Compressione dell'impulso: differenze tra le versioni

Versione delle 19:45, 27 ott 2010

Versione attuale delle 05:19, 10 lug 2024

(35 versioni intermedie di 19 utenti non mostrate)

Riga 1:

La '''compressione dell'impulso''' è una tecnica di [[Teoria dei segnali|elaborazione dei segnali]] usata principalmente nei sistemi [[radar]], [[sonar]] e in [[ecografia]] per aumentare il range di risoluzione spaziale così come il [[rapporto segnale-/rumore]]. Ciò è ottenuto [[modulazione|modulando]] l'impulso trasmesso e [[cross-correlazione|correlando]] il segnale ricevuto con l'impulso trasmesso.<ref>J. R. Klauder, A. C, Price, S. Darlington and W. J. Albersheim, ‘The"The Theory and Design of Chirp Radars",” Bell System Technical Journal 39, 745 (1960).</ref>

{{W|telecomunicazioni|settembre 2010}}

{{T|inglese|telecomunicazioni|settembre 2010}}

La '''compressione dell'impulso''' è una tecnica di [[Teoria dei segnali|elaborazione dei segnali]] usata principalmente nei [[radar]], [[sonar]] e in [[ecografia]] per aumentare il range di risoluzione così come il [[rapporto segnale-rumore]]. Ciò è ottenuto [[modulazione|modulando]] l'impulso trasmesso e [[cross-correlazione|correlando]] il segnale ricevuto con l'impulso trasmesso.<ref>J. R. Klauder, A. C, Price, S. Darlington and W. J. Albersheim, ‘The Theory and Design of Chirp Radars,” Bell System Technical Journal 39, 745 (1960).</ref>

== Impulso semplice ==

=== Descrizione del segnale ===

Il più semplice segnale che un radar ad impulsi può trasmettere è un impulso sinuisoidale[[sinusoide]] di [[ampiezza]] <math>\scriptstyle A</math> e [[frequenza]] portante, <math>\scriptstyle f_0</math>, troncato da una funzione rettangolare di ampiezzaperiodo <math>\scriptstyle T</math> ed è trasmesso periodicamente con un certo periodo PRT (Pulse Repetition Time). Dobbiamo considerare solo un singolo impulso, <math>\scriptstyle s</math>. Se assumiamo che l'impulso inizi al tempo <math>\scriptstyle t\,=\,0</math>, il segnale può essere scritto nel seguente modo usando la notazione [[numeri complessi|complessa]]:

:<div align="center"><math>s(t) = \left\{ \begin{array}{ll} A e^{2 i \pi f_0 t} &\mbox{ifse} \; 0 \leq t < T \\ 0 &\mbox{altrimenti} \end{array}\right.</math></div>

=== Range di risoluzione ===

Determiniamo la gamma di risoluzione che può essere ottenuta con un simile segnale. Il segnale di ritorno, scritto <math>\scriptstyle r(t)</math>, è una copia attenuata e shiftata nel tempo del segnale originale (in realtà l'[[effetto dopplerDoppler]] può giocare un ruolo rilevante se il ''target'' è in moto radiale rispetto al radar). C'è anche il [[rumore (elettronica)|rumore]] nel segnale entrante, sia nel [[canale (telecomunicazioni)|canale]] reale che in quello immaginario, e che assumeremo essere [[rumore bianco|bianco]] e [[distribuzione gaussiana|gaussiano]] (questa assunzione generalmente regge nella realtà); scriviamo <math>\scriptstyle B(t)</math> per denotare questo rumore. Per rilevare il segnale entrante che è misto al rumore viene solitamente usato un [[filtro adattato|filtraggio adattato]] è comunemente usato. Questo metodo è ottimo quando un segnale noto deve essere rilevato immerso nel rumore additivo gaussiano.

In altre parole si calcola la [[cross-correlazione]] tra il segnale ricevuto corrotto da rumore con il segnale originariamente trasmesso. Questa correlazione si ottiene attraverso una [[convoluzione]] del segnale entrante r(t) con il complesso coniugato e ribaltato nel tempo del segnale trasmesso s(t). Questa operazione può essere fatta sia via [[software]] sia via [[hardware]]. Scriviamo <math>\scriptstyle <s,\,r>(t)</math> per questa correlazione. Abbiamo:

:<div align="center"><math><s,r>(t) = \int_{t'\,=\,0}^{+\infty} s^\star(t')r(t+t') dt'</math></div>

se il segnale riflesso torna indietro al ricevitore al tempo <math>\scriptstyle t_r</math> ed è attenuato di un fattore <math>\scriptstyle K</math>, questo porta a scrivere:

:<div align="center"><math>r(t)= \left\{ \begin{array}{ll} K A e^{2 i \pi f_0 (t\,-\,t_r)} +B(t) &\mbox{ifse} \; t_r \leq t < t_r+T \\ B(t) &\mbox{altrimenti}\end{array}\right.</math></div>

Dal momento che conosciamo il segnale trasmesso otteniamo:

:<div align="center"><math><s,r>(t) = KA^2\Lambda\left (\frac{t-t_r}{T} \right)e^{2 i \pi f_0 (t\,-\,t_r)} + B'(t)</math></div>

dove <math>\scriptstyle B'(t)</math>, il risultato dell'intercorrelazione tra il rumore e il segnale trasmesso, rimane un rumore bianco di caratteristiche uguali a <math>\scriptstyle B(t)</math> dal momento che non è correlato al segnale trasmesso. La funzione <math>\Lambda</math> è una funzione triangolo, il suo valore è 0 in <math>\scriptstyle [-\infty,\, -\frac{1}{2}] \,\cup\, [\frac{1}{2}, \,+\infty]</math>, esso aumenta linearmente in <math>\scriptstyle [-\frac{1}{2},\, 0]</math> dove raggiunge il suo massimo 1, e decresce linearmente in <math>\scriptstyle [0,\,\frac{1}{2}]</math> finché torna a 0 nuovamente. Le figure alla fine del paragrafo mostrano la forma dell'intercorrelazione per un segnale campionato (in rosso), in questo caso un seno reale troncato, di durata <math>\scriptstyle T\,=\,1</math> secondi, di ampiezza unitaria e frequenza <math>\scriptstyle f_0\,=\,10</math> hertz. Due echi (in blu) tornano indietro con un ritardo di 3 e 5 secondi rispettivamente e hanno un'ampiezza uguale a 0.5 e 0.3; questi sono già valori casuali per il ben dell'esempio. Dal momento che il segnale è reale, l'intercorrelazione è pesata da un fattore addizionale pari a <math>\scriptstyle \frac{1}{2}</math>.

Se due impulsi tornano indietro vicini nel tempo, l'intercorrelazione è uguale alla somma dell'intercorrelazione dei due segnali elementari. Per distngueredistinguere un inviluppo triangolare da quello dell'altro impulso, è chiaramente visibilechiaro che il tempo di arrivo dei due impulsi deve essere separato almeno di <math>\scriptstyle T</math> così che i massimi di entrambi gli impulsi possonopossano essere separati. Se questa condizione non è rispettata, entrambi i triangoli saranno sovrapposti insieme e sarà impossibile separarli.

Dal momento che la distanza coperta da un'onda durante <math>\scriptstyle T</math> è <math>\scriptstyle cT</math> (dove ''c'' è la velocità dell'onda nel mezzo), e dal momento che la distanza corrisponde al tempo di andata e ritorno (''round trip time''), otteniamo:

{{Approfondimento

{{Nota

|allineamento = centro

|larghezza = 500px

Riga 36 ⟶ 34:

|contenuto = La gamma di risoluzione con un impulso sinuisoidale è <math>\scriptstyle \frac{1}{2}cT</math>, dove <math>\scriptstyle T</math> è la durata dell'impulso e <math>\scriptstyle c</math>, la velocità dell'onda. Conclusioni: per aumentare la risoluzione la lunghezza dell'impulso deve essere ridotta.}}

<center>

{| border="0"

|+ '''Esempio (singolo impulso): segnale trasmesso in rosso (portante 10 hertz, ampiezza 1, durata 1 secondo) e due echi (in blu).'''

Riga 42 ⟶ 39:

! Dopo il filtraggio matched

|-----

|[[Image:Two targets before.jpg|thumb|300pxupright=1.4|Se i bersagli sono separati abbastanza...]]

| [[Image:Two targets resoluted.jpg|thumb|300pxupright=1.4|...gli echi possono essere distinti]]

|-----

| [[Image:Two targets below resolution before.jpg|thumb|300pxupright=1.4|Se i bersagli sono troppo vicini...]]

| [[Image:Two targets below resolution.jpg|thumb|300pxupright=1.4|...gli echi sono mischiati insieme.]]

|}

</center>

=== Energia richiesta per trasmettere il segnale ===

La potenza istantanea dell'impulso trasmesso è <math>\scriptstyle P(t)\,=\,|s|^2(t)</math>. L'energia contenuta nel segnale è:

:<div align="center"><math>E = \int_0^T P(t)dt = A^2 T</math></div>

Allo stesso modo, l'energia nell'impulso ricevuto è <math>\scriptstyle E_r \,=\, K^2 A^2 T</math>. Se <math>\scriptstyle\sigma</math> è la deviazione standard del rumore, il rappororapporto segnale rumore (SNR) al ricevitore è:

:<div align="center"><math>SNR = \frac{E_r}{\sigma} = \frac{K^2 A^2 T}{\sigma}</math></div>

L'SNR aumenta con la durata dell'impulso se gli altri parametri sono fissati. Questo è in contrasto con le esigenze di risoluzione viste sopra dal momento che generalmente si vuole un'alta risoluzione.

== Compressione dell'impulso attraverso modulazione di frequenza lineare (''[[chirp]]'') ==

=== Principi di base ===

Come si può ottenere allora un impulso abbastanza largo (per avere ancora un buon SNR al ricevitore) senza avere una bassa risoluzione? Questo è il punto in cui la compressione dell'impulso entra in azione come evidenziato in figura. Il principio base è il seguente:

Riga 67 ⟶ 63:

* questo segnale è progettato in modo tale che dopo il filtraggio adattato, l'ampiezza dei segnali intercorrelati è più piccola dell'ampiezza ottenuta da un impulso sinuisoidale come spiegato sopra (da cui il nome della tecnica: compressione dell'impulso).

Nelle applicazioni [[radar]] e [[sonar]], segnali di [[chirp]] lineari sono i più tipici segnali usati per ottenere una compressione dell'impulso. L'impulso, essendo di lunghezza finita, ha l'ampiezza tipicetipica di una funzione rettangolare. Se il segnale trasmesso ha una durata <math>\scriptstyle T</math>, inizia a <math>\scriptstyle t \,=\, 0</math> e spazza linearmente la banda di frequenze <math>\scriptstyle \Delta f</math> centrate sulla portante <math>\scriptstyle f_0</math>, questo può essere scritto:

:<div align="center"><math>s_c(t) = \left\{ \begin{array}{ll} A e^{2 i \pi \left (f_0 \,+\, \frac{\Delta f}{2T}t \,-\, \frac{\Delta f}{2}\right) t} &\mbox{ifse} \; 0 \leq t < T \\ 0 &\mbox{altrimenti}\end{array}\right.</math></div>

N.B. il chirp è scritto in modo tale per cui la fase del segnale di chirp (cioè l'argomento dell'esponenziale complesso), è:

:<div align="center"><math>\phi(t) = 2\pi \left (f_0+\frac{\Delta f}{2T}t-\frac{\Delta f}{2}\right) t</math></div>

così la frequenza istantanea è (per definizione):

:<math>f(t) = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{d\phi}{dt}\right ]_t = f_0-\frac{\Delta f}{2}+\frac{\Delta f}{T}t</math>

la rampa lineare che va da<div align="center"><math>\scriptstylef(t) f_0= \,-frac{1}{2\, pi}\left[\frac{d\Delta fphi}{2dt}</math> at <math>\scriptstyleright t]_t \,=\, 0</math> to <math>\scriptstyle f_0 -\,+frac{\,Delta f}{2}+\frac{\Delta f}{22T}t</math> at <math>\scriptstyle t \,=\, T</mathdiv>.

la rampa lineare che va da <math>\scriptstyle f_0 \,-\, \frac{\Delta f}{2}</math> per <math>\scriptstyle t \,=\, 0</math> a <math>\scriptstyle f_0 \,+\, \frac{\Delta f}{2}</math> per <math>\scriptstyle t \,=\, 2T</math>.

=== Intercorrelazione tra segnale trasmesso e segnale ricevuto ===

Come per l'impulso semplice calcoliamo ora l'intercorrelazione tra il segnale trasmesso ed il segnale ricevuto. Per semplificare le cose, considereremo che il chirp non è scritto come sopra, ma in una forma alternativa ed equivalente per il risultato finale:

:<div align="center"><math>s_{c'}(t) = \left\{ \begin{array}{ll} A e^{2 i \pi \left (f_0 \,+\, \frac{\Delta f}{2T}t\right) t} &\mbox{ifse}\; -\frac{T}{2} \leq t < \frac{T}{2} \\ 0 &\mbox{elsealtrimenti}\end{array}\right.</math></div>

Dal momento che l'intercorrelazione è uguale (salvo per il fattore di attenuazione <math>K</math>) alla funzione di autocorrelazione <math>\scriptstyle s_{c'}</math>, questo è ciò che consideriamo:

:<div align="center"><math><s_{c'},s_{c'}>(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}s_{c'}^\star(-t')s_{c'}(t-t')dt'</math></div>

Può essere mostrato <ref>Achim Hein, ''Processing of SAR Data: Fundamentals, Signal Processing, Interferometry'', Springer, 2004, ISBN 3-540-05043-4, pages 38 to 44. Dimostrazione molto rigorosa della funzione di autocorrelazione di un chirp. L'autore lavora nel suo libro con chirp reali, quindi con il fattore <math>\scriptstyle \frac{1}{frac|1|2}} nel suo libro</math>, che non è usato qui.</ref> che la funzione di autocorrelazione <math>s_{c'}</math> è:

:<div align="center"><math><s_{c'}, s_{c'}>(t) = T \Lambda \left(\frac{t}{T} \right) sinc \left[ \pi \Delta f t \Lambda \left( \frac{t}{T}\right) \right] e^{2 i \pi f_0 t} </math></div>

La funzione di autocorrelazione massima <math>\scriptstyle s_{c'}</math> è raggiunta a 0. Attorno a 0, questa funzione si comporta come un termine [[sinc]]. L'ampiezza temporale di −3 &nbsp;dB del seno cardinale è più o meno uguale a <math>\scriptstyle T' \,=\, \frac{1}{\Delta f}</math>. Tutto accade come se, dopo il filtraggio adattato, abbiamo ottenuto la risoluzione che abbiamo raggiunto con l'impulso semplice di durata <math>\scriptstyle T'</math>. Per i valori comuni di <math>\scriptstyle \Delta f</math>, <math>\scriptstyle T'</math> è più piccolo di <math>\scriptstyle T</math>, da cui il nome ''compressione dell'impulso''.

Dal momento che il seno cardinale può avere fastidiosi lobi laterali, una pratica comune è filtrare il risultato attraverso una finestra (Hamming, Hann, etc.). In pratica, questo può essere fatto allo stesso tempo del filtraggio adattato moltiplicando il chirp di riferimento con il filtro. Il risultato sarà un segnale con una ampiezza massima stettamentestrettamente più bassa, ma i lobi laterali saranno filtrati via, che è la cosa più importante.

{{Approfondimento

{{Nota

|allineamento = centro

|larghezza = 500px

Riga 99 ⟶ 100:

|contenuto = La risoluzione in distanza raggiungibile con una modulazione in frequenza lineare di un impulso su un'ampiezza di banda <math>\scriptstyle \Delta f</math> è: <math>\scriptstyle \frac{c}{2\Delta f}</math> dove <math>\scriptstyle c</math> è la velocità dell'onda.}}

{{Approfondimento

{{Nota

|allineamento = centro

|larghezza = 750px

|titolo = Definizione

|contenuto = Il rapporto <math>\scriptstyle \frac{T}{T^\prime} \,=\, T\Delta f</math> è il rapporto di compressione. Esso è generalmente più grande di 1 (generalmenteusualmente il suo valore è da 20 a 30).}}

<center>

{| border="0"

|+ '''Esempio (impulso ''chirpato''): segnale trasmesso in rosso (portante 10 hertz, modulazione su 16 hertz, ampiezza 1, durata 1 second) e due echi (in blu).'''

|-----

|[[Image:chirp before.jpg|thumb|300pxupright=1.4|Prima del filtraggio adattato]]

| [[Image:chirp compr.jpg|thumb|300pxupright=1.4|Dopo il filtraggio adattato: gli echi sono più corti nel tempo]]

|}

</center>

=== Aumento del SNR attraverso la compressione dell'impulso ===

L'energia del segnale non varia durante la compressione dell'impulso. Ad ogni modo, è ora localizzato nel lobo principale del seno cardinale, la cui ampiezzalarghezza temporale è approssimativamente <math>\scriptstyle T' \,\approx\, \frac{1}{\Delta f}</math>. Se <math>\scriptstyle P</math> è la potenza del segnale prima della compressione, e <math>\scriptstyle P'</math> la potenza del segnale dopo la compressioner, abbiamo:

:<div align="center"><math>P\times T = P' \times T' </math></div>

che conduce a:

:<div align="center"><math>P'= P\times \frac{T}{T'} </math></div>

Inoltre la potenza del rumore non cambia attraverso l'intercorrelazione dal momento che non è correlato all'impulso trasmesso (è totalmente casuale). Come conseguenza:

{{Approfondimento

{{Nota

|allineamento = centro

|larghezza = 500px

Riga 131 ⟶ 130:

|contenuto = Dopo la compressione dell'impulso, la potenza del segnale ricevuto può essere considerata come amplificata di <math>\scriptstyle T \Delta f</math>. Questo guadagno addizionale può essere inserito nell'equazione del [[radar]].}}

<center>

{| border="0"

|+ '''Esempio: stesso segnale come sopra, più un rumore bianco gaussiano(<math>\scriptstyle \sigma \,=\, 0.5</math>)'''

|-----

|[[Image:chirp noise.jpg|thumb|300pxupright=1.4|Prima del filtraggio adattato: il segnale è coperto dal rumore]]

| [[Image:chirp compr noise.jpg|thumb|300pxupright=1.4|Dopo il filtraggio adattato: gli echi diventano visibili.]]

|}

</center>

== Compressione dell'impulso attraverso codifica di fase ==

Esistono altri mezzi per modulare il segnale. La [[modulazione di fase]] è una tecnica comunemente usata; in questo caso l'impulso è sudivisosuddiviso in slot temporali <math>\scriptstyle N</math> di durata <math>\scriptstyle \frac{T}{N}</math> per i quali la fase all'origine è scelta in accordo ad una convenzione prestabilita. Per esempio è possibile non cambiare la fase di qualche slot temporale (che conduce a lasciare il segnale così com'è, in quegli slot temporali) e sfasare il segnale in altri slot attraverso <math>\scriptstyle \pi</math> (che è equivalente a cambiare il segno del segnale). L'esatto modo di scegliere la sequenza delle fasi <math>\scriptstyle \{0,\, \pi \}</math> è operato in accordo con una tecnica conosciuta come [[codificaBarker BakerCode]]. È possibile codificare la sequenza su più di due fasi (codifica polifase). Come con un chirp lineare, la compressione dell'impulso è ottenuta attraverso un'intercorrelazione.

I vantaggi <ref>J.-P. Hardange, P. Lacomme, J.-C. Marchais, ''Radars aéroportés et spatiaux'', Masson, Paris, 1995, ISBN 2-225-84802-5, page 104. AvailableIn inlingua Englishinglese: ''Air and Spaceborne Radar Systems: an introduction'', Institute of Electrical Engineers, 2001, ISBN 0-85296-981-3</ref> dei codici di Baker sono nella loro semplicità (come indicato sopra, uno sfasamento di <math>\scriptstyle \pi</math> è un semplice cambiamento di segno), ma il rapporto di compressione è più basso rispetto al caso del chirp e la compressione è molto sensibile ai cambiamenti di frequenza dovuti all'[[Effettoeffetto Doppler]] se quel cambiamento è più largo di <math>\scriptstyle \frac{1}{T}</math>.

==Note==

<references/>

{{reflist}}

==Voci correlate==

*[[spettroSpread espansospectrum]]

== Collegamenti esterni ==

[[Categoria:Teoria dei segnali]]

* {{Collegamenti esterni}}

[[Categoria:Teoria dei segnali]]

[[de:Pulskompressionsverfahren]]

[[en:Pulse compression]]

[[fr:Compression d'impulsion]]