Compressione dell'impulso: differenze tra le versioni

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La '''compressione dell'impulso''' è una tecnica di [[Teoria dei segnali|elaborazione dei segnali]] usata principalmente nei sistemi [[radar]], [[sonar]] e in [[ecografia]] per aumentare il range di risoluzione spaziale così come il [[rapporto segnale-/rumore]]. Ciò è ottenuto [[modulazione|modulando]] l'impulso trasmesso e [[cross-correlazione|correlando]] il segnale ricevuto con l'impulso trasmesso.<ref>J. R. Klauder, A. C, Price, S. Darlington and W. J. Albersheim, "The Theory and Design of Chirp Radars", Bell System Technical Journal 39, 745 (1960).</ref>

== Impulso semplice ==

=== Descrizione del segnale ===

Il più semplice segnale che un radar ad impulsi può trasmettere è un impulso [[sinusoide]] di [[ampiezza]] <math>\scriptstyle A</math> e [[frequenza]] portante, <math>\scriptstyle f_0</math>, troncato da una funzione rettangolare di periodo <math>\scriptstyle T</math> ed è trasmesso periodicamente con un certo periodo PRT (Pulse Repetition Time). Dobbiamo considerare solo un singolo impulso, <math>\scriptstyle s</math>. Se assumiamo che l'impulso inizi al tempo <math>\scriptstyle t\,=\,0</math>, il segnale può essere scritto nel seguente modo usando la notazione [[numeri complessi|complessa]]:

<div align="center"><math>s(t) = \left\{ \begin{array}{ll} A e^{2 i \pi f_0 t} &\mbox{se} \; 0 \leq t < T \\ 0 &\mbox{altrimenti} \end{array}\right.</math></div>

=== Range di risoluzione ===

Determiniamo la gamma di risoluzione che può essere ottenuta con un simile segnale. Il segnale di ritorno, scritto <math>\scriptstyle r(t)</math>, è una copia attenuata e shiftata nel tempo del segnale originale (in realtà l'[[effetto dopplerDoppler]] può giocare un ruolo rilevante se il ''target'' è in moto radiale rispetto al radar). C'è anche il [[rumore (elettronica)|rumore]] nel segnale entrante, sia nel [[canale (telecomunicazioni)|canale]] reale che in quello immaginario, e che assumeremo essere [[rumore bianco|bianco]] e [[distribuzione gaussiana|gaussiano]] (questa assunzione generalmente regge nella realtà); scriviamo <math>\scriptstyle B(t)</math> per denotare questo rumore. Per rilevare il segnale entrante che è misto al rumore viene solitamente usato un [[filtro adattato|filtraggio adattato]]. Questo metodo è ottimo quando un segnale noto deve essere rilevato immerso nel rumore additivo gaussiano.

In altre parole si calcola la [[cross-correlazione]] tra il segnale ricevuto corrotto da rumore con il segnale originariamente trasmesso. Questa correlazione si ottiene attraverso una [[convoluzione]] del segnale entrante r(t) con il complesso coniugato e ribaltato nel tempo del segnale trasmesso s(t). Questa operazione può essere fatta sia via [[software]] sia via [[hardware]]. Scriviamo <math>\scriptstyle <s,\,r>(t)</math> per questa correlazione. Abbiamo:

<div align="center"><math><s,r>(t) = \int_{t'\,=\,0}^{+\infty} s^\star(t')r(t+t') dt'</math></div>

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<div align="center"><math><s,r>(t) = KA^2\Lambda\left (\frac{t-t_r}{T} \right)e^{2 i \pi f_0 (t\,-\,t_r)} + B'(t)</math></div>

dove <math>\scriptstyle B'(t)</math>, il risultato dell'intercorrelazione tra il rumore e il segnale trasmesso, rimane un rumore bianco di caratteristiche uguali a <math>\scriptstyle B(t)</math> dal momento che non è correlato al segnale trasmesso. La funzione <math>\Lambda</math> è una funzione triangolo, il suo valore è 0 in <math>\scriptstyle [-\infty,\, -\frac{1}{2}] \,\cup\, [\frac{1}{2}, \,+\infty]</math>, esso aumenta linearmente in <math>\scriptstyle [-\frac{1}{2},\, 0]</math> dove raggiunge il suo massimo 1, e decresce linearmente in <math>\scriptstyle [0,\,\frac{1}{2}]</math> finché torna a 0 nuovamente. Le figure alla fine del paragrafo mostrano la forma dell'intercorrelazione per un segnale campionato (in rosso), in questo caso un seno reale troncato, di durata <math>\scriptstyle T\,=\,1</math> secondi, di ampiezza unitaria e frequenza <math>\scriptstyle f_0\,=\,10</math> hertz. Due echi (in blu) tornano indietro con un ritardo di 3 e 5 secondi rispettivamente e hanno un'ampiezza uguale a 0.5 e 0.3; questi sono già valori casuali per il ben dell'esempio. Dal momento che il segnale è reale, l'intercorrelazione è pesata da un fattore addizionale pari a <math>\scriptstyle \frac{1}{2}</math>.

Se due impulsi tornano indietro vicini nel tempo, l'intercorrelazione è uguale alla somma dell'intercorrelazione dei due segnali elementari. Per distinguere un inviluppo triangolare da quello dell'altro impulso, è chiaro che il tempo di arrivo dei due impulsi deve essere separato almeno di <math>\scriptstyle T</math> così che i massimi di entrambi gli impulsi possano essere separati. Se questa condizione non è rispettata, entrambi i triangoli saranno sovrapposti insieme e sarà impossibile separarli.

Dal momento che la distanza coperta da un'onda durante <math>\scriptstyle T</math> è <math>\scriptstyle cT</math> (dove ''c'' è la velocità dell'onda nel mezzo), e dal momento che la distanza corrisponde al tempo di andata e ritorno (''round trip time''), otteniamo:

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|contenuto = La gamma di risoluzione con un impulso sinuisoidale è <math>\scriptstyle \frac{1}{2}cT</math>, dove <math>\scriptstyle T</math> è la durata dell'impulso e <math>\scriptstyle c</math>, la velocità dell'onda. Conclusioni: per aumentare la risoluzione la lunghezza dell'impulso deve essere ridotta.}}

<div align="center">

{| border="0"

|+ '''Esempio (singolo impulso): segnale trasmesso in rosso (portante 10 hertz, ampiezza 1, durata 1 secondo) e due echi (in blu).'''

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| [[Image:Two targets below resolution.jpg|thumb|upright=1.4|...gli echi sono mischiati insieme.]]

|}

</div>

=== Energia richiesta per trasmettere il segnale ===

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L'SNR aumenta con la durata dell'impulso se gli altri parametri sono fissati. Questo è in contrasto con le esigenze di risoluzione viste sopra dal momento che generalmente si vuole un'alta risoluzione.

== Compressione dell'impulso attraverso modulazione di frequenza lineare (''[[chirp]]'') ==

=== Principi di base ===

Come si può ottenere allora un impulso abbastanza largo (per avere ancora un buon SNR al ricevitore) senza avere una bassa risoluzione? Questo è il punto in cui la compressione dell'impulso entra in azione come evidenziato in figura. Il principio base è il seguente:

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<div align="center"><math>f(t) = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{d\phi}{dt}\right ]_t = f_0-\frac{\Delta f}{2}+\frac{\Delta f}{2T}t</math></div>

la rampa lineare che va da <math>\scriptstyle f_0 \,-\, \frac{\Delta f}{2}</math> per <math>\scriptstyle t \,=\, 0</math> a <math>\scriptstyle f_0 \,+\, \frac{\Delta f}{2}</math> per <math>\scriptstyle t \,=\, T2T</math>.

=== Intercorrelazione tra segnale trasmesso e segnale ricevuto ===

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<div align="center"><math><s_{c'}, s_{c'}>(t) = T \Lambda \left(\frac{t}{T} \right) sinc \left[ \pi \Delta f t \Lambda \left( \frac{t}{T}\right) \right] e^{2 i \pi f_0 t} </math></div>

La funzione di autocorrelazione massima <math>\scriptstyle s_{c'}</math> è raggiunta a 0. Attorno a 0, questa funzione si comporta come un termine [[sinc]]. L'ampiezza temporale di −3 &nbsp;dB del seno cardinale è più o meno uguale a <math>\scriptstyle T' \,=\, \frac{1}{\Delta f}</math>. Tutto accade come se, dopo il filtraggio adattato, abbiamo ottenuto la risoluzione che abbiamo raggiunto con l'impulso semplice di durata <math>\scriptstyle T'</math>. Per i valori comuni di <math>\scriptstyle \Delta f</math>, <math>\scriptstyle T'</math> è più piccolo di <math>\scriptstyle T</math>, da cui il nome ''compressione dell'impulso''.

Dal momento che il seno cardinale può avere fastidiosi lobi laterali, una pratica comune è filtrare il risultato attraverso una finestra (Hamming, Hann, etc.). In pratica, questo può essere fatto allo stesso tempo del filtraggio adattato moltiplicando il chirp di riferimento con il filtro. Il risultato sarà un segnale con una ampiezza massima strettamente più bassa, ma i lobi laterali saranno filtrati via, che è la cosa più importante.

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|contenuto = Il rapporto <math>\scriptstyle \frac{T}{T^\prime} \,=\, T\Delta f</math> è il rapporto di compressione. Esso è generalmente più grande di 1 (usualmente il suo valore è da 20 a 30).}}

<div align="center">

{| border="0"

|+ '''Esempio (impulso ''chirpato''): segnale trasmesso in rosso (portante 10 hertz, modulazione su 16 hertz, ampiezza 1, durata 1 second) e due echi (in blu).'''

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| [[Image:chirp compr.jpg|thumb|upright=1.4|Dopo il filtraggio adattato: gli echi sono più corti nel tempo]]

|}

</div>

=== Aumento del SNR attraverso la compressione dell'impulso ===

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|contenuto = Dopo la compressione dell'impulso, la potenza del segnale ricevuto può essere considerata come amplificata di <math>\scriptstyle T \Delta f</math>. Questo guadagno addizionale può essere inserito nell'equazione del [[radar]].}}

<div align="center">

{| border="0"

|+ '''Esempio: stesso segnale come sopra, più un rumore bianco gaussiano(<math>\scriptstyle \sigma \,=\, 0.5</math>)'''

Riga 141 ⟶ 136:

| [[Image:chirp compr noise.jpg|thumb|upright=1.4|Dopo il filtraggio adattato: gli echi diventano visibili.]]

|}

</div>

== Compressione dell'impulso attraverso codifica di fase ==

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Esistono altri mezzi per modulare il segnale. La [[modulazione di fase]] è una tecnica comunemente usata; in questo caso l'impulso è suddiviso in slot temporali <math>\scriptstyle N</math> di durata <math>\scriptstyle \frac{T}{N}</math> per i quali la fase all'origine è scelta in accordo ad una convenzione prestabilita. Per esempio è possibile non cambiare la fase di qualche slot temporale (che conduce a lasciare il segnale così com'è, in quegli slot temporali) e sfasare il segnale in altri slot attraverso <math>\scriptstyle \pi</math> (che è equivalente a cambiare il segno del segnale). L'esatto modo di scegliere la sequenza delle fasi <math>\scriptstyle \{0,\, \pi \}</math> è operato in accordo con una tecnica conosciuta come [[Barker Code]]. È possibile codificare la sequenza su più di due fasi (codifica polifase). Come con un chirp lineare, la compressione dell'impulso è ottenuta attraverso un'intercorrelazione.

I vantaggi<ref>J.-P. Hardange, P. Lacomme, J.-C. Marchais, ''Radars aéroportés et spatiaux'', Masson, Paris, 1995, ISBN 2-225-84802-5, page 104. In lingua inglese: ''Air and Spaceborne Radar Systems: an introduction'', Institute of Electrical Engineers, 2001, ISBN 0-85296-981-3</ref> dei codici di Baker sono nella loro semplicità (come indicato sopra, uno sfasamento di <math>\scriptstyle \pi</math> è un semplice cambiamento di segno), ma il rapporto di compressione è più basso rispetto al caso del chirp e la compressione è molto sensibile ai cambiamenti di frequenza dovuti all'[[Effettoeffetto Doppler]] se quel cambiamento è più largo di <math>\scriptstyle \frac{1}{T}</math>.

==Note==

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==Voci correlate==

*[[Spread spectrum]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

[[Categoria:Teoria dei segnali]]