Schema (matematica): differenze tra le versioni

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In [[matematica]] uno '''schema''' è un concetto importante che connette i campi della [[geometria algebrica]], dell'[[algebra commutativa]] e della [[teoria dei numeri]]. Gli schemi sono stati introdotti da [[Alexander Grothendieck]] per generalizzare il concetto di [[varietà algebrica]] e taluni li considerano l'oggetto di base per lo studio della geometria algebrica moderna. Tecnicamente uno schema è uno [[spazio topologico]] insieme a degli [[anello commutativo|anelli commutativi]] per ognuno dei suoi aperti, che scaturisce dall'"incollamento" di [[spettro di un anello|spettri]] (spazi di [[ideale primo|ideali primi]]) di anelli commutativi.

{{nota disambigua|altri significati|[[schema]]}}

In [[matematica]] uno '''schema''' è un concetto importante che connette i campi della [[geometria algebrica]], [[algebra commutativa]] e [[teoria dei numeri]]. Gli schemi sono stati introdotti da [[Alexander Grothendieck]] per generalizzare il concetto di [[varietà algebrica]] e taluni li considerano l'oggetto di base per lo studio della geometria algebrica moderna. Tecnicamente uno schema è uno [[spazio topologico]] insieme a degli [[anello commutativo|anelli commutativi]] per ognuno dei suoi aperti, che scaturisce dall'"incollamento" di [[spettro di un anello|spettri]] (spazi di [[ideale primo|ideali primi]]) di anelli commutativi.

== Storia e motivazioni ==

I geometri algebricimatematici della scuola[[Scuola italiana di geometria algebrica]] hanno spesso usato un concetto abbastanza impreciso di "punto generico" dando degli enunciati sulle [[varietà algebrica|varietà algebriche]]. Ciò che è vero per un punto generico è vero per ogni punto della varietà, tranne un piccolo numero di punti speciali. Negli [[Anni 1920|anni venti]] [[Emmy Noether]] ha suggerito per la prima volta un modo per chiarificare il concetto: cominciamo con l'anello delle coordinate della varietà (l'anello di tutte le funzioni polinomiali definite sulla varietà); gli [[ideale massimale|ideali massimali]] di questo anello corrispondono ai punti ordinari della varietà (sotto opportune ipotesi) e gli [[ideale primo|ideali primi]] non massimali corrispondono ai vari punti generici. Prendendo tutti gli ideali primi si ottiene una collezione di punti ordinari e generici. Noether non continuò il suo approccio.

Negli [[Anni 1930|anni trenta]] [[Wolfgang Krull]] cambiò la situazione e prese un passo decisivo: si prenda ''qualsiasi'' anello commutativo, si consideri l'insieme dei suoi ideali primi e lo si trasformi in uno [[spazio topologico]] introducendo la [[topologia di Zariski]] e si studi la geometria algebrica con questi oggetti piuttosto generici. Altri non capirono il senso del ragionamento di Krull ed egli lo abbandonò.

I geometri algebrici della scuola italiana hanno spesso usato un concetto abbastanza impreciso di "punto generico" dando degli enunciati sulle [[varietà algebrica|varietà algebriche]]. Ciò che è vero per un punto generico è vero per ogni punto della varietà, tranne un piccolo numero di punti speciali. Negli [[Anni 1920|anni venti]] [[Emmy Noether]] ha suggerito per la prima volta un modo per chiarificare il concetto: cominciamo con l'anello delle coordinate della varietà (l'anello di tutte le funzioni polinomiali definite sulla varietà); gli [[ideale massimale|ideali massimali]] di questo anello corrispondono ai punti ordinari della varietà (sotto opportune ipotesi) e gli [[ideale primo|ideali primi]] non massimali corrispondono ai vari punti generici. Prendendo tutti gli ideali primi si ottiene una collezione di punti ordinari e generici. Noether non continuò il suo approccio.

[[André Weil]] era specialmente interessato alla geometria algebrica sui [[campo finito|campi finiti]] ed altri anelli. Negli [[Anni 1940|anni quaranta]] egli ritornò all'approccio con gli ideali primi; infatti egli aveva bisogno di una ''varietà astratta'' (al di fuori di uno [[spazio proiettivo]]) per motivi di fondazione, soprattutto per la formulazione in maniera algebrica della [[varietà jacobiana]]. Nel libro fondamentale di Weil i punti generici sono presi prendendo elementi di un [[campo algebricamente chiuso]], chiamato ''dominio fondamentale''.

Negli [[Anni 1930|anni trenta]] [[Wolfgang Krull]] cambiò la situazione e prese un passo decisivo: si prenda ''qualsiasi'' anello commutativo, si consideri l'insieme dei suoi ideali primi e lo si trasformi in uno [[spazio topologico]] introducendo la [[topologia di Zariski]] e si studi la geometria algebrica con questi oggetti piuttosto generici. Altri non capirono il senso del ragionamento di Krull ed egli lo abbandonò.

[[André Weil]] era specialmente interessato alla geometria algebrica sui [[campo finito|campi finiti]] ed altri anelli. Negli [[Anni 1940|anni quaranta]] egli ritornò all'approccio con gli ideali primi; infatti egli aveva bisogno di una ''varietà astratta'' (al di fuori di uno [[spazio proiettivo]]) per motivi di fondazione, soprattutto per la formulazione in maniera algebrica della [[varietà jacobiana]]. Nel libro fondamentale di Weil i punti generici sono presi prendendo elementi di un [[campo algebricamente chiuso]], chiamato ''dominio fondamentale''.

All'incirca nel 1942 [[Oscar Zariski]] ha definito uno ''spazio di Zariski'' astratto dal campo di funzioni di una [[varietà algebrica]], per i bisogni della [[geometria birazionale]]: è come il [[limite diretto]] di varietà ordinarie (con lo [[scoppiamento]]) e la costruzione, che ricalcava la [[teoria locale]], usava [[anello di valutazione discreta|anelli di valutazione discreta]] come punti.

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Negli [[Anni 1950|anni cinquanta]] [[Jean-Pierre Serre]], [[Claude Chevalley]] e [[Masayoshi Nagata]], motivati dalla [[congettura di Weil]] che lega la [[teoria dei numeri]] e la [[geometria algebrica]], seguirono un approccio simile usando ideali primi come punti. Secondo [[Pierre Cartier]] la parola ''schema'' fu usata la prima volta nel Seminario Chevalley del [[1956]], nel quale Chevalley seguiva le idee di Zariski e fu Martineau che propose a Serre di spostarsi sullo [[spettro di un anello]].

Poi [[Alexander Grothendieck]] diede la definizione decisiva. Egli definisce lo [[spettro di un anello|spettro]] di un anello commutativo come insieme degli ideali primi con la topologia di Zariski, ma lo arricchisce di un [[fascio (teoria delle categorie)|fascio]] di anelli: ad ogni apertiaperto di Zariski associa un anello di funzioni, pensate come funzioni polinomiali sull'aperto. Questi oggetti sono gli ''schemi affini''; uno schema in generale si ottiene incollando degli schemi affini, analogamente al fatto che le varietà proiettive si ottengono incollando [[Varietà affine|varietà affini]].

Cfr. anche l'articolo [[spettro di un anello]] per una motivazione del fatto che "i punti sono gli ideali primi".

La generalità del concetto di schema fu inizialmente criticata: certi schemi sono ben lontani dall'avere un'interpretazione geometrica. Grothendieck e [[Jean Dieudonné]] studiarono la [[Teoria delle categorie|categoria]] di tutti gli schemi e [[Pierre Deligne]] studente di Grothendieck scrisse più tardi che gli schemi bizzarri rendono la categoria più bella.

L'evoluzione del concetto di schema non fu la fine della strada; ma le successive definizionedefinizioni di [[spazio algebrico]] e stack algebrico da parte di [[Michael Artin]] per l'utilizzo nei problemi sugli spazi dei moduli sono di ristretta applicazione tecnica.

== Definizioni ==

Uno '''schema''' ''X'' è uno [[spazio localmente anellato]] con un ricoprimento di aperti ''U''_''i'' tali che la restrizione del fascio ''O''_''X'' ad ogni aperto ''U''_''i'' è isomorfo a [[spettro di un anello|Spec]] ''A''_''i'' in quanto spazi localmente anellati, ove ''A''_''i'' è un anello commutativo.

(NB: Vi è stato un cambiamento di assiomi; nei primi anni questo si chiamava ''preschema'' e lo schema richiedeva un assioma di separazione)

Schemi isomorfi a Spec(''A'') con ''A'' anello commutativo, si chiamano '''schemi affini'''. Si può pensare allo schema come coperto da "mappe coordinate" di schemi affini, cioè come un "oggetto geometrico" che è "localmente" (per la topogia di Zariski) uno schema affine.

== La categoriaCategoria degli schemi ==

Gli schemi formano una [[categoria]] se si prende come morfismi i morfismi di [[spazio localmente anellato|spazi localmente anellati]].

I morfismi da uno schema in uno schema affine sono completamente spiegabili grazie alla seguente [[funtore aggiuntiaggiunto|coppia di funtori aggiunti]]: Per ogni schema ''X'' ed ogni anello commutativo ''A'' abbiamo la seguente equivalenza naturale:

Gli schemi formano una [[categoria]] se si prende come morfismi i morfismi di [[spazio localmente anellato|spazi localmente anellati]].

I morfismi da uno schema in uno schema affine sono completamente spiegabili grazie alla seguente [[funtore aggiunti|coppia di funtori aggiunti]]: Per ogni schema ''X'' ed ogni anello commutativo ''A'' abbiamo la seguente equivalenza naturale:

:<math>\operatorname{Hom}_{\rm Schemi}(X, \operatorname{Spec}(A)) \simeq \operatorname{Hom}_{\rm Anelli}(A, O_X(X))</math>

Poiché '''[[numero intero|'''Z]]''']] è un [[oggetto iniziale]] nella categoria degli anelli, la categoria degli schemi ha Spec('''Z''') come [[oggetto finale]].

La categoria degli schemi ha [[prodotto (teoria delle categorie)|prodotti]] finiti, ma bisogna essere attenti: lo spazio topologico sottostante il prodotto di schemi (''X'',''O''_''X'') e (''Y'',''O''_''Y'') non è in generale il [[prodotto topologico]] degli spazi sottostanti. Prendiamo Spec('''Z'''[''X'',''Y'']) per esempio. '''Z'''[''X'',''Y''] è il [[coprodotto]] nella categoria degli anelli commutativi di '''Z'''[''X''] e '''Z'''[''Y''], dunque Spec('''Z'''[''X'',''Y'']) è il prodotto di Spec('''Z'''[''X'']) e Spec('''Z'''[''Y'']) nella categoria degli [[schema affine|schemi affini]] (e l'inclusione nella categoria degli schemi rispetta il prodotto). Ma tutti gli insiemi chiusi propri di Spec('''Z'''[''X'']) sono finiti, mentre Spec('''Z'''[''X'',''Y'']) ha molti insiemi chiusi V generati da un [[polinomio irriducibile]] P(''X'', ''Y'') di grado superiore a uno: questi non derivano in alcun modo dai due fattori (l'insieme degli ideali primi non è nemmeno il [[prodotto cartesiano]]).

== Tipi di schemi ==

{{S sezione|matematica}}

* Uno schema è '''localmente noetheriano''' se è ricoperto da spettri di [[Anello noetheriano|anelli noetheriani]]; equivalentemente, se tutti i suoi aperti affini lo sono.

* Uno schema si dice '''noetheriano''' se è localmente noetheriano e [[CompattoSpazio compatto|quasi- compatto]], o equivalentemente se esiste un ricoprimento finito fatto da spettri di anelli noetheriani.

La maggior parte degli schemi che si incontrano nella pratica sono almeno localmente noetheriani.

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== ''O''_''X'' moduli ==

Come lo studio degli ''A''-[[modulo (matematica)|moduli]] è importante per lo studio dell'anello ''A'', così lo studio degli ''O_X''-moduli è importante per nello studio di uno schema ''X'' con fascio strutturale ''O_X'' (Cf.vedere [[spazio localmente anellato]] per la definizione di ''O_X''-modulo). La categoria degli ''O_X''-moduli è [[categoria abeliana|abeliana]]. Svolgono un ruolo di particolare importanza i [[fascio coerente|fasci coerenti]] che nascono da moduli finitamente generati sugli aperti affini dello schema. I [[fascio coerente|fasci coerenti]] sono anch'essi una [[categoria abeliana]].

== Bibliografia ==

Come lo studio degli ''A''-[[modulo (matematica)|moduli]] è importante per lo studio dell'anello ''A'', così lo studio degli ''O_X''-moduli è importante per nello studio di uno schema ''X'' con fascio strutturale ''O_X'' (Cf. [[spazio localmente anellato]] per la definizione di ''O_X''-modulo). La categoria degli ''O_X''-moduli è [[categoria abeliana|abeliana]]. Svolgono un ruolo di particolare importanza i [[fascio coerente|fasci coerenti]] che nascono da moduli finitamente generati sugli aperti affini dello schema. I [[fascio coerente|fasci coerenti]] sono anch'essi una [[categoria abeliana]].

* {{cita libro| nome = Joe | cognome = Harris | titolo = The Geometry of Schemes | anno = 1998 | editore = Springer-Verlag | isbn = 0-387-98637-5 | lingua = en }}

* {{cita libro| nome = David | cognome = Mumford | titolo = The Red Book of Varieties and Schemes: Includes the Michigan Lectures (1974) on Curves and Their Jacobians | url = https://archive.org/details/redbookofvarieti0002mumf | anno = 1999 | editore = Springer-Verlag | edizione = 2nd ed. | isbn = 3-540-63293-X | lingua = en }}

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[[Categoria:Geometria algebrica]]

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