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In [[matematica]], un '''modulo libero''' è un [[modulo (algebra)|modulo]] particolarmente simile ad uno [[spazio vettoriale]]; più precisamente, se ''<math>A''</math> è un [[anello (algebra)|anello]], un ''<math>A''</math>-modulo è ''libero'' se ha una [[base (algebra lineare)|base]], ovvero un insieme di elementi [[indipendenza lineare|linearmente indipendenti]] che lo genera.
Nel linguaggio della [[teoria delle categorie]], i moduli liberi sono gli [[oggetto libero|oggetti liberi]] della categoria degli ''<math>A''</math>-moduli.
== Definizione e basi ==
Sia ''<math>A''</math> un [[anello (algebra)|anello]] e ''<math>M''</math> un [[modulo (algebra)|modulo]] su ''<math>A''</math>. ''<math>M''</math> è libero se esiste un insieme ''<math>E''</math> di elementi di ''<math>M''</math> tali che:
*''<math>E''</math> genera ''<math>M''</math>: ogni elemento di ''<math>M''</math> può essere scritto come [[combinazione lineare]] (finita) di elementi di ''<math>E''</math>, ovveroossia per ogni ''<math>m''</math> in ''<math>M''</math> esistono <math>a_1,\ldots,a_n\in A</math> ed <math>e_1,\ldots,e_n\in E</math> tali che <math>m=a_1e_1+\cdots+a_ne_n</math>;
*''<math>E''</math> è [[indipendenza lineare|linearmente indipendente]]: se esistono <math>a_1,\ldots,a_n\in A</math> ed <math>e_1,\ldots,e_n\in E</math> tali che <math>a_1e_1+\cdots+a_ne_n=0</math>, allora tutti gli <math>a_i</math> sono uguali a 0.
Mentre ogni modulo possiede un [[insieme di generatori]] (ad esempio si può prendere ''<math>E''=''M''</math> stesso), l'indipendenza lineare è una proprietà molto più stringente: esistono ad esempio moduli in cui nessun insieme non vuoto è linearmente indipendente, come lo <math>\mathbb{Z}</math>-modulo <math>\mathbb{Z}_n</math> delle [[aritmetica modulare|classi di resto]] modulo ''<math>n''</math>.
Se ''<math>A''</math> è un [[campo (matematica)|campo]], gli ''<math>A''</math>-moduli sono gli [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]], e ognuno di essi ha una base: di conseguenza tutti gli ''<math>A''</math>-moduli sono liberi. Vale anche il viceversa: se tutti gli ''<math>A''</math>-moduli sono liberi, ede ''<math>A''</math> è [[anello commutativo|commutativo]], allora ''<math>A''</math> è un campo; lasciando cadere l'ipotesi di [[commutatività]], ''<math>A''</math> deve essere un [[corpo (matematica)|corpo]].
Nei moduli liberi, gli elementi della base si comportano come coordinate: segue infatti dall'indipendenza lineare che l'espressione di ogni elemento ''<math>m''</math> come combinazione degli elementi della base è unica. Di conseguenza, un modulo libero è la [[somma diretta]] di copie di ''<math>A''</math>.
Un particolare modulo libero è l'anello ''<math>A''</math> stesso. Se <math>A</math> è unitario, ha <math>\{1_A \}</math> come base (è quindi anche [[Modulo ciclico|ciclico]]).
Se ''<math>M''</math> è libero, non ha un'unica base; in generale, neppure la [[cardinalità]] della base è univocamente determinata. Questa quantità è invariante però per tutti gli anelli commutativi<ref name=rank-springer>{{SpringerEOM|title=Rank of a module|author=V.E. Govorov}}</ref> e per tutti gli [[anello noetheriano|anelli noetheriani]];<ref>{{cita libro|autore=Paul Moritz Cohn|titolo=Introduction to ring theory|lingua=inglese|editore=Springer|anno=2000|ISBN=1-85233-206-9|pagine=pp.169-171}}</ref> in particolare si ottiene che la [[Dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] degli spazi vettoriali è ben definita. Essa viene detta ''rango'' del modulo libero.
== Proprietà universale ==
Si può caratterizzare "il" modulo libero generato da un insieme <math>S</math> (unico a meno di isomorfismo unico) tramite una proprietà universale. Dato un insieme <math>S</math>, un <math>A</math>-modulo libero generato da <math>S</math> è un modulo <math>M</math> che contiene <math>S</math> e tale che, per ogni <math>A</math>-modulo <math>N</math> e per ogni [[morfismo]] di insiemi <math>f\colon S\to N</math>, rimanga determinato uno e un solo omomorfismo di moduli <math>\varphi\colon M \to N</math> tale che <math>\varphi|_S = f</math>. L'omomorfismo <math>\varphi</math> viene definito sfruttando il fatto, equivalente al fatto che <math>M</math> sia libero su <math>S</math>, che ogni elemento di <math>M</math> si scrive in modo unico come combinazione lineare di elementi di <math>S</math>. Se <math>m = \sum_{s\in S} a_ss</math>, si pone <math>\varphi(m) = \sum_{s\in S}a_sf(s).</math>
== Costruzione ==
A partire da un insieme arbitrario ''<math>E''</math>, è possibile costruire un ''<math>A''</math>-modulo libero che ha ''<math>E''</math> come base: considerando tutte le combinazioni lineari ''formali'' <math>a_1e_1+\cdots+a_ne_n</math>, per qualsiasi sottoinsieme finito <math>\{e_1,\ldots,e_n\}</math> e qualsiasi <math>a_1,\ldots,a_n\in A</math>; l'addizione e la moltiplicazione scalare vengono poi definiti termine a termine.
A partire da questo si può dimostrare che ogni modulo è quoziente di un modulo libero: dato infatti un insieme di generatori ''<math>E''</math> per ''<math>M''</math> (ad esempio ''<math>E''=''M''</math> stesso), si può formare il modulo libero su ''<math>E''</math>, e considerare il sottomodulo ''<math>N''</math> generato dalle relazioni tra elementi di ''<math>M''</math> (ad esempio, se ''<math>e''+''f''=0</math>, allora ''<math>e''+''f''</math> sarà contenuto in ''<math>N''</math>). Il quoziente ''<math>L''/''N''</math> risulta isomorfo ada ''<math>M''</math>.
== Proprietà ==
[[Somma diretta|Somme]] e [[Prodotto diretto|prodotti]] di moduli liberi sono ancora liberi; lo stesso vale per il [[prodotto tensoriale]] di due moduli liberi.
Tutti i moduli liberi sono [[modulo proiettivo|proiettivi]] e [[modulo piatto|piatti]]; unito al fatto che ogni modulo è quoziente di un modulo libero, questo dimostra che ogni modulo ha una [[risoluzione proiettiva]]. Al contrario, è raro che i moduli liberi siano [[modulo iniettivo|iniettivi]]: ad esempio, se ''<math>A''</math> è commutativo e [[anello locale|locale]], ''<math>A''</math> stesso (considerato come ''<math>A''</math>-modulo) può essere iniettivo solo se la sua [[dimensione di Krull|dimensione]] è 0.<ref>{{cita libro|autore=Charles A. Weibel|titolo=An introduction to homological algebra|editore=Cambridge University Press|ISBN=0-521-43500-5|pagine=107|lingua=inglese}}</ref>
== Note ==
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