Smoothstep: differenze tra le versioni

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[[File:Smoothstep and Smootherstep.svg|thumb|Grafico delle funzioni di primo ordine (''smoothstep'') e secondo ordine (''smootherstep'') normalizzate nell'intervallo <math>[0, 1]</math>]]

'''Smoothstep''' è una famiglia di [[funzione sigmoidea|funzioni sigmoidee]] usate per l'[[interpolazione]] hermitiana e per il ''clamping'' in [[computer grafica]],<ref>[http://msdn.microsoft.com/en-us/library/bb509658(VS.85).aspx Smoothstep at Microsoft Developer Network].</ref><ref>[http://www.opengl.org/registry/doc/GLSLangSpec.Full.1.40.05.pdf GLSL Language Specification, Version 1.40].</ref> [[motore grafico|motori grafici]],<ref>[http://unity3d.com/support/documentation/ScriptReference/Mathf.SmoothStep.html Unity game engine SmoothStep documentation].</ref> e [[apprendimento automatico]].<ref>{{cita conferenza |url=https://proceedings.icml.cc/static/paper_files/icml/2020/2974-Paper.pdf |titolo=The Tree Ensemble Layer: Differentiability meets Conditional Computation |cognome1=Hazimeh |nome1=Hussein |cognome2=Ponomareva |nome2=Natalia |cognome3=Mol |nome3=Petros |cognome4=Tan |nome4=Zhenyu |cognome5=Mazumder |nome5=Rahul |data=2020 |editore=PMLR |conferenza=International Conference on Machine Learning |accesso=30 gennaio 2022 |dataarchivio=2 gennaio 2021 |urlarchivio=https://web.archive.org/web/20210102091041/https://proceedings.icml.cc/static/paper_files/icml/2020/2974-Paper.pdf |urlmorto=sì }}</ref>

Le smoothstep sono funzioni di una variabile reale a valori in <math>[0, 1]</math>, caratterizzate da due parametri <math>a,</math> e <math>b</math> rappresentanti gli estremi di un intervallo <math>[a, b]</math> di valori nel [[dominio e codominio|dominio]]. Per ogni <math>x \in \mathbb{R}</math>, smoothstep mappa i valori <math>x \in (a, b)</math> all'intervallo <math>(0, 1)</math>, mentre tutti i valori <math>x \le a</math> sono mappati ain zero, e tutti i valori <math>x \ge b</math> sono mappati ain 1. Una funzione smoothstep normalizzata ha parametri <math>a = 0</math> e <math>b = 1</math>. Nel seguito, quando non differentemente specificato, si assume che la funzione smoothstep sia normalizzata.

La funzione smoothstep di ordine <math>n</math> interpola i valori tra 0 e 1 in modo tale che:

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* quando la variabile è all'estremo destro dell'intervallo, l'immagine della funzione sia 1;

* le derivate (fino all'ordine <math>n</math>) della funzione presso gli estremi destro e sinistro abbiano valore zero.

Una funzione polinomiale che soddisfi tali vincoli può essere definita tramite un l'[[Polinomi di Hermite|polinomiointerpolazione di Hermite]]. La funzione smoothstep per antonomasia è quella di primo ordine <math>\operatorname{S}_1(x)</math>, definita da un polinomio di terzo grado:

:<math>\operatorname{smoothstep}(x) = S_1\operatorname{S}_1(x) =\begin{cases}

0, & x < 0, \\

3x^2 - 2x^3, & 0 \le x \le 1, \\

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\end{cases}</math>

Le successive funzioni smoothstep fino al sesto ordine sono rappresentate nell'intervallo <math>[0, 1]</math> dai seguenti polinomi:

:<math>\begin{align}