Compressione dell'impulso: differenze tra le versioni
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La '''compressione dell'impulso''' è una tecnica di [[Teoria dei segnali|elaborazione dei segnali]] usata principalmente nei sistemi [[radar]], [[sonar]] e in [[ecografia]] per aumentare il range di risoluzione spaziale così come il [[rapporto segnale
== Impulso semplice ==
=== Descrizione del segnale ===
Il più semplice segnale che un radar ad impulsi può trasmettere è un impulso
<div align="center"><math>s(t) = \left\{ \begin{array}{ll} A e^{2 i \pi f_0 t} &\mbox{se} \; 0 \leq t < T \\ 0 &\mbox{altrimenti} \end{array}\right.</math></
=== Range di risoluzione ===
Determiniamo la gamma di risoluzione che può essere ottenuta con un simile segnale. Il segnale di ritorno, scritto <math>\scriptstyle r(t)</math>, è una copia attenuata e shiftata nel tempo del segnale originale (in realtà l'[[effetto
In altre parole si calcola la [[cross-correlazione]] tra il segnale ricevuto corrotto da rumore con il segnale originariamente trasmesso. Questa correlazione si ottiene attraverso una [[convoluzione]] del segnale entrante r(t) con il complesso coniugato e ribaltato nel tempo del segnale trasmesso s(t). Questa operazione può essere fatta sia via [[software]] sia via [[hardware]]. Scriviamo <math>\scriptstyle <s,\,r>(t)</math> per questa correlazione. Abbiamo:
<div align="center"><math><s,r>(t) = \int_{t'\,=\,0}^{+\infty} s^\star(t')r(t+t') dt'</math></
se il segnale riflesso torna indietro al ricevitore al tempo <math>\scriptstyle t_r</math> ed è attenuato di un fattore <math>\scriptstyle K</math>, questo porta a scrivere:
<div align="center"><math>r(t)= \left\{ \begin{array}{ll} K A e^{2 i \pi f_0 (t\,-\,t_r)} +B(t) &\mbox{se} \; t_r \leq t < t_r+T \\ B(t) &\mbox{altrimenti}\end{array}\right.</math></
Dal momento che conosciamo il segnale trasmesso otteniamo:
<div align="center"><math><s,r>(t) = KA^2\Lambda\left (\frac{t-t_r}{T} \right)e^{2 i \pi f_0 (t\,-\,t_r)} + B'(t)</math></
dove <math>\scriptstyle B'(t)</math>, il risultato dell'intercorrelazione tra il rumore e il segnale trasmesso, rimane un rumore bianco di caratteristiche uguali a <math>\scriptstyle B(t)</math> dal momento che non è correlato al segnale trasmesso. La funzione <math>\Lambda</math> è una funzione triangolo, il suo valore è 0 in <math>\scriptstyle [-\infty,\, -\frac{1}{2}] \,\cup\, [\frac{1}{2}, \,+\infty]</math>, esso aumenta linearmente in <math>\scriptstyle [-\frac{1}{2},\, 0]</math> dove raggiunge il suo massimo 1, e decresce linearmente in <math>\scriptstyle [0,\,\frac{1}{2}]</math> finché torna a 0 nuovamente. Le figure alla fine del paragrafo mostrano la forma dell'intercorrelazione per un segnale campionato (in rosso), in questo caso un seno reale troncato, di durata <math>\scriptstyle T\,=\,1</math> secondi, di ampiezza unitaria e frequenza <math>\scriptstyle f_0\,=\,10</math> hertz. Due echi (in blu) tornano indietro con un ritardo di 3 e 5 secondi rispettivamente e hanno un'ampiezza uguale a 0.5 e 0.3; questi sono già valori casuali per il ben dell'esempio. Dal momento che il segnale è reale, l'intercorrelazione è pesata da un fattore addizionale pari a <math>\scriptstyle \frac{1}{2}</math>.
Se due impulsi tornano indietro vicini nel tempo, l'intercorrelazione è uguale alla somma dell'intercorrelazione dei due segnali elementari. Per distinguere un inviluppo triangolare da quello dell'altro impulso, è chiaro che il tempo di arrivo dei due impulsi deve essere separato almeno di <math>\scriptstyle T</math> così che i massimi di entrambi gli impulsi possano essere separati. Se questa condizione non è rispettata, entrambi i triangoli saranno sovrapposti insieme e sarà impossibile separarli.
Dal momento che la distanza coperta da un'onda durante <math>\scriptstyle T</math> è <math>\scriptstyle cT</math> (dove ''c'' è la velocità dell'onda nel mezzo), e dal momento che la distanza corrisponde al tempo di andata e ritorno (''round trip time''), otteniamo:
{{Approfondimento
|allineamento = centro
|larghezza = 500px
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|contenuto = La gamma di risoluzione con un impulso sinuisoidale è <math>\scriptstyle \frac{1}{2}cT</math>, dove <math>\scriptstyle T</math> è la durata dell'impulso e <math>\scriptstyle c</math>, la velocità dell'onda. Conclusioni: per aumentare la risoluzione la lunghezza dell'impulso deve essere ridotta.}}
{| border="0"
|+ '''Esempio (singolo impulso): segnale trasmesso in rosso (portante 10 hertz, ampiezza 1, durata 1 secondo) e due echi (in blu).'''
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! Dopo il filtraggio matched
|-----
|[[Image:Two targets before.jpg|thumb|
| [[Image:Two targets resoluted.jpg|thumb|
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| [[Image:Two targets below resolution before.jpg|thumb|
| [[Image:Two targets below resolution.jpg|thumb|
|}
=== Energia richiesta per trasmettere il segnale ===
La potenza istantanea dell'impulso trasmesso è <math>\scriptstyle P(t)\,=\,|s|^2(t)</math>. L'energia contenuta nel segnale è:
<div align="center"><math>E = \int_0^T P(t)dt = A^2 T</math></
Allo stesso modo, l'energia nell'impulso ricevuto è <math>\scriptstyle E_r \,=\, K^2 A^2 T</math>. Se <math>\scriptstyle\sigma</math> è la deviazione standard del rumore, il
<div align="center"><math>SNR = \frac{E_r}{\sigma} = \frac{K^2 A^2 T}{\sigma}</math></
L'SNR aumenta con la durata dell'impulso se gli altri parametri sono fissati. Questo è in contrasto con le esigenze di risoluzione viste sopra dal momento che generalmente si vuole un'alta risoluzione.
== Compressione dell'impulso attraverso modulazione di frequenza lineare (''
=== Principi di base ===
Come si può ottenere allora un impulso abbastanza largo (per avere ancora un buon SNR al ricevitore) senza avere una bassa risoluzione? Questo è il punto in cui la compressione dell'impulso entra in azione come evidenziato in figura. Il principio base è il seguente:
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* questo segnale è progettato in modo tale che dopo il filtraggio adattato, l'ampiezza dei segnali intercorrelati è più piccola dell'ampiezza ottenuta da un impulso sinuisoidale come spiegato sopra (da cui il nome della tecnica: compressione dell'impulso).
Nelle applicazioni [[radar]] e [[sonar]], segnali di [[chirp]] lineari sono i più tipici segnali usati per ottenere una compressione dell'impulso. L'impulso, essendo di lunghezza finita, ha l'ampiezza
<div align="center"><math>s_c(t) = \left\{ \begin{array}{ll} A e^{2 i \pi \left (f_0 \,+\, \frac{\Delta f}{2T}t \,-\, \frac{\Delta f}{2}\right) t} &\mbox{se} \; 0 \leq t < T \\ 0 &\mbox{altrimenti}\end{array}\right.</math></
N.B. il chirp è scritto in modo tale per cui la fase del segnale di chirp (cioè l'argomento dell'esponenziale complesso), è:
<div align="center"><math>\phi(t) = 2\pi \left (f_0+\frac{\Delta f}{2T}t-\frac{\Delta f}{2}\right) t</math></
così la frequenza istantanea è (per definizione):
<div align="center"><math>f(t) = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{d\phi}{dt}\right ]_t = f_0-\frac{\Delta f}{2}+\frac{\Delta f}{
la rampa lineare che va da <math>\scriptstyle f_0 \,-\, \frac{\Delta f}{2}</math> per <math>\scriptstyle t \,=\, 0</math> a <math>\scriptstyle f_0 \,+\, \frac{\Delta f}{2}</math> per <math>\scriptstyle t \,=\,
=== Intercorrelazione tra segnale trasmesso e segnale ricevuto ===
Come per l'impulso semplice calcoliamo ora l'intercorrelazione tra il segnale trasmesso ed il segnale ricevuto. Per semplificare le cose, considereremo che il chirp non è scritto come sopra, ma in una forma alternativa ed equivalente per il risultato finale:
<div align="center"><math>s_{c'}(t) = \left\{ \begin{array}{ll} A e^{2 i \pi \left (f_0 \,+\, \frac{\Delta f}{2T}t\right) t} &\mbox{se}\; -\frac{T}{2} \leq t < \frac{T}{2} \\ 0 &\mbox{altrimenti}\end{array}\right.</math></
Dal momento che l'intercorrelazione è uguale (salvo per il fattore di attenuazione <math>K</math>) alla funzione di autocorrelazione <math>\scriptstyle s_{c'}</math>, questo è ciò che consideriamo:
<div align="center"><math><s_{c'},s_{c'}>(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}s_{c'}^\star(-t')s_{c'}(t-t')dt'</math></
Può essere mostrato
<div align="center"><math><s_{c'}, s_{c'}>(t) = T \Lambda \left(\frac{t}{T} \right) sinc \left[ \pi \Delta f t \Lambda \left( \frac{t}{T}\right) \right] e^{2 i \pi f_0 t} </math></
La funzione di autocorrelazione massima <math>\scriptstyle s_{c'}</math> è raggiunta a 0. Attorno a 0, questa funzione si comporta come un termine [[sinc]]. L'ampiezza temporale di −3
Dal momento che il seno cardinale può avere fastidiosi lobi laterali, una pratica comune è filtrare il risultato attraverso una finestra (Hamming, Hann, etc.). In pratica, questo può essere fatto allo stesso tempo del filtraggio adattato moltiplicando il chirp di riferimento con il filtro. Il risultato sarà un segnale con una ampiezza massima
{{Approfondimento
|allineamento = centro
|larghezza = 500px
Riga 102 ⟶ 100:
|contenuto = La risoluzione in distanza raggiungibile con una modulazione in frequenza lineare di un impulso su un'ampiezza di banda <math>\scriptstyle \Delta f</math> è: <math>\scriptstyle \frac{c}{2\Delta f}</math> dove <math>\scriptstyle c</math> è la velocità dell'onda.}}
{{Approfondimento
|allineamento = centro
|larghezza = 750px
Riga 108 ⟶ 106:
|contenuto = Il rapporto <math>\scriptstyle \frac{T}{T^\prime} \,=\, T\Delta f</math> è il rapporto di compressione. Esso è generalmente più grande di 1 (usualmente il suo valore è da 20 a 30).}}
{| border="0"
|+ '''Esempio (impulso ''chirpato''): segnale trasmesso in rosso (portante 10 hertz, modulazione su 16 hertz, ampiezza 1, durata 1 second) e due echi (in blu).'''
|-----
|[[Image:chirp before.jpg|thumb|
| [[Image:chirp compr.jpg|thumb|
|}
=== Aumento del SNR attraverso la compressione dell'impulso ===
L'energia del segnale non varia durante la compressione dell'impulso. Ad ogni modo, è ora localizzato nel lobo principale del seno cardinale, la cui
<div align="center"><math>P\times T = P' \times T' </math></
che conduce a:
<div align="center"><math>P'= P\times \frac{T}{T'} </math></
Inoltre la potenza del rumore non cambia attraverso l'intercorrelazione dal momento che non è correlato all'impulso trasmesso (è totalmente casuale). Come conseguenza:
{{Approfondimento
|allineamento = centro
|larghezza = 500px
Riga 134 ⟶ 130:
|contenuto = Dopo la compressione dell'impulso, la potenza del segnale ricevuto può essere considerata come amplificata di <math>\scriptstyle T \Delta f</math>. Questo guadagno addizionale può essere inserito nell'equazione del [[radar]].}}
{| border="0"
|+ '''Esempio: stesso segnale come sopra, più un rumore bianco gaussiano(<math>\scriptstyle \sigma \,=\, 0.5</math>)'''
|-----
|[[Image:chirp noise.jpg|thumb|
| [[Image:chirp compr noise.jpg|thumb|
|}
== Compressione dell'impulso attraverso codifica di fase ==
Riga 147 ⟶ 141:
Esistono altri mezzi per modulare il segnale. La [[modulazione di fase]] è una tecnica comunemente usata; in questo caso l'impulso è suddiviso in slot temporali <math>\scriptstyle N</math> di durata <math>\scriptstyle \frac{T}{N}</math> per i quali la fase all'origine è scelta in accordo ad una convenzione prestabilita. Per esempio è possibile non cambiare la fase di qualche slot temporale (che conduce a lasciare il segnale così com'è, in quegli slot temporali) e sfasare il segnale in altri slot attraverso <math>\scriptstyle \pi</math> (che è equivalente a cambiare il segno del segnale). L'esatto modo di scegliere la sequenza delle fasi <math>\scriptstyle \{0,\, \pi \}</math> è operato in accordo con una tecnica conosciuta come [[Barker Code]]. È possibile codificare la sequenza su più di due fasi (codifica polifase). Come con un chirp lineare, la compressione dell'impulso è ottenuta attraverso un'intercorrelazione.
I vantaggi
==Note==
<references/>
==Voci correlate==
*[[Spread spectrum]]
== Collegamenti esterni ==
[[Categoria:Teoria dei segnali]]▼
* {{Collegamenti esterni}}
▲[[Categoria:Teoria dei segnali]]
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