Schema (matematica): differenze tra le versioni

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In [[matematica]] uno '''schema''' è un concetto importante che connette i campi della [[geometria algebrica]], dell'[[algebra commutativa]] e della [[teoria dei numeri]]. Gli schemi sono stati introdotti da [[Alexander Grothendieck]] per generalizzare il concetto di [[varietà algebrica]] e taluni li considerano l'oggetto di base per lo studio della geometria algebrica moderna. Tecnicamente uno schema è uno [[spazio topologico]] insieme a degli [[anello commutativo|anelli commutativi]] per ognuno dei suoi aperti, che scaturisce dall'"incollamento" di [[spettro di un anello|spettri]] (spazi di [[ideale primo|ideali primi]]) di anelli commutativi.

== Storia e motivazioni ==

I geometri algebricimatematici della scuola[[Scuola italiana di geometria algebrica]] hanno spesso usato un concetto abbastanza impreciso di "punto generico" dando degli enunciati sulle [[varietà algebrica|varietà algebriche]]. Ciò che è vero per un punto generico è vero per ogni punto della varietà, tranne un piccolo numero di punti speciali. Negli anni [[Anni 1920|20anni venti]] [[Emmy Noether]] ha suggerito per la prima volta un modo per chiarificare il concetto: cominciamo con l'anello delle coordinate della varietà (l'anello di tutte le funzioni polinomiali definite sulla varietà); gli [[ideale massimale|ideali massimali]] di questo anello corrispondono ai punti ordinari della varietà (sotto opportune ipotesi) e gli [[ideale primo|ideali primi]] non massimali corrispondono ai vari punti generici. Prendendo tutti gli ideali primi si ottiene una collezione di punti ordinari e generici. Noether non continuò il suo approccio.

Negli anni [[Anni 1930|30anni trenta]] [[Wolfgang Krull]] cambiò la situazione e prese un passo decisivo: si prenda ''qualsiasi'' anello commutativo, si consideri l'insieme dei suoi ideali primi e lo si trasformi in uno [[spazio topologico]] introducendo la [[topologia di Zariski]] e si studi la geometria algebrica con questi oggetti piuttosto generici. Altri non capirono il senso del ragionamento di Krull ed egli lo abbandonò.

I geometri algebrici della scuola italiana hanno spesso usato un concetto abbastanza impreciso di "punto generico" dando degli enunciati sulle [[varietà algebrica|varietà algebriche]]. Ciò che è vero per un punto generico è vero per ogni punto della varietà, tranne un piccolo numero di punti speciali. Negli anni [[Anni 1920|20]] [[Emmy Noether]] ha suggerito per la prima volta un modo per chiarificare il concetto: cominciamo con l'anello delle coordinate della varietà (l'anello di tutte le funzioni polinomiali definite sulla varietà); gli [[ideale massimale|ideali massimali]] di questo anello corrispondono ai punti ordinari della varietà (sotto opportune ipotesi) e gli [[ideale primo|ideali primi]] non massimali corrispondono ai vari punti generici. Prendendo tutti gli ideali primi si ottiene una collezione di punti ordinari e generici. Noether non continuò il suo approccio.

[[André Weil]] era specialmente interessato alla geometria algebrica sui [[campo finito|campi finiti]] ed altri anelli. Negli anni [[Anni 1940|40anni quaranta]] egli ritornò all'approccio con gli ideali primi; infatti egli aveva bisogno di una ''varietà astratta'' (al di fuori di uno [[spazio proiettivo]]) per motivi di fondazione, soprattutto per la formulazione in maniera algebrica della [[varietà jacobiana]]. Nel libro fondamentale di Weil i punti generici sono presi prendendo elementi di un [[campo algebricamente chiuso]], chiamato ''dominio fondamentale''.

Negli anni [[Anni 1930|30]] [[Wolfgang Krull]] cambiò la situazione e prese un passo decisivo: si prenda ''qualsiasi'' anello commutativo, si consideri l'insieme dei suoi ideali primi e lo si trasformi in uno [[spazio topologico]] introducendo la [[topologia di Zariski]] e si studi la geometria algebrica con questi oggetti piuttosto generici. Altri non capirono il senso del ragionamento di Krull ed egli lo abbandonò.

All'incirca nel 1942 [[Oscar Zariski]] ha definito uno ''spazio di Zariski'' astratto dal campo di funzioni di una [[varietà algebrica]], per i bisogni della [[geometria birazionale]]: è come il [[limite diretto]] di varietà ordinarie (con illo "blowing-up"[[scoppiamento]]) e la costruzione, che ricalcava la [[teoria locale]], usava [[anello di valutazione discreta|anelli di valutazione discreta]] come punti.

[[André Weil]] era specialmente interessato alla geometria algebrica sui [[campo finito|campi finiti]] ed altri anelli. Negli anni [[Anni 1940|40]] egli ritornò all'approccio con gli ideali primi; infatti egli aveva bisogno di una ''varietà astratta'' (al di fuori di uno [[spazio proiettivo]]) per motivi di fondazione, soprattutto per la formulazione in maniera algebrica della [[varietà jacobiana]]. Nel libro fondamentale di Weil i punti generici sono presi prendendo elementi di un [[campo algebricamente chiuso]], chiamato ''dominio fondamentale''.

Negli anni [[Anni 1950|50anni cinquanta]] [[Jean-Pierre Serre]], e[[Claude Chevalley-]] e [[Masayoshi Nagata]], motivati dalla [[congettura di Weil]] che lega la [[teoria dei numeri]] e la [[geometria algebrica]], seguirono un approccio simile usando ideali primi come punti. Secondo [[Pierre Cartier]] la parola ''schema'' fu usata la prima volta nel Seminario Chevalley del [[1956]], nel quale Chevalley seguiva le idee di Zariski e fu Martineau che propose a Serre di spostarsi sullo [[spettro di un anello]].

All'incirca 1942 [[Oscar Zariski]] ha definito uno ''spazio di Zariski'' astratto dal campo di funzioni di una [[varietà algebrica]], per i bisogni della [[geometria birazionale]]: è come il [[limite diretto]] di varietà ordinarie (con il "blowing-up") e la costruzione, che ricalcava la [[teoria locale]], usava [[anello di valutazione discreta|anelli di valutazione discreta]] come punti.

Poi [[Alexander Grothendieck]] diede la definizione decisiva. Egli definisce lo [[spettro di un anello|spettro]] di un anello commutativo come insieme degli ideali primi con la topologia di Zariski, ma lo arricchisce di un [[fascio (matematicateoria delle categorie)|fascio]] di anelli: ad ogni apertiaperto di Zariski associa un anello di funzioni, pensate come funzioni polinomiali sull'aperto. Questi oggetti sono gli ''schemi affini''; uno schema in generale si ottiene incollando degli schemi affini, analogamente al fatto che le varietà proiettive si ottengono incollando [[Varietà affine|varietà affini]].

Negli anni [[Anni 1950|50]] [[Jean-Pierre Serre]] e Chevalley-Nagata, motivati dalla [[congettura di Weil]] che lega la [[teoria dei numeri]] e la [[geometria algebrica]], seguirono un approccio simile usando ideali primi come punti. Secondo [[Pierre Cartier]] la parola ''schema'' fu usata la prima volta nel Seminario Chevalley del [[1956]], nel quale Chevalley seguiva le idee di Zariski e fu Martineau che propose a Serre di spostarsi sullo [[spettro di un anello]].

CfCfr. anche l'articolo [[spettro di un anello]] per una motivazione del fatto che "i punti sono gli ideali primi".

Poi [[Alexander Grothendieck]] diede la definizione decisiva. Egli definisce lo [[spettro di un anello|spettro]] di un anello commutativo come insieme degli ideali primi con la topologia di Zariski, ma lo arricchisce di un [[fascio (matematica)|fascio]] di anelli: ad ogni aperti di Zariski associa un anello di funzioni, pensate come funzioni polinomiali sull'aperto. Questi oggetti sono gli ''schemi affini''; uno schema in generale si ottiene incollando degli schemi affini, analogamente al fatto che le varietà proiettive si ottengono incollando varietà affini.

La generalità del concetto di schema fu inizialmente criticata: certi schemi sono ben lontani dall'avere un'interpretazione geometrica. Grothendieck e [[Jean Dieudonné]] studiarono la [[Teoria delle categorie|categoria]] di tutti gli schemi e [[Pierre Deligne]] studente di Grothendieck scrisse più tardi che gli schemi bizzarri rendono la categoria più bella.

Cf. anche l'articolo [[spettro di un anello]] per una motivazione del fatto che "i punti sono gli ideali primi".

L'evoluzione del concetto di schema non fu la fine della strada; ma le successive definizionedefinizioni di [[spazio algebrico]] e algebric stack algebrico da parte di [[Michael Artin]] per l'utilizzo nei moduliproblemi problemssugli spazi dei moduli sono di ristretta applicazione tecnica.

La generalità del concetto di schema fu inizialmente criticata: certi schemi sono ben lontani dall'avere un'interpretazione geometrica. Grothendieck e [[Jean Dieudonné]] studiarono la [[categoria]] di tutti gli schemi e [[Pierre Deligne]] studente di Grothendieck scrisse più tardi che gli schemi bizzarri rendono la categoria più bella.

L'evoluzione del concetto di schema non fu la fine della strada; ma le successive definizione di [[spazio algebrico]] e algebric stack da parte di [[Michael Artin]] per l'utilizzo nei moduli problems sono di ristretta applicazione tecnica.

[[en:scheme (mathematics)]]

== Definizioni ==

Uno '''schema''' ''X'' è uno [[spazio localmente anellato]] con un ricoprimento di aperti ''U''_''i'' tali che la restrizione del fascio ''O''_''X'' ad ogni aperto ''U''_''i'' è isomorfo a [[spettro di un anello|Spec]] ''A''_''i'' in quanto spazi localmente anellati, ove ''A''_''i'' è un anello commutativo.

(NB: Vi è stato un cambiamento di assiomi; nei primi anni questo si chiamava ''preschema'' e lo schema richiedeva un assioma di separazione)

Schemi isomorphiisomorfi a Spec(''A'') con ''A'' anello commutativo, si chiamano '''schemi affini'''. Si può pensare allo schema come coperto da "mappe coordinate" di schemi affini, cioè come un "oggetto geometrico" che è "localmente" (per la topogia di Zariski) uno schema affine.

== La categoriaCategoria degli schemi ==

Gli schemi formano una [[categoria]] se si prende come morfismi i morfismi di [[spazio localmente anellato|spazi localmente anellati]].

I morfismi da uno schema in uno schema affine sono completamente spiegabili grazie alla seguente [[funtore aggiuntiaggiunto|coppia di funtori aggiunti]]: Per ogni schema ''X'' ed ogni anello commutativo ''A'' abbiamo la seguente equivalenza naturale:

Gli schemi formano una [[categoria]] se si prende come morfismi i morfismi di [[spazio localmente anellato|spazi localmente anellati]].

:<math>\operatorname{MorHom}_{\rm Schemi}(X, \operatorname{Spec}(A)) \simeq \operatorname{MorHom}_{\rm Anelli}(A, O_X(X))</math>

Poiché '''[[numero intero|'''Z]]''']] è un [[oggetto iniziale]] nella categoria degli anelli, la categoria degli schemi ha Spec('''Z''') come [[oggetto finale]].

I morfismi da uno schema in uno schema affine sono completamente spiegabili grazie alla seguente [[funtore aggiunti|coppia di funtori aggiunti]]: Per ogni schema ''X'' ed ogni anello commutativo ''A'' abbiamo la seguente equivalenza naturale:

:<math>\operatorname{Mor}_{\rm Schemi}(X, \operatorname{Spec}(A)) \simeq \operatorname{Mor}_{\rm Anelli}(A, O_X(X))</math>

La categoria degli schemi ha [[prodotto (teoria delle categorie)|prodotti]] finiti, ma bisogna essere attenti: lo spazio topologico sottostante il prodotto di schemi (''X'',''O''_''X'') e (''Y'',''O''_''Y'') non è in generale il [[prodotto topologico]] degli spazi sottostanti. Prendiamo Spec('''Z'''[''X'',''Y'']) per esempio. '''Z'''[''X'',''Y''] è il [[coprodotto]] nella categoria degli anelli commutativi di '''Z'''[''X''] e '''Z'''[''Y''], dunque Spec('''Z'''[''X'',''Y'']) è il prodotto di Spec('''Z'''[''X'']) e Spec('''Z'''[''Y'']) nella categoria degli [[schema affine|schemi affini]] (e l'inclusione nella categoria degli schemi rispetta il prodotto). Ma tutti gli insiemi chiusi propri di Spec('''Z'''[''X'']) sono finiti, mentre Spec('''Z'''[''X'',''Y'']) ha molti insiemi chiusi V generati da un [[polinomio irriducibile]] P(''X'', ''Y'') di grado superiore a uno: questi non derivano in alcun modo dai due fattori (l'insieme degli ideali primi non è nemmeno il [[prodotto cartesiano]]).

Poiché [[numero intero|'''Z''']] è un [[oggetto iniziale]] nella categoria degli anelli, la categoria degli schemi ha Spec('''Z''') come [[oggetto finale]].

La categoria degli schemi ha [[prodotto (teoria delle categorie)|prodotti]] finiti, ma bisogna essere attenti: lo spazio topologico sottostante il prodotto di schemi (''X'',''O''_''X'') e (''Y'',''O''_''Y'') non è in generale il [[prodotto topologico]] degli spazi sottostanti. Prendiamo Spec('''Z'''[''X'',''Y'']) per esempio. '''Z'''[''X'',''Y''] è il [[coprodotto]] nella categoria degli anelli commutativi di '''Z'''[''X''] e '''Z'''[''Y''], dunque Spec('''Z'''[''X'',''Y'']) è il prodotto di Spec('''Z'''[''X'']) e Spec('''Z'''[''Y'']) nella categoria degli [[schema affine|schemi affini]] (e l'inclusione nella categoria degli schemi rispetta il prodotto). Ma tutti gli insiemi chiusi propri di Spec('''Z'''[''X'']) sono finiti, mentre Spec('''Z'''[''X'',''Y'']) ha molti insiemi chiusi V generati da un polinomio irriducibile P(''X'', ''Y'') di grado superiore a uno: questi non derivano in alcun modo dai due fattori (l'insieme degli ideali primi non è nemmeno il prodotto cartesiano).

== Tipi di schemi ==

{{S sezione|matematica}}

* Uno schema è '''localmente noetheriano''' se è ricoperto da spettri di [[Anello noetheriano|anelli noetheriani]]; equivalentemente, se tutti i suoi aperti affini lo sono.

* schemi noetheriani: unoUno schema si dice '''noetheriano''' se puòè esserelocalmente ricopertonoetheriano dae un[[Spazio numerocompatto|quasi finitocompatto]], dio apertiequivalentemente affinise Spec(''A''_''i'')esiste taliun chericoprimento glifinito ''A''_''i''fatto sonoda deglispettri [[anellodi noetheriano|anelli noetheriani]].

La maggior parte degli schemi che si incontrano nella pratica sono almeno localmente noetheriani.

* schemi separati:

* Uno schema è '''irriducibile''' se è irriducibile come [[spazio topologico]], cioè se è possibile scrivere lo schema come unione di due chiusi, allora almeno uno dei due è lo schema stesso. Equivalentemente, se gli aperti affini sono spettri di anelli con un unico primo minimale (per esempio, se sono [[Dominio d'integrità|domini d'integrità]]).

:''da completare''

* Uno schema è '''ridotto''' se è ricoperto da spettri di [[Anello ridotto|anelli ridotti]]; equivalentemente, se tutti i suoi aperti affini lo sono. Essere ridotto equivale a non avere componenti multiple.

* Uno schema è '''integrale''' se è irriducibile e ridotto o equivalentemente se è connesso e ricoperto da aperti affini che siano [[Dominio d'integrità|domini d'integrità]].

* Uno schema è '''normale''' se è ricoperto da spettri di [[Chiusura integrale|anelli integralmente chiusi]].

== ''O''_''X'' moduli ==

Come lo studio degli ''A''-[[modulo (matematica)|moduli]] è importante per lo studio dell'anello ''A'', così lo studio degli ''O_X''-moduli è importante per nello studio di uno schema ''X'' con fascio strutturale ''O_X'' (Cf.vedere [[spazio localmente anellato]] per la definizione di ''O_X''-modulo). La categoria degli ''O_X''-moduli è [[categoria abeliana|abeliana]]. Svolgono un ruolo di particolare importanza i [[fascio coerente|fasci coerenti]] che nascono da moduli finitamente generati sugli aperti affini dello schema. I [[fascio coerente|fasci coerenti]] sono anch'essi una [[categoria abeliana]].

== Bibliografia ==

* {{cita libro| nome = Joe | cognome = Harris | titolo = The Geometry of Schemes | anno = 1998 | editore = Springer-Verlag | isbn = 0-387-98637-5 | lingua = en }}

* {{cita libro| nome = David | cognome = Mumford | titolo = The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians | url = https://archive.org/details/redbookofvarieti0002mumf | anno = 1999 | editore = Springer-Verlag | edizione = 2nd ed. | isbn = 3-540-63293-X | lingua = en }}

== Altri progetti ==

{{interprogetto|wikt=schema|preposizione=sullo}}

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Geometria algebrica]]

Come lo studio degli ''A''-[[modulo (matematica)|moduli]] è importante per lo studio dell'anello ''A'', così lo studio degli ''O_X''-moduli è importante per nello studio di uno schema ''X'' con fascio strutturale ''O_X'' (Cf. [[spazio localmente anellato]] per la definizione di ''O_X''-modulo). La categoria degli ''O_X''-moduli è [[categoria abeliana|abeliana]]. Svolgono un ruolo di particolare importanza i [[fascio coerente|fasci coerenti]] che nascono da moduli finitamente generati sugli aperti affini dello schema. I [[fascio coerente|fasci coerenti]] sono anch'essi una [[categoria abeliana]].