Urto elastico: differenze tra le versioni

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[[File:Translational motion.gif|thumb|Gli atomi in agitazione termica sono coinvolti in urti essenzialmente elastici.]]

[[Immagine:Elastischer stoß 2D.gif|right|thumb|250px|Animazione di un urto elastico con evidenziati i vettori delle forze]]

Un '''urto elastico''' è un [[urto]] durante il quale si conserva l'[[energia cinetica]] totale del [[sistema]].

In [[meccanica classica]] un '''urto elastico''' è un [[urto]] durante il quale si conserva l'[[energia meccanica]] totale del [[sistema (fisica)|sistema]], ed in particolare l'[[energia cinetica]].<ref>{{cita|Dalba|p. 2|GD}}.</ref> Nel caso di corpi prossimi a [[velocità della luce]] un urto elastico è un urto nel quale si conserva il [[quadrivettore]] quantità di moto.

Per la [[Equazioni cardinali dei sistemi|prima equazione cardinale]] della [[dinamica (fisica)]], la [[quantità di moto]], in assenza di forze esterne, si deve mantenere costante.

Si può allora scrivere che

:<math>P = \sum m v = cost\;</math>

==Risoluzione di un problema d'urto elastico==

In generale, nella risoluzione di un problema d'urto completamente elastico, si parte dalla conservazione della [[quantità di moto]] e dell'[[energia cinetica]] prima e dopo l'urto.

*La quantità di moto del sistema si conserva per definizione di urto: durante un urto, infatti, è possibile considerare il [[sistema isolato]] a causa delle [[forza impulsiva|forze impulsive]] che i corpi che interagiscono si scambiano, e quindi è possibile trascurare le altre forze in gioco (es. [[forza di gravità|gravitazionale]]);

La [[legge]] sopra descritta vale per gli urti in generale, e quindi anche per [[urti anelastici]].

Se poi l'urto è elastico, si avrà:

*Per definizione di urto elastico, si deve conservare l'[[energia meccanica]] totale del sistema. Considerato però che il sistema è isolato durante l'urto, i potenziali delle forze esterne si trascurano e rimane unicamente l<nowiki>'</nowiki>energia cinetica dei corpi.

Nel caso di urti monodimensionali tra due corpi, le equazioni sono 2 equazioni scalari, mentre nel caso di urti in un piano esse sono 3 (le due componenti della quantità di moto e l'energia). Per quanto riguarda urti nello spazio tridimensionale, per la maggior parte dei problemi è valida l'assunzione che l'urto si svolga in un piano, perciò con un opportuno cambio di coordinate è possibile ricondursi al caso precedente; altrimenti si hanno 4 relazioni scalari.

:<font size=+1><math>K_{i} = 1/2 ( m_1 v_{i1}^2 + m_2 v_{i2}^2 ) = K_{f} = 1/2 ( m_1 v_{f1}^2 + m_2 v_{f2}^2 ) </math></font>

Per problemi unidimensionali il numero di equazioni permette di risolvere completamente il moto, trovando cioè le velocità dei due corpi dopo l'urto; per problemi nel piano con corpi estesi queste non sempre bastano, ed è possibile trovare una soluzione solo per alcuni casi notevoli con geometrie semplici, come per esempio un urto elastico tra due [[sfera|sfere]], per i quali si possono usare altre relazioni quali, per esempio, simmetrie del sistema.

==Tipi diversi di urto nello spazio==

dove i pedici ''i'' ed ''f'' hanno il significato rispettivamente di ''iniziale'' e ''finale'', mentre K indica l'[[energia cinetica]] del sistema di corpi (avendo ipotizzato nulle le variazioni dell'eventuale [[energia potenziale]] del sistema, come in genere accade).

{{See also|Urto fra corpi rigidi}}

===Urto monodimensionale===

==Equazioni==

Consideriamo due corpi approssimabili come [[punto materiale|punti materiali]] che urtino frontalmente. Mettiamoci in un sistema di riferimento ''S''.

===Monodimensionali Newtoniane===

Indichiamo con:

*<math>v_{1i}</math> la velocità iniziale del primo corpo

*<math>v_{2i}</math> la velocità iniziale del secondo corpo

*<math>v_{1f}</math> la velocità finale del primo corpo

*<math>v_{2f}</math> la velocità finale del secondo corpo

*<math>m_1</math> la massa del primo corpo

*<math>m_2</math> la massa del secondo corpo

Imponiamo la conservazione dell'[[energia cinetica]] ''K'' e della [[quantità di moto]] ''P'': otteniamo il sistema:<ref name=tre>{{cita|Dalba|p. 3|GD}}.</ref>

Come detto precedentemente l'[[energia cinetica]] rimane costante prima e dopo l'urto, per cui si ha:

:<math>\begin{cases}K_i=K_f \\

:<math>\frac{m_1u_1^2}2+\frac{m_2u_2^2}2=\frac{m_1v_1^2}2+\frac{m_2v_2^2}2</math>

P_i=P_f \end{cases}</math>

cioè:

La [[quantità di moto]] totale rimane anch'essa costante:

:<math>\begin{cases}

:<math>\,\! m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}u_{1} + m_{2}u_{2}</math>

\frac{1}{2}m_1v_{1i}^2+\frac{1}{2}m_2v_{2i}^2=\frac{1}{2}m_1v_{1f}^2+\frac{1}{2}m_2v_{2f}^2 \\

m_1v_{1i}+m_2v_{2i}=m_1v_{1f}+m_2v_{2f}

\end{cases}</math>

Queste equazioni si risolvono facilmente raggruppando in ognuna di esse in un membro i termini con <math>m_1</math> e nell'altro membro i termini con <math>m_2</math>, dividendo la prima equazione per la seconda e ricordando che <math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math>.

Queste equazioni possono essere risolte per calcolare <math> \ v_{1}</math> and <math> \ v_{2}</math>. Tuttavia, la soluzione algebrica può risultare poco chiara. Un modo migliore è cambiare il sistema di riferimento in modo che <math> \ v_{1} </math> o <math> \ v_{2} </math> siano uguali a 0. Le velocità finali nel nuovo sistema di riferimento possono essere poi determinate e poi riconvertite nel sistema di riferimento originario per trovare il risultato finale. Una volta determinata <math> \ v_{1} </math> or <math> \ v_{2} </math> l'altra si trova per simmetria.

Infatti dividendo la prima equazione per <math>\tfrac{1}{2}</math> e tenendo conto della proposizione precedente:

Si noti che queste equazioni simultanee hanno sia una soluzione banale e una non banale. Il motivo è che la loro soluzione non descrive le velocità dopo un urto elastico, ma le velocità con cui due particelle in un sistema isolato viaggerebbero dopo un intervallo di tempo arbitrario, con la condizione che l'energia cinetica totale alla fine dell'intervallo debba essere uguale all'energia cinetica iniziale. Questa interpretazione evidenzia che le equazioni possono anche descrivere il caso in cui non si abbia interazione.

:<math>\begin{cases}

:<math>v_{1} = \frac{u_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}</math> , <math>v_{2} = \frac{u_{2}(m_{2}-m_{1})+2m_{1}u_{1}}{m_{1}+m_{2}}</math>

m_1v_{1i}^2-m_1v_{1f}^2=m_2v_{2f}^2-m_2v_{2i}^2 \rightarrow m_1(v_{1i}-v_{1f})(v_{1i}+v_{1f})=m_2(v_{2f}-v_{2i})(v_{2f}+v_{2i})\\

m_1(v_{1i}-v_{1f})=m_2(v_{2f}-v_{2i})

\end{cases}</math>

ovvero dividendo membro a membro:<ref name=tre/>

O

:<math> \ v_{11i}+v_{1f} = u_v_{12f}</math> , <math> \ +v_{22i} = u_{2}</math>

Da qui basterà risolvere un semplice sistema lineare per trovare le nostre due velocità finali:

:<math>\begin{cases}

v_{1i}+v_{1f}=v_{2f}+v_{2i} \\

m_1v_{1i}+m_2v_{2i}=m_1v_{1f}+m_2v_{2f}

\end{cases}</math>

ovvero:

Si dimostra la proprietà:

:<math> \ v_begin{1cases}-v_{2} = u_{2}-u_{1}</math>

v_{1f} = \frac{(m_{1}-m_{2})v_{1i}+2m_{2}v_{2i}}{m_{1}+m_{2}} \\

v_{2f} = \frac{(m_{2}-m_{1})v_{2i}+2m_{1}v_{1i}}{m_{1}+m_{2}}

\end{cases}</math>

====Moderatori per neutroni====

Dalla soluzione appena trovata si vede nel caso di <math>v_{2i}=0</math> e di un elevato valore di <math> \ v_{1i}</math>, il valore di <math> v_{1f}</math> è piccolo se le masse sono approssimativamente uguali: colpendo un corpo con una particella molto più leggera non si modifica in maniera significativa la velocità, colpendolo con una particella di massa molto superiore, si induce la particella veloce a rimbalzare con velocità diminuita. Per questo motivo un [[moderatore (chimica)|moderatore]] (un mezzo che rallenta i [[neutrone|neutroni veloci]], trasformandoli in [[neutrone|neutroni termici]] capaci di sostenere una [[reazione a catena]]) è costituito da un materiale formato da atomi con nuclei leggeri (con la proprietà aggiuntiva che non assorbano facilmente i neutroni): l'[[idrogeno]], il più leggero, ha circa la stessa massa di un [[neutrone]].

[[Immagine:Elastischer stoß.gif|frame|center|Urto elastico tra masse uguali]]

====Velocità relative====

Dato che durante gli urti il sistema è isolato, il [[centro di massa]] si muove di [[Moto rettilineo|moto rettilineo uniforme]], con velocità [[media ponderata]] ''<v>'':

:<math>\langle v \rangle=\frac{m_1v_{1i}+m_2v_{2i}}{m_1+m_2}=\frac{m_1v_{1f}+m_2v_{2f}}{m_1+m_2}</math>

Di conseguenza abbiamo:

:<math>m_1(v_{1i}-v_{1f})=m_2(v_{2f}-v_{2i}) \qquad \qquad \mathbf{(*)}</math>

cioè:

:<math>\Delta v_2=-\frac{m_1}{m_2}\Delta v_1</math>

Usando l'energia cinetica si può scrivere

:<math> \ m_1(v_1v_{1f}^2-u_1v_{1i}^2)=m_2(u_2v_{2i}^2-v_2v_{2f}^2)</math>

:<math> \Rightarrow m_1(v_1v_{1f}-u_1v_{1i})(v_1v_{1f}+u_1v_{1i})=m_2(u_2v_{2i}-v_2v_{2f})(u_2v_{2i}+v_2v_{2f})</math>

Dividendo per la '''(*)''' otteniamo:

Modificando l'equazione della quantità di moto:

:<math> \ m_1(v_1-u_1)=m_2(u_2-v_2)</math>

:<math> \ v_{1f}+v_{1i}=v_{2i}+v_{2f}</math>

e dividendo l'equazione dell'energia cinetica per quella della quantità di moto si ottiene:

:<math> \ v_1+u_1=u_2+v_2</math>

che si riscrive come

:<math> \Rightarrow v_1-v_2 = u_2-u_1</math>

:<math>v_{2i}-v_{1i}=-(v_{2f}-v_{1f})</math> o analogamente <math>\,v_{1i}-v_{2i}=-(v_{1f}-v_{2f})</math>

*la velocità relativa di una particella rispetto all'altra è invertita dall'urto

*la media dei momenti prima e dopo la collisione è identica per entrambe le particelle

Da ciò notiamo che ''la velocità relativa di una particella rispetto all'altra è invertita dall'urto''. Nel caso di particelle con masse differenti, la particella più pesante si muove lentamente verso il centro di massa, e rimbalza con la stessa bassa velocità, mentre la particella più leggera si muove rapidamente verso il centro di massa e dopo l'urto se ne allontana con eguale velocità.

[[Image:Elastischer stoß.gif|frame|center|Urto elastico tra masse uguali]]

[[Immagine:Elastischer stoß2.gif|frame|center|Urto elastico di masse uguali in un sistema di riferimento non in quiete]]

Come ci si aspettava, la soluzione è invariante sommando una costante a tutte le velocità, che equivale a utilizzare un sistema di riferimento a velocità di traslazione costante.

====Velocità nel sistema di riferimento del centro di massa====

[[Image:Elastischer stoß2.gif|frame|center|Urto elastico di masse in un sistema di riferimento non in quiete]]

Si dimostra anche che ''rispetto al centro di massa entrambe le velocità appaiono invertite dopo l'urto''. Infatti, nel [[sistema di riferimento]] del centro di massa si ha:

:<math>\begin{cases}

La velocità del [[centro di massa]] non cambia in seguito all'urto:

K_i=K_f=\frac{1}{2}m_{1}v_{1i}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}v_{2i}^{2} = \frac{1}{2}m_{1}v_{1f}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}v_{2f}^{2}\\

P_i=P_f=m_{1}v_{1i} + m_{2}v_{2i} = m_{1}v_{1f} + m_{2}v_{2f} = 0

La posizione del centro di massa al tempo <math> \ t </math> prima dell'urto e al tempo <math> \ t' </math> dopo l'urto è determinata dalle seguenti equazioni:

\end{cases}</math>

:<math>\bar{x}(t) = \frac{m_{1} \cdot x_{1}(t)+m_{2} \cdot x_{2}(t)}{m_{1}+m_{2}}</math>, e <math>\bar{x}(t') = \frac{m_{1} \cdot x_{1}(t')+m_{2} \cdot x_{2}(t')}{m_{1}+m_{2}}</math>

Da qui, le velocità del centro di massa prima e dopo l'urto sono:

:<math> \ v_{ \bar{x} } = \frac{m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}</math>, e <math> \ v_{ \bar{x} }' = \frac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}</math>

Il [[numeratore]] di <math> \ v_{ \bar{x} } </math> è la quantità di moto totale prima della collisione, e il numeratore di <math> \ v_{ \bar{x} }' </math> la quantità di moto totale dopo la collisione.

Siccome la quantità di moto si conserva, si ha <math> \ v_{ \bar{x} } = \ v_{ \bar{x} }' </math>.

Rispetto al centro di massa, entrambe le velocità appaiono invertite a causa dell'urto: nel caso di particelle con masse differenti, una particella pesante si muove lentamente verso il centro di massa, e rimbalza con la stessa bassa velocità, mentre una particella di massa piccola si muove rapidamente verso il centro di massa e dopo l'urto se ne allontana con eguale velocità.

da cui:

Dalle equazioni per <math> \ v_{1} </math> e <math> \ v_{2} </math> si vede come nel caso di un elevato valore di <math> \ u_{1}</math>, il valore di <math> \ v_{1}</math> è piccolo se le masse sono approssimativamente uguali: colpendo un corpo con una particella molto più leggera non si modifica in maniera significativa la velocità, colpendolo con una particella di massa molto superiore, si induce la particella veloce a rimbalzare con velocità elevata.

:<math>\frac{(m_{2}v_{2i})^{2}}{2m_1} + \frac{(m_{2}v_{2i})^{2}}{2m_2} =

[[Image:Elastischer stoß3.gif|frame|center|Urto elastico tra masse differenti]]

\frac{(m_{2}v_{2f})^{2}}{2m_1} + \frac{(m_{2}v_{2f})^{2}}{2m_2}</math>

:<math>\left(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}}\right)(m_{2}v_{2i})^{2} = \left(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}}\right)(m_{2}v_{2f})^{2}</math>

:<math>v_{2i}^2 = v_{2f}^2</math>

e analogamente:

Per questo motivo il [[rallentatore di neutroni]] (un mezzo che rallenta i [[neutroni veloci]], trasformandoli in [[neutroni termici]] capaci di sostenere una [[reazione a catena]]) è costituito da un materiale formato da atomi con nuclei leggeri (con la proprietà aggiuntiva che non assorbono facilmente i neutroni): i nuclei più leggeri hanno circa la stessa massa di un [[neutrone]].

:<math>\frac{(m_{1}v_{1i})^{2}}{2m_1} + \frac{(m_{1}v_{1i})^{2}}{2m_2} =

===Monodimensionali relativistiche===

\frac{(m_{1}v_{1f})^{2}}{2m_1} + \frac{(m_{1}v_{1f})^{2}}{2m_2}</math>

La [[meccanica classica]] fornisce però solo una buona approssimazione quando tratta oggetti con dimensioni macroscopiche che si muovono a velocità molto minore della [[velocità della luce]]. Oltre i limiti classici, fornisce dei risultati erronei. La quantità di moto totale di due corpi che si urtano è dipendente dal sistema. In un particolare sistema di riferimento, se la quantità di moto totale è uguale a zero, secondo la meccanica classica,

:<math>\left(\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}\right)(m_{1}v_{1i})^{2} = \left(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_2}\right)(m_{1}v_{1f})^{2}</math>

:<math>v_{1i}^2=v_{1f}^2</math>

Per evitare di ricadere nel caso banale di assenza d'urto avevamo imposto <math>v_{1i}\ne v_{1f}</math>, che implica <math>v_{2i} \ne v_{2f}</math>. Perciò otteniamo:

:<math>m_{1}u_{1} + m_{2}u_{2} = m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2} = {0}\,\!</math>

[[Immagine:Elastischer stoß3.gif|frame|right|Urto elastico tra masse differenti]]

:<math>m_{1}u_{1}^{2} + m_{2}u_{2}^{2} = m_{1}v_{1}^{2} + m_{2}v_{2}^{2}\,\!</math>

:<math>\frac{(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_1} + \frac{(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_2} =

\frac{(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_1} + \frac{(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_2}\,\!</math>

:<math>(m_{1} + m_{2})(m_{2}u_{2})^{2} = (m_{1} + m_{2})(m_{2}v_{2})^{2}\,\!</math>

:<math>u_{2} = -v_{2}\,\!</math>

:<math>\frac{(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_1} + \frac{(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_2} =

\frac{(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_1} + \frac{(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_2}\,\!</math>

:<math>(m_{1} + m_{2})(m_{1}u_{1})^{2} = (m_{1} + m_{2})(m_{1}v_{1})^{2}\,\!</math>

:<math>u_{1}=-v_{1}\,\!</math>

:<math>\begin{cases}

Secondo la [[teoria della Relatività]], invece, in un particolare sistema di riferimento in cui si annulla la quantità di moto totale,

v_{1i}=-v_{1f}\,\\

:<math>\frac{m_{1}\;u_{1}}{\sqrt{1-u_{1}^{2}/c^{2}}} +

v_{2i}=-v_{2f}

\frac{m_{2}\;u_{2}}{\sqrt{1-u_{2}^{2}/c^{2}}} =

\end{cases}</math>

\frac{m_{1}\;v_{1}}{\sqrt{1-v_{1}^{2}/c^{2}}} +

\frac{m_{2}\;v_{2}}{\sqrt{1-v_{2}^{2}/c^{2}}} = 0\,\!</math>

[[Come volevasi dimostrare|CVD]].

:<math>\frac{m_{1}c^{2}}{\sqrt{1-u_1^2/c^2}} +

\frac{m_{2}c^{2}}{\sqrt{1-u_2^2/c^2}} =

===Urto monodimensionale relativistico===

\frac{m_{1}c^{2}}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}} +

La [[meccanica classica]] fornisce una buona approssimazione quando tratta oggetti con dimensioni macroscopiche che si muovono a velocità molto minore della [[velocità della luce]]. Oltre i limiti classici, fornisce dei risultati erronei. La quantità di moto totale di due corpi che si urtano è dipendente dal [[sistema di riferimento]]. Le equazioni che governano gli urti nel caso relativistico discendono dalla conservazione del [[quadrimpulso]], o [[quadrivettore]] quantità di moto (per approfondimenti sulle leggi della dinamica relativistiche vedi ''[[Teoria della relatività ristretta]]''). Distinguendo tra parte temporale e spaziale abbiamo:

\frac{m_{2}c^{2}}{\sqrt{1-v_2^2/c^2}}

\,\!</math>

<math>\begin{cases}

Dove <math>m_1</math> rappresenta la massa a riposo del primo corpo, <math>m_2</math> la massa a riposo del secondo corpo, <math>u_1</math> indica la velocità iniziale del primo corpo, <math>u_2</math> la velocità iniziale del secondo corpo, <math>v_1</math> rappresenta la velocità del primo corpo dopo la collisione, <math>v_2</math> il corrispettivo per il secondo corpo.

P_\alpha=\gamma(v_{1i})m_1v_{1i}+\gamma(v_{2i})m_2v_{2i}=\gamma(v_{1f})m_1v_{1f}+\gamma(v_{2f})m_2v_{2f} \\

Quando <math>u_1=-v_1</math>, <math>u_2=-v_2</math>, sia l'energia cinetica che la quantità di moto si conservano. Le masse a riposo di due corpi distinti che si urtano non si modificano in seguito all'urto. Si dimostra che il calcolo classico è corretto in questo sistema di riferimento in cui la quantità di moto totale è 0. Tuttavia, il calcolo classico e quello relativistico possono differenziarsi molto se essa è diversa da zero. Qui, non si risolve direttamente usando la teoria relativistica perché è quasi impossibile dal momento che il grado dell'equazione è troppo elevato. Uno dei [[postulati]] della [[relatività speciale]] afferma che le leggi della fisica devono essere uguali in tutti i sistemi di riferimento inerziali. Ciò significa, se la quantità di moto totale si conserva in un particolare sistema di riferimento inerziale, esso si conserverà anche in tutti gli altri sistemi di riferimento inerziale, pur essendo il suo valore dipendente dal sistema particolare. Pertanto, trasformando da un sistema inerziale a un altro, si può ricavare il risultato cercato. In un particolare sistema di riferimento in cui la quantità di moto totale può essere qualunque,

P_0=\gamma(v_{1i})m_1c+\gamma(v_{2i})m_2c=\gamma(v_{1f})m_1c+\gamma(v_{2f})m_2c

:<math>\frac{m_{1}\;u_{1}}{\sqrt{1-u_{1}^{2}/c^{2}}} +

\end{cases}</math>

\frac{m_{2}\;u_{2}}{\sqrt{1-u_{2}^{2}/c^{2}}} =

\frac{m_{1}\;v_{1}}{\sqrt{1-v_{1}^{2}/c^{2}}} +

dove <math>\gamma(v)=\frac{m_{2}\;v_{2}1}{\sqrt{1-v_\frac{v^2}^{2}/c^{2}}}=p</math> è il [[fattore di Lorentz]].

:<math>\frac{m_{1}c^{2}}{\sqrt{1-u_1^2/c^2}} +

La prima equazione rappresenta la conservazione della parte spaziale della quantità di moto <math>P_\alpha</math>, alla quale diventa formalmente identica utilizzando la ''massa relativistica'', ora in disuso. Moltiplicando la seconda equazione per ''c'' riconosciamo invece la conservazione dell'[[energia|energia relativistica]] <math>E=cP_0</math>. Possiamo quindi riscrivere il sistema come:

\frac{m_{2}c^{2}}{\sqrt{1-u_2^2/c^2}} =

:<math>\mathbf{(IV)} \qquad\begin{cases}

\frac{m_{1}c^{2}}{\sqrt{1-v_1^2/c^2}} +

P_i=P_f \\

\frac{m_{2}c^{2}}{\sqrt{1-v_2^2/c^2}}=E</math>

E_i=E_f

I due corpi in moto possono essere visti come un sistema di cui la quantità di moto totale è <math>p</math>, l'energia totale è <math>E</math> e la sua velocità <math>v</math> è la velocità del centro di massa. Relativamente al centro di massa, la quantità di moto totale è ''0''. Si dimostra che <math>v</math> è data da:

:<math>v = \fracend{p c^2}{Ecases}</math>

Le velocità prima dell'urto nel sistema di riferimento del centro di massa <math>u_1 '</math> e <math>u_2 '</math> sono:

In generale risolvere direttamente le equazioni sovrastanti è molto difficile dal momento che il grado dell'equazione è troppo elevato. Come per il caso classico, un aiuto può venire da un cambio di sistema di riferimento, avendo cura di comporre le velocità non con la composizione galileiana ma con il loro equivalente nella relatività ristretta. Un buon sistema di riferimento può essere, ad esempio, quello del centro di massa; avendo chiamato con ''v'' la velocità di trascinamento tra un sistema e l'altro, dalla regola di [[composizione delle velocità]] in relatività speciale le velocità prima dell'urto nel sistema di riferimento del centro di massa <math>v_{1i} '</math> e <math>v_{2i} '</math> sono:

:<math>u_{1} '= \frac{u_1 - v }{1- \frac{u_1 v}{c^2}}</math>

:<math>u_v_{21i} '= \frac{u_2v_{1i} - v }{1- \frac{u_2v_{1i} v}{c^2}}</math>

:<math>v_{12i} '= \frac{v_{2i} -u_ v }{1- \frac{v_{2i} ' v}{c^2}}</math>

:<math>v_{21f} '=-u_v_{21i} '</math>

:<math>v_{12f} '= \frac-v_{v_1 ' + v 2i}{1+ \frac{v_1 ' v}{c^2}}</math>

da cui:

:<math>v_{2} = \frac{v_2 ' + v }{1+ \frac{v_2 ' v}{c^2}}</math>

Quando :<math>u_1v_{1f} <<= c</math>\frac{v_{1f} e' <math>u_2+ <<v }{1+ \frac{v_{1f} ' v}{c ^2}}</math>,

:<math>p</math>v_{2f} ≈= <math>m_1\frac{v_{2f} u_1' + m_2v u_2}{1+ \frac{v_{2f} ' v}{c^2}}</math>

:<math>v</math> ≈ <math>\frac{m_1 u_1 + m_2 u_2}{m_1 + m_2}</math>

:Quando <math>u_1v_{1i} \ll c '</math> ≈e <math>u_1v_{2i} -\ll c v</math> ≈ <math>,

:<math>p \approx m_1 u_1 + m_2 u_2</math>

:<math>v \approx \frac{m_1 u_1 + m_2 u_2}{m_1 + m_2}</math>

:<math>u_1 ' \approx u_1 - v \approx

\frac {m_1 u_1 + m_2 u_1 - m_1 u_1 - m_2 u_2}{m_1 + m_2} =

\frac {m_2 (u_1 - u_2)}{m_1 + m_2}</math>

:<math>u_2 '</math> ≈\approx <math>\frac {m_1 (u_2 - u_1)}{m_1 + m_2}</math>

:<math>v_1 '</math> ≈\approx <math>\frac {m_2 (u_2 - u_1)}{m_1 + m_2}</math>

:<math>v_2 '</math> ≈\approx <math>\frac {m_1 (u_1 - u_2)}{m_1 + m_2}</math>

e perciò otteniamo:

:<math>v_1</math> ≈ <math>v_1 ' + v</math> ≈ <math>

:<math>v_1 \approx v_1 ' + v \approx

\frac {m_2 u_2 - m_2 u_1 + m_1 u_1 + m_2 u_2}{m_1 + m_2} =

\frac{u_1 (m_1 - m_2) + 2m_2 u_2}{m_1 + m_2}</math>

:<math>v_2</math> ≈\approx <math>\frac{u_2 (m_2 - m_1) + 2m_1 u_1}{m_1 + m_2}</math>

Pertanto, i calcoli della meccanica classica risultano corretti quando la velocità di entrambi i corpi è molto minore della velocità della luce (circa <math>3 \cdot 10^8</math> m/s).

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===Two- and three-dimensional===

I calcoli della meccanica classica risultano quindi corretti quando la velocità di entrambi i corpi è molto minore della [[velocità della luce]] (circa 3 x 10⁸ m/s).

Newton's Rule (i.e. the conservation of momentum) applies to the components of velocity resolved along the common normal surfaces of the colliding bodies at the point of contact. In the case of the two spheres the velocity components involved are the components resolved along the line of centers during the contact. Consequently, the components of velocity perpendicular to the line of centers will be unchanged during the impact.

====Esempio: urto tra particelle subatomiche====

To solve an equation involving two colliding bodies in two-dimensions, the overall velocity of each body must be split into two perpendicular velocities: one tangent to the common normal surfaces of the colliding bodies at the point of contact, the other along the line of collision. Since the collision only imparts force along the line of collision, the velocities that are tangent to the point of collision do not change. The velocities along the line of collision can then be used in the same equations as a one-dimensional collision. The final velocities can then be calculated from the two new component velocities and will depend on the point of collision. Studies of two-dimensional collisions are conducted for many bodies in the framework of a [[two-dimensional gas]].

Un modo per schematizzare le interazioni tra particelle subatomiche è quello di considerare l'interazione come urto elastico. Supponiamo di avere due particelle entrambe di massa a riposo ''m'', supposta nota, che si muovono l'una contro l'altra a velocità <math>v_{1}=\frac{c}{2}</math> e <math>v_{2}=-\frac{2c}{3}</math>. Dopo l'urto si forma un'unica particella. Troviamo la massa ''M'' e la velocità ''v_M'' di questa nuova particella. Le equazioni '''(IV)''' portano al sistema:

:<math>\begin{cases}

The momentum of two bodies depends upon their actual velocities and mass, so one cannot predict about the momentum of the two bodies if the kinetic energies of the two bodies are equal.

\gamma(v_1)mv_1+\gamma(v_2)mv_2=\gamma(v_M)Mv_M \\

-->

\gamma(v_1)m+\gamma(v_2)m=\gamma(v_M)M

\end{cases}</math>

Ricaviamo i fattori γ delle due velocità iniziali:

:<math>\gamma(v_1)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v_1^2}{c^2}}}=

\frac{1}{\sqrt{1-\frac{c^2}{4c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}}=\frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.154</math>

:<math>\gamma(v_2)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v_2^2}{c^2}}}=

\frac{1}{\sqrt{1-\frac{4c^2}{9c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{5}{9}}}=\frac{3\sqrt{5}}{5} \approx 1.342</math>

Dalla conservazione dell'energia ricaviamo ''M'':

:<math>M=m\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}+\frac{3\sqrt{5}}{5}}{\gamma(v_M)}=m\frac{9\sqrt{5}+10\sqrt{3}}{15\gamma(v_M)}</math>

Sostituiamo nell'altra equazione:

:<math>\left( \frac{c}{2}\frac{2\sqrt{3}}{3}m-\frac{2c}{3}\frac{3\sqrt{5}}{5}m\right)=m \frac{9\sqrt{5}+10\sqrt{3}}{15}v_M</math>

:<math>v_M=\frac{5\sqrt{3}-6\sqrt{5}}{10\sqrt{3}+9\sqrt{5}}c \approx -0.127c</math>

Nota ''v_M'' sostituiamo nell'equazione per ''M'', che risulta essere:

:<math> M \approx 2.476 m >2 m</math>

Abbiamo scoperto che nell'interazione la massa della nuova particella non è uguale alla somma delle masse delle altre due, ma superiore. Infatti parte dell'energia dovuta alla velocità delle particelle si è tramutata in massa; come è noto, nella teoria della relatività la massa e l'energia sono intercambiabili (la celebre formula [[E=mc²]]): infatti durante le interazioni delle particelle subatomiche questi scambi si verificano continuamente.

====Effetto Compton====

{{vedi anche|effetto Compton}}

Un'importante applicazione degli urti relativistici è l'[[effetto Compton]], che collega l'angolo di deflessione di un fotone che interagisce con un'altra particella con la variazione di energia del fotone stesso, cioè della sua [[lunghezza d'onda]]. L'interazione è schematizzata come urto elastico, nel quale valgono le '''(IV)'''. L'urto avviene sul piano, e la conservazione della quantità di moto implica la conservazione delle sue proiezioni lungo gli assi. Mettendo a sistema con la conservazione dell'energia, si ottiene:

:<math>\Delta \lambda = \lambda_0 ( 1 - \cos \varphi )</math>

dove <math>\varphi</math> è l'angolo di deflessione del [[fotone]] e

:<math>\lambda_0 = \frac {h}{mc}</math>

è detta ''lunghezza d'onda di Compton''.

===Urti bi- e tridimensionali===

[[Immagine:Elastischer stoß 2D.gif|thumb|Animazione di un urto elastico tra due monete. Sono evidenziati i vettori delle quantità di moto]]

La legge di Newton (come la conservazione della quantità di moto) si applica alle componenti della velocità risolte lungo le comuni superfici normali dei corpi collidenti al punto di contatto. Nel caso di due sfere di uguale massa le componenti della velocità coinvolte saranno le componenti risolte lungo la linea congiungente i centri nell'istante dell'urto. Di conseguenza, le componenti della velocità perpendicolari a questa linea resteranno invariate durante l'urto.

Per risolvere un'equazione che coinvolge due corpi che collidono in un sistema bidimensionale, la velocità complessiva di ciascun corpo deve essere scomposta in due velocità ortogonali: una tangente alla superficie comune normale dei due corpi collidenti nel punto di contatto, l'altra lungo la linea di collisione. Siccome l'urto imprime forze solo lungo la linea di collisione, le velocità tangenti al punto di collisione non cambiano. Per calcolare le velocità lungo la linea d'urto si possono utilizzare le stesse equazioni di un urto monodimensionale. Le velocità finali possono essere calcolate dalle due nuove componenti e dipenderanno dal punto di collisione. Sono stati condotti degli studi sugli urti bidimensionali per molti corpi nella struttura di un gas bidimensionale.

La quantità di moto di due corpi dipende dalle loro velocità effettive e masse, per cui non si può prevedere la quantità di moto di due corpi se le energie cinetiche dei due sono eguali.

Per le due monete in figura la componente che cambia si può trovare tramite il [[prodotto scalare]] della velocità con un [[versore]] che indica la direzione diretta dell'urto.

== Note ==

<references/>

== Bibliografia ==

*{{cita libro|titolo=Principi di conservazione|editore=Alpha Test|anno=2004|autore=Ettore Minguzzi; Sabrina Rossi|ISBN=88-483-0309-9|cid=AT}}

*{{cita pubblicazione|titolo=La cinematica degli urti|autore=Giuseppe Dalba|cid=GD|url=http://www.science.unitn.it/~fisica1/fisica1/appunti/mecc/appunti/cinematica/urti.pdf|formato=PDF|editore=Università degli Studi di Trento}}

==Voci correlate==

* [[Urti anelasticiUrto]]

* [[Urto anelastico]]

* [[Forza impulsiva]]

* [[Energia meccanica]]

* [[Energia cinetica]]

* [[Teoria della relatività ristretta]]

* [[Pendolo di Newton]]

* [[Elasticità (meccanica)]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Portale|Meccanica}}

[[de:Elastischer Stoß]]

[[en:Elastic collision]]

[[es:Colisión elástica]]

[[ru:Абсолютно упругий удар]]

[[sl:Pro&#382;ni trk]]

[[zh:彈性碰撞]]

[[Categoria:Dinamica]]