Urto elastico: differenze tra le versioni

Versione delle 19:05, 16 set 2010

Versione attuale delle 23:57, 5 mag 2024

(45 versioni intermedie di 34 utenti non mostrate)

Riga 1:

[[File:Translational motion.gif|thumb|Gli atomi in agitazione termica sono coinvolti in urti essenzialmente elastici.]]

In [[meccanica classica]] un '''urto elastico''' è un [[urto]] durante il quale si conserva l'[[energia meccanica]] totale del [[sistema (fisica)|sistema]], ed in particolare l'[[energia cinetica]].

In [[meccanica classica]] un '''urto elastico''' è un [[urto]] durante il quale si conserva l'[[energia meccanica]] totale del [[sistema (fisica)|sistema]], ed in particolare l'[[energia cinetica]].<ref>{{cita|Dalba|p. 2|GD}}.</ref> Nel caso di corpi prossimi a [[velocità della luce]] un urto elastico è un urto nel quale si conserva il [[quadrivettore]] quantità di moto.

==Risoluzione di un problema d'urto elastico==

In generale, nella risoluzione di un problema d'urto completamente elastico, si parte dalla conservazione della [[quantità di moto]] e dell'[[energia cinetica]] prima e dopo l'urto.

*La '''quantità di moto''' del sistema si conserva per definizione di urto: durante un urto, infatti, è possibile considerare il [[sistema isolato]] a causa delle [[forza impulsiva|forze impulsive]] che i corpi che interagiscono si scambiano, e quindi è possibile trascurare le altre forze in gioco (es. [[forza di gravità|gravitazionale]]);

*Per definizione di ''urto elastico'', si deve conservare l'[[energia meccanica]] totale del sistema. Considerato però che il sistema è isolato durante l'urto, i potenziali delle forze esterne si trascurano e rimane unicamente l<nowiki>'</nowiki>'''energia cinetica''' dei corpi.

Nel caso di urti monodimensionali tra due corpi, le equazioni sono 2 equazioni scalari, mentre nel caso di urti in un piano esse sono 3 (le due componenti della quantità di moto e l'energia). Per quanto riguarda urti nello spazio tridimensionale, per la maggior parte dei problemi è valida l'assunzione che l'urto si svolga in un piano, perciò con un opportuno cambio di coordinate è possibile ricondursi al caso precedente; altrimenti si hanno 4 relazioni scalari.

Line 15 ⟶ 14:

Per problemi unidimensionali il numero di equazioni permette di risolvere completamente il moto, trovando cioè le velocità dei due corpi dopo l'urto; per problemi nel piano con corpi estesi queste non sempre bastano, ed è possibile trovare una soluzione solo per alcuni casi notevoli con geometrie semplici, come per esempio un urto elastico tra due [[sfera|sfere]], per i quali si possono usare altre relazioni quali, per esempio, simmetrie del sistema.

==TipologieTipi diversi di urto nello spazio==

{{See also|Urto fra corpi rigidi}}

===Urto monodimensionale===

Consideriamo due corpi approssimabili come [[punto materiale|punti materiali]] che urtino frontalmente. Mettiamoci in un sistema di riferimento ''S'' nel quale i moti dei corpi avvengano lungo l'asse ''x'' e la velocità iniziale del secondo corpo sia nulla: ciò permette di semplificare notevolmente il problema, senza perdere di generalità. Infatti con un'altra [[trasformazione galileiana]] possiamo tornare nel sistema di riferimento originario, trovando le velocità nel sistema di riferimento ''del laboratorio''. Indichiamo con:

Indichiamo con:

*<math>v_{1i}\,</math> la velocità iniziale del primo corpo

*<math>v_{2i1i}=0\,</math> la velocità iniziale del secondoprimo corpo

*<math>v_{1f2i}\,</math> la velocità finaleiniziale del primosecondo corpo

*<math>v_{2f1f}\,</math> la velocità finale del secondoprimo corpo

*<math>m_1\,v_{2f}</math> la massavelocità finale del primosecondo corpo

*<math>m_2\,m_1</math> la massa del secondoprimo corpo

*<math>v_{1i}\,m_2</math> la velocità inizialemassa del primosecondo corpo

Imponiamo la conservazione dell'[[energia cinetica]] ''K'' e della [[quantità di moto]] ''P'': otteniamo il sistema:<ref name=tre>{{cita|Dalba|p. 3|GD}}.</ref>

:<math>\begin{cases}K_i=K_f \\

Line 33 ⟶ 35:

:<math>\begin{cases}

\frac{1}{2}m_1v_{1i}^2+\frac{1}{2}m_2v_{2i}^2=\frac{1}{2}m_1v_{1f}^2+\frac{1}{2}m_2v_{2f}^2 \\

m_1v_{1i}+m_2v_{2i}=m_1v_{1f}+m_2v_{2f}

\end{cases}</math>

Queste equazioni si risolvono facilmente calcolandoraggruppando in ognuna di esse in un membro i termini con <math>v_{2f}m_1</math> dallae nell'altro membro i termini con <math>m_2</math>, dividendo la prima equazione per la seconda e sostituendolaricordando nellache prima<math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math>. Abbiamo:

Infatti dividendo la prima equazione per <math>\tfrac{1}{2}</math> e tenendo conto della proposizione precedente:

:<math>\begin{cases}

m_1(v_m_1v_{1i}^2-v_m_1v_{1f}^2)=m_2v_{2f}^2-m_2v_{2i}^2 \rightarrow m_1(v_{1i}+-v_{1f})(v_{1i}-+v_{1f})=m_2v_m_2(v_{2f}^2 -v_{2i})(v_{2f}+v_{2i})\\

m_1(v_{2f1i}=\frac-v_{m_11f}{)=m_2}(v_{1i2f}-v_{1f2i})

\end{cases}</math>

ovvero dividendo membro a membro:<ref name=tre/>

:<math>m_1(v_{1i}+v_{1f})(v_{1i}-v_{1f})=m_2\cdot \left[ \frac{m_1}{m_2}(v_{1i}-v_{1f}) \right]^2=\frac{m_1^2}{m_2}(v_{1i}-v_{1f})^2</math>

:<math>v_{1i}+v_{1f}=\frac{m_1}{m_2}(v_{1i2f}-+v_{1f2i}) \qquad \qquad \qquad \mbox{se} \;\; v_{1i}\ne v_{1f},</math> altrimenti caso banale (assenza dell'urto)

Da qui basterà risolvere un semplice sistema lineare per trovare le nostre due velocità finali:

:<math>(1+\frac{m_1}{m_2})v_{1f}=(\frac{m_1}{m_2}-1)v_{1i}</math>

:<math>\mathbf {(III)} \qquad \begin{cases}

v_{1i}+v_{1f}=v_{2f}+v_{2i} \\

m_1v_{1i}+m_2v_{2i}=m_1v_{1f}+m_2v_{2f}

\end{cases}</math>

ovvero:

da cui:

:<math>\begin{cases}

:<math>\mathbf{(I)} \qquad v_{1f}=\left( \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right) v_{1i}</math>

L'altra velocità finale si trova sostituendo nella conservazione della quantità di moto:

:<math>v_{2f}=\frac{m_1}{m_2}(v_{1i}-v_{1f})=\frac{m_1}{m_2} \left[ 1-\left( \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\right) \right] v_{1i}=\frac{m_1}{m_2} \cdot \frac{2m_2}{m_1+m_2} v_{1i}</math>

:<math>\mathbf{(II)} \qquad v_{2f}=\frac {2m_1}{m_1+m_2} v_{1i}</math>

Quella costituita dalle '''(I)''' e '''(II)''' è la soluzione particolare per un corpo che ne urta un altro fermo. Per ottenere le equazioni generali basta fare un cambio di coordinate, ottenendo le equazioni generali:

:<math>\mathbf {(III)} \qquad \begin{cases}

v_{1f} = \frac{(m_{1}-m_{2})v_{1i}+2m_{2}v_{2i}}{m_{1}+m_{2}} \\

v_{2f} = \frac{(m_{2}-m_{1})v_{2i}+2m_{1}v_{1i}}{m_{1}+m_{2}}

\end{cases}</math>

Si noti anche la soluzione banale <math>v_{1f}=v_{1i}</math> e <math>v_{2f}=v_{2i}</math>, corrispondente all'assenza di urto: i due corpi proseguono senza interagire, conservando così ovviamente energia cinetica e quantità di moto.

====Moderatori per neutroni====

Dall'Dalla equazionesoluzione '''(I)'''appena trovata si vede come nel caso di <math>v_{2i}=0</math> e di un elevato valore di <math> \ v_{1i}</math>, il valore di <math> v_{1f}</math> è piccolo se le masse sono approssimativamente uguali: colpendo un corpo con una particella molto più leggera non si modifica in maniera significativa la velocità, colpendolo con una particella di massa molto superiore, si induce la particella veloce a rimbalzare con velocità elevatadiminuita. Per questo motivo un [[moderatore (chimica)|moderatore]] (un mezzo che rallenta i [[neutrone|neutroni veloci]], trasformandoli in [[neutrone|neutroni termici]] capaci di sostenere una [[reazione a catena]]) è costituito da un materiale formato da atomi con nuclei leggeri (con la proprietà aggiuntiva che non assorbano facilmente i neutroni): il'[[idrogeno]], nucleiil più leggerileggero, hannoha circa la stessa massa di un [[neutrone]].

[[Immagine:Elastischer stoß.gif|frame|center|Urto elastico tra masse uguali]]

====Velocità relative====

Dato che durante gli urti il sistema è isolato, il [[centro di massa]] si muove di [[Moto rettilineo|moto rettilineo uniforme]], con velocità [[media ponderata]] ''v<sub>CM</subv>'':

:<math>v_{CM}\langle v \rangle=\frac{m_1v_{1i}+m_2v_{2i}}{m_1+m_2}=\frac{m_1v_{1f}+m_2v_{2f}}{m_1+m_2}</math>

Di conseguenza abbiamo:

Line 85 ⟶ 80:

Usando l'energia cinetica si può scrivere

:<math> \ m_1(v_{1f}^2-v_{1i}^2)=m_2(v_{2i}^2-v_{2f}^2)\,\!</math>

:<math> m_1(v_1v_{1f}-u_1v_{1i})(v_1v_{1f}+u_1v_{1i})=m_2(u_2v_{2i}-v_2v_{2f})(u_2v_{2i}+v_2v_{2f})\,\!</math>

Dividendo per la '''(*)''' otteniamo:

Line 95 ⟶ 90:

che si riscrive come

:<math>v_{2i}-v_{1i}=-(v_{2f}-v_{1f})\,</math> o analogamente <math>\,v_{1i}-v_{2i}=-(v_{1f}-v_{2f})</math>

Da ciò notiamo che ''la velocità relativa di una particella rispetto all'altra è invertita dall'urto''. Nel caso di particelle con masse differenti, la particella più pesante si muove lentamente verso il centro di massa, e rimbalza con la stessa bassa velocità, mentre la particella più leggera si muove rapidamente verso il centro di massa e dopo l'urto se ne allontana con eguale velocità.

Line 105 ⟶ 100:

:<math>\begin{cases}

K_i=K_f=\frac{1}{2}m_{1}v_{1i}^{2} + \frac{1}{2}m_{2i2}v_{22i}^{2} = \frac{1}{2}m_{1}v_{1f}^{2} + \frac{1}{2}m_{2}v_{2f}^{2}\\

P_i=P_f=m_{1}v_{1i} + m_{2}v_{2i} = m_{1}v_{1f} + m_{2}v_{2f} = 0

\end{cases}\,\!</math>

da cui:

:<math>\frac{(m_{2}v_{2i})^{2}}{2m_1} + \frac{(m_{2}v_{2i})^{2}}{2m_2} =

\frac{(m_{2}v_{2f})^{2}}{2m_1} + \frac{(m_{2}v_{2f})^{2}}{2m_2}\,\!</math>

:<math>\left(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}}\right)(m_{2}v_{2i})^{2} = \left(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}}\right)(m_{2}v_{2f})^{2}\,\!</math>

:<math>v_{2i}^2 = v_{2f}^2\,\!</math>

e analogamente:

:<math>\frac{(m_{1}v_{1i})^{2}}{2m_1} + \frac{(m_{1}v_{1i})^{2}}{2m_2} =

\frac{(m_{1}v_{1f})^{2}}{2m_1} + \frac{(m_{1}v_{1f})^{2}}{2m_2}\,\!</math>

:<math>\left(\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}\right)(m_{1}u_v_{1i})^{2} = \left(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_2}\right)(m_{1}v_{1f})^{2}\,\!</math>

:<math>u_v_{1i}^2=v_{1f}^2\,\!</math>

Per evitare di ricadere nel caso banale di assenza d'urto avevamo imposto <math>v_{1i}\ne v_{1f}</math>, che implica <math>v_{2i} \ne v_{2f}</math>. Perciò otteniamo:

Line 129 ⟶ 124:

v_{1i}=-v_{1f}\,\\

v_{2i}=-v_{2f}

\end{cases}\,\!</math>

[[Come volevasi dimostrare|CVD]].

Line 143 ⟶ 138:

dove <math>\gamma(v)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}</math> è il [[fattore di Lorentz]].

La prima equazione rappresenta la conservazione della parte spaziale della quantità di moto <math>P_\alpha</math>, alla quale diventa formalmente identica utilizzando la ''massa relativistica'', ora in disuso. Moltiplicando la seconda equazione per ''c'' ricondosciamoriconosciamo invece la conservazione dell'[[energia|energia relativistica]] <math>E=cP_0</math>. Possiamo quindi riscrivere il sistema come:

:<math>\mathbf{(IV)} \qquad\begin{cases}

P_i=P_f \\

Line 149 ⟶ 144:

\end{cases}</math>

In generale risolvere direttamente le equazioni sovrastanti è molto difficile dal momento che il grado dell'equazione è troppo elevato. Come per il caso classico, un aiuto può venire da un cambio di sistema di riferimento, avendo cura di comporre le velocità non con la composizione galileiana ma con il [[composizione delle velocità in relatività speciale|loro equivalente]] nella relatività ristretta. Un buon sistema di riferimento può essere, ad esempio, quello del centro di massa; avendo chiamato con ''v'' la velocità di trascinamento tra un sistema e l'altro, dalla regola di [[composizione delle velocità]] in relatività speciale]] le velocità prima dell'urto nel sistema di riferimento del centro di massa <math>v_{1i} '</math> e <math>v_{2i} '</math> sono:

:<math>v_{1i} '= \frac{v_{1i} - v }{1- \frac{v_{1i} v}{c^2}}</math>

:<math>v_{2i} '= \frac{v_{2i} - v }{1- \frac{v_{2i} v}{c^2}}</math>

:<math>v_{1f} '=-v_{1i} '\,</math>

:<math>v_{2f} '=-v_{2i} '\,</math>

da cui:

:<math>v_{1f} = \frac{v_{1f} ' + v }{1+ \frac{v_{1f} ' v}{c^2}}</math>

:<math>v_{2f} = \frac{v_{2f} ' + v }{1+ \frac{v_{2f} ' v}{c^2}}</math>

Quando <math>v_{1i} <<\ll c \,\!</math> e <math>v_{2i} <<\ll c \,\!</math>,

:<math>p \approx m_1 u_1 + m_2 u_2</math>

Line 184 ⟶ 179:

\end{cases}</math>

RicaviamociRicaviamo i fattori γ delle due velocità iniziali:

:<math>\gamma(v_1)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v_1^2}{c^2}}}=

Line 205 ⟶ 200:

====Effetto Compton====

{{vedi anche|effetto Compton}}

Una Un'importante applicazione degli urti relativistici è l'[[effetto Compton]], che collega l'angolo di deflessione di un fotone che interagisce con un'altra particella con la variazione di energia del fotone stesso, cioè della sua [[lunghezza d'onda]]. L'interazione è schematizzata come urto elastico, nel quale valgono le '''(IV)'''. L'urto avviene sul piano, e la conservazione della quantità di moto implica la conservazione delle sue proiezioni lungo gli assi. Mettendo a sistema con la conservazione dell'energia, si ottiene:

:<math>\Delta \lambda = \lambda_0 ( 1 - \cos \varphi )</math>

Line 216 ⟶ 211:

===Urti bi- e tridimensionali===

[[Immagine:Elastischer stoß 2D.gif|right|thumb|250px|Animazione di un urto elastico tra due monete. Sono evidenziati i vettori delle quantità di moto]]

La legge di Newton (come la conservazione della quantità di moto) si applica alle componenti della velocità risolte lungo le comuni superfici normali dei corpi collidenti al punto di contatto. Nel caso di due sfere di uguale massa le componenti della velocità coinvolte saranno le componenti risolte lungo la linea congiungente i centri nell'istante dell'urto. Di conseguenza, le componenti della velocità perpendicolari a questa linea resteranno inveriateinvariate durante l'urto.

Per risolvere un'equazione che coinvolge due corpi che collidono in un sistema bidimensionale, la velocità complessiva di ciascun corpo deve essere scomposta in due velocità ortogonali: una tangente alla superficie comune normale dei due corpi collidenti nel punto di contatto, l'altra lungo la linea di collisione. Siccome l'urto imprime forze solo lungo la linea di collisione, le velocità tangenti al punto di collisione non cambiano. Per calcolare le velocità lungo la linea d'urto si possono utilizzare le stesse equazioni di un urto monodimensionale. Le velocità finali possono essere calcolate dalle due nuove componenti e dipenderanno dal punto di collisione. Sono stati condotti degli studi sugli urti bidimensionali per molti corpi nella struttura di un gas bidimensionale.

Line 223 ⟶ 218:

La quantità di moto di due corpi dipende dalle loro velocità effettive e masse, per cui non si può prevedere la quantità di moto di due corpi se le energie cinetiche dei due sono eguali.

Per le due monete in figura la componente che cambia si può trovare tramite il [[prodotto scalare]] della velocità con un [[versore]] che indica la direzione diretta dell'urto.

==Bibliografia==

* {{cita libro||C. Mencuccini e V. Silvestrini|Fisica I (Meccanica e Termodinamica)|1996|Liguori Editore|ISBN 88-207-1493-0|ed=3}}

== Note ==

<references/>

== Bibliografia ==

*{{cita libro|titolo=Principi di conservazione|editore=Alpha Test|anno=2004|autore=Ettore Minguzzi; Sabrina Rossi|ISBN=88-483-0309-9|cid=AT}}

*{{cita pubblicazione|titolo=La cinematica degli urti|autore=Giuseppe Dalba|cid=GD|url=http://www.science.unitn.it/~fisica1/fisica1/appunti/mecc/appunti/cinematica/urti.pdf|formato=PDF|editore=Università degli Studi di Trento}}

==Voci correlate==

Line 234 ⟶ 235:

* [[Teoria della relatività ristretta]]

* [[Pendolo di Newton]]

* [[ElasticoElasticità (meccanica)]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Portale|Meccanica}}

[[Categoria:Dinamica]]

[[ar:تصادم مرن]]

[[cs:Pružná srážka]]

[[en:Elastic collision]]

[[es:Choque elástico]]

[[eu:Talka elastiko]]

[[fi:Kimmoinen törmäys]]

[[fr:Choc élastique]]

[[he:התנגשות אלסטית]]

[[ht:Kolizyon elastik]]

[[ko:탄성 충돌]]

[[pl:Zderzenie sprężyste]]

[[pt:Colisão elástica]]

[[ru:Удар#Абсолютно упругий удар]]

[[simple:Elastic collision]]

[[sl:Prožni trk]]

[[zh:彈性碰撞]]