</math> e gli

[[isomorfismo d'ordine|isomorfismi d'ordine]] (immersioni [[funzione suriettiva|suriettive]]).

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La [[monotonia dell'implicazione]] è una proprietà di molti

[[sistema logico|sistemi logici]] che afferma che le ipotesi di ogni fatto derivato possono essere liberamente estese con assunzioni addizionali. Ogni affermazione che era vera in una logica con questa proprietà, sarà ancora vera dopo l'aggiunta di un qualunque nuovo [[assioma]] (consistente). [[Logica|Logiche]] con questa proprietà possono essere chiamate monotone allo scopo di essere distinte dalle [[logica non monotona|logiche non monotone]].

== Altri progetti ==

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==Collegamenti esterni==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Analisi matematica}}

{{Serie (matematica)}}

{{Portale|matematica}}