Schema (matematica): differenze tra le versioni
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Negli [[Anni 1950|anni cinquanta]] [[Jean-Pierre Serre]], [[Claude Chevalley]] e [[Masayoshi Nagata]], motivati dalla [[congettura di Weil]] che lega la [[teoria dei numeri]] e la [[geometria algebrica]], seguirono un approccio simile usando ideali primi come punti. Secondo [[Pierre Cartier]] la parola ''schema'' fu usata la prima volta nel Seminario Chevalley del [[1956]], nel quale Chevalley seguiva le idee di Zariski e fu Martineau che propose a Serre di spostarsi sullo [[spettro di un anello]].
Poi [[Alexander Grothendieck]] diede la definizione decisiva. Egli definisce lo [[spettro di un anello]] commutativo come insieme degli ideali primi con la topologia di Zariski, ma lo arricchisce di un [[fascio (teoria delle categorie)|fascio]] di anelli: ad ogni aperto di Zariski associa un anello di funzioni, pensate come funzioni polinomiali sull'aperto. Questi oggetti sono gli ''schemi affini''; uno schema in generale si ottiene incollando degli schemi affini, analogamente al fatto che le varietà proiettive si ottengono incollando [[Varietà affine|varietà affini]].
Cfr. anche l'articolo [[spettro di un anello]] per una motivazione del fatto che "i punti sono gli ideali primi".
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Poiché '''[[numero intero|Z]]''' è un [[oggetto iniziale]] nella categoria degli anelli, la categoria degli schemi ha Spec('''Z''') come [[oggetto finale]].
La categoria degli schemi ha [[prodotto (teoria delle categorie)|prodotti]] finiti, ma bisogna essere attenti: lo spazio topologico sottostante il prodotto di schemi (''X'',''O''<sub>''X''</sub>) e (''Y'',''O''<sub>''Y''</sub>) non è in generale il [[prodotto topologico]] degli spazi sottostanti. Prendiamo Spec('''Z'''[''X'',''Y'']) per esempio. '''Z'''[''X'',''Y''] è il [[coprodotto]] nella categoria degli anelli commutativi di '''Z'''[''X''] e '''Z'''[''Y''], dunque Spec('''Z'''[''X'',''Y'']) è il prodotto di Spec('''Z'''[''X'']) e Spec('''Z'''[''Y'']) nella categoria degli [[schema affine|schemi affini]] (e l'inclusione nella categoria degli schemi rispetta il prodotto). Ma tutti gli insiemi chiusi propri di Spec('''Z'''[''X'']) sono finiti, mentre Spec('''Z'''[''X'',''Y'']) ha molti insiemi chiusi V generati da un [[polinomio irriducibile]] P(''X'', ''Y'') di grado superiore a uno: questi non derivano in alcun modo dai due fattori (l'insieme degli ideali primi non è nemmeno il [[prodotto cartesiano]]).
== Tipi di schemi ==
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* Uno schema è '''localmente noetheriano''' se è ricoperto da spettri di [[Anello noetheriano|anelli noetheriani]]; equivalentemente, se tutti i suoi aperti affini lo sono.
* Uno schema si dice '''noetheriano''' se è localmente noetheriano e [[
La maggior parte degli schemi che si incontrano nella pratica sono almeno localmente noetheriani.
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== Bibliografia ==
* {{cita libro| nome = Joe | cognome = Harris | titolo = The Geometry of Schemes | anno = 1998 | editore = Springer-Verlag | isbn = 0-387-98637-5 | lingua = en }}
* {{cita libro| nome = David | cognome = Mumford | titolo = The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians | url = https://archive.org/details/redbookofvarieti0002mumf | anno = 1999 | editore = Springer-Verlag | edizione = 2nd ed. | isbn = 3-540-63293-X | lingua = en }}
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