Urto elastico: differenze tra le versioni

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[[File:Translational motion.gif|thumb|Gli atomi in agitazione termica sono coinvolti in urti essenzialmente elastici.]]

In [[meccanica classica]] un '''urto elastico''' è un [[urto]] durante il quale si conserva l'[[energia meccanica]] totale del [[sistema (fisica)|sistema]], ed in particolare l'[[energia cinetica]].

In [[meccanica classica]] un '''urto elastico''' è un [[urto]] durante il quale si conserva l'[[energia meccanica]] totale del [[sistema (fisica)|sistema]], ed in particolare l'[[energia cinetica]].<ref>{{cita|Dalba|p. 2|GD}}.</ref> Nel caso di corpi prossimi a [[velocità della luce]] un urto elastico è un urto nel quale si conserva il [[quadrivettore]] quantità di moto.

==Risoluzione di un problema d'urto elastico==

In generale, nella risoluzione di un problema d'urto completamente elastico, si parte dalla conservazione della [[quantità di moto]] e dell'[[energia cinetica]] prima e dopo l'urto.

*La '''quantità di moto''' del sistema si conserva per definizione di urto: durante un urto, infatti, è possibile considerare il [[sistema isolato]] a causa delle [[forza impulsiva|forze impulsive]] che i corpi che interagiscono si scambiano, e quindi è possibile trascurare le altre forze in gioco (es. [[forza di gravità|gravitazionale]]);

*Per definizione di ''urto elastico'', si deve conservare l'[[energia meccanica]] totale del sistema. Considerato però che il sistema è isolato durante l'urto, i potenziali delle forze esterne si trascurano e rimane unicamente l<nowiki>'</nowiki>'''energia cinetica''' dei corpi.

Nel caso di urti monodimensionali tra due corpi, le equazioni sono 2 equazioni scalari, mentre nel caso di urti in un piano esse sono 3 (le due componenti della quantità di moto e l'energia). Per quanto riguarda urti nello spazio tridimensionale, per la maggior parte dei problemi è valida l'assunzione che l'urto si svolga in un piano, perciò con un opportuno cambio di coordinate è possibile ricondursi al caso precedente; altrimenti si hanno 4 relazioni scalari.

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==Tipi diversi di urto nello spazio==

{{See also|Urto fra corpi rigidi}}

===Urto monodimensionale===

Consideriamo due corpi approssimabili come [[punto materiale|punti materiali]] che urtino frontalmente. Mettiamoci in un sistema di riferimento ''S''.

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*<math>m_2</math> la massa del secondo corpo

Imponiamo la conservazione dell'[[energia cinetica]] ''K'' e della [[quantità di moto]] ''P'': otteniamo il sistema:<ref name=tre>{{cita|Dalba|p. 3|GD}}.</ref>

:<math>\begin{cases}K_i=K_f \\

Line 38 ⟶ 39:

\end{cases}</math>

Queste equazioni si risolvono facilmente raggruppando in ognuna di esse in un membro i termini con <math>m_1</math> e nell'altro membro i termini con <math>m_2</math>, dividendo la prima equazione per la seconda e ricordandociricordando che <math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math>.

infattiInfatti dividendo la prima equazione per <math>\tfrac{1}{2}</math> e tenendo conto della proposizione precedente:

Queste equazioni si risolvono facilmente raggruppando in ognuna di esse in un membro i termini con <math>m_1</math> e nell'altro membro i termini con <math>m_2</math>, dividendo la prima equazione per la seconda e ricordandoci che <math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math>

infatti dividendo la prima equazione per <math>\tfrac{1}{2}</math> e tenendo conto della proposizione precedente:

:<math>\begin{cases}

Line 49 ⟶ 48:

\end{cases}</math>

ovvero dividendo membro a membro:<ref name=tre/>

ovvero dividendo membro a membro:

<math>v_{1i}+v_{1f}=v_{2f}+v_{2i} </math>

Da qui basterà risolvere un semplice sistema lineare per trovare le nostre due velocità finali:

Line 61 ⟶ 57:

m_1v_{1i}+m_2v_{2i}=m_1v_{1f}+m_2v_{2f}

\end{cases}</math>

ovvero:

Line 68 ⟶ 63:

v_{2f} = \frac{(m_{2}-m_{1})v_{2i}+2m_{1}v_{1i}}{m_{1}+m_{2}}

\end{cases}</math>

====Moderatori per neutroni====

Line 75 ⟶ 69:

====Velocità relative====

Dato che durante gli urti il sistema è isolato, il [[centro di massa]] si muove di [[Moto rettilineo|moto rettilineo uniforme]], con velocità [[media ponderata]] ''<v>'':

:<math>\langle v \rangle=\frac{m_1v_{1i}+m_2v_{2i}}{m_1+m_2}=\frac{m_1v_{1f}+m_2v_{2f}}{m_1+m_2}</math>

Line 121 ⟶ 115:

:<math>\frac{(m_{1}v_{1i})^{2}}{2m_1} + \frac{(m_{1}v_{1i})^{2}}{2m_2} =

\frac{(m_{1}v_{1f})^{2}}{2m_1} + \frac{(m_{1}v_{1f})^{2}}{2m_2}</math>

:<math>\left(\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}\right)(m_{1}u_v_{1i})^{2} = \left(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_2}\right)(m_{1}v_{1f})^{2}</math>

:<math>u_v_{1i}^2=v_{1f}^2</math>

Per evitare di ricadere nel caso banale di assenza d'urto avevamo imposto <math>v_{1i}\ne v_{1f}</math>, che implica <math>v_{2i} \ne v_{2f}</math>. Perciò otteniamo:

Line 144 ⟶ 138:

dove <math>\gamma(v)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}</math> è il [[fattore di Lorentz]].

La prima equazione rappresenta la conservazione della parte spaziale della quantità di moto <math>P_\alpha</math>, alla quale diventa formalmente identica utilizzando la ''massa relativistica'', ora in disuso. Moltiplicando la seconda equazione per ''c'' ricondosciamoriconosciamo invece la conservazione dell'[[energia|energia relativistica]] <math>E=cP_0</math>. Possiamo quindi riscrivere il sistema come:

:<math>\mathbf{(IV)} \qquad\begin{cases}

P_i=P_f \\

Line 159 ⟶ 153:

:<math>v_{2f} = \frac{v_{2f} ' + v }{1+ \frac{v_{2f} ' v}{c^2}}</math>

Quando <math>v_{1i} <<\ll c </math> e <math>v_{2i} <<\ll c </math>,

:<math>p \approx m_1 u_1 + m_2 u_2</math>

Line 185 ⟶ 179:

\end{cases}</math>

RicaviamociRicaviamo i fattori γ delle due velocità iniziali:

:<math>\gamma(v_1)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v_1^2}{c^2}}}=

Line 217 ⟶ 211:

===Urti bi- e tridimensionali===

[[Immagine:Elastischer stoß 2D.gif|right|thumb|250px|Animazione di un urto elastico tra due monete. Sono evidenziati i vettori delle quantità di moto]]

La legge di Newton (come la conservazione della quantità di moto) si applica alle componenti della velocità risolte lungo le comuni superfici normali dei corpi collidenti al punto di contatto. Nel caso di due sfere di uguale massa le componenti della velocità coinvolte saranno le componenti risolte lungo la linea congiungente i centri nell'istante dell'urto. Di conseguenza, le componenti della velocità perpendicolari a questa linea resteranno invariate durante l'urto.

Per risolvere un'equazione che coinvolge due corpi che collidono in un sistema bidimensionale, la velocità complessiva di ciascun corpo deve essere scomposta in due velocità ortogonali: una tangente alla superficie comune normale dei due corpi collidenti nel punto di contatto, l'altra lungo la linea di collisione. Siccome l'urto imprime forze solo lungo la linea di collisione, le velocità tangenti al punto di collisione non cambiano. Per calcolare le velocità lungo la linea d'urto si possono utilizzare le stesse equazioni di un urto monodimensionale. Le velocità finali possono essere calcolate dalle due nuove componenti e dipenderanno dal punto di collisione. Sono stati condotti degli studi sugli urti bidimensionali per molti corpi nella struttura di un gas bidimensionale.

Line 224 ⟶ 218:

La quantità di moto di due corpi dipende dalle loro velocità effettive e masse, per cui non si può prevedere la quantità di moto di due corpi se le energie cinetiche dei due sono eguali.

Per le due monete in figura la componente che cambia si può trovare tramite il [[prodotto scalare]] della velocità con un [[versore]] che indica la direzione diretta dell'urto.

==Bibliografia Note ==

<references/>

* {{cita libro||C. Mencuccini e V. Silvestrini|Fisica I (Meccanica e Termodinamica)|1996|Liguori Editore|ISBN 88-207-1493-0|ed=3}}

== Bibliografia ==

*{{cita libro|titolo=Principi di conservazione|editore=Alpha Test|anno=2004|autore=Ettore Minguzzi; Sabrina Rossi|ISBN=88-483-0309-9|cid=AT}}

*{{cita pubblicazione|titolo=La cinematica degli urti|autore=Giuseppe Dalba|cid=GD|url=http://www.science.unitn.it/~fisica1/fisica1/appunti/mecc/appunti/cinematica/urti.pdf|formato=PDF|editore=Università degli Studi di Trento}}

==Voci correlate==

Line 237 ⟶ 235:

* [[Teoria della relatività ristretta]]

* [[Pendolo di Newton]]

* [[ElasticoElasticità (meccanica)]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Portale|Meccanica}}