Logicismo: differenze tra le versioni

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{{NN|logicafilosofia|giugno 2020}}

{{Citazione|Oggi pare guadagnar sempre più sostenitori l'opinione che l'aritmetica sia una logica più ampia e che la giustificazione più rigorosa delle leggi aritmetiche riporti indietro a leggi puramente logiche e solo ad esse. Sono anch'io di quest'opinione e su di essa fondo la richiesta d'includere la notazione aritmetica in quella logica. |Gottlob Frege, ''Funzione e concetto''}}

Per '''logicismo''' si intende il tentativo di ridurre la [[matematica]] ai concetti ed alle regole della [[logica]]<ref name=":0" />. Secondo le posizioni logiciste per lo sviluppo dell'[[aritmetica]] (e conseguentemente, della matematica stessa) non sarebbero necessari altri concetti che quelli della logica, essendo la matematica fondamentalmente un'applicazione specifica delle leggi universali della logica<ref name=":1">{{Cita web|url=https://www.sapere.it/enciclopedia/logicismo.html|titolo=Logicismo}}</ref>. Ogni concetto, teorema e legge della matematica può essere quindi dedotto e dimostrato partendo dagli [[Assioma|assiomi]] fondamentali della logica<ref name=":1" />.

Questo pensiero si trova già in [[Gottfried Leibniz]]<ref name=":0">{{Treccani|logicismo_(Enciclopedia-della-Matematica)/}}</ref> che cercava una ''[[characteristica universalis]]'', una scienza universale, da cui potessero essere dedotte tutte le altre scienze come istanze specifiche. Comunemente il Logicismo viene associato soprattutto con [[Gottlob Frege]]<ref name=":0" />, [[Bertrand Russell]]<ref name=":0" /> e [[Alfred North Whitehead]]<ref>{{Cita web|url=https://www.treccani.it/enciclopedia/alfred-north-whitehead/|titolo=Whitehead, Alfred North}}</ref>.

==Contesto storico==

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Nella teoria semantica di Frege, i predicati denotano concetti: funzioni unarie particolari (il cui codominio contiene solo valori di verità). Per tutti i predicati (o proprietà) vale il seguente assioma di comprensione.

'''Assioma di comprensione''': assegnazione necessaria a un concetto di una rispettiva "estensione": l'insieme degli oggetti cui il concetto è attribuibile veridicamente; e che è l'insieme vuoto, {∅}, se il concetto è contraddittorio (ad esempio:‘essere diverso da se stesso'stesso’). <br>Dopodiché, Frege definisce il concetto di equinumerosità<ref>Ci sono molte ridondanze lessicali che indicano questo concetto: ugualmente numeroso; equipotenza; equipollenza; etc...</ref> ‘avere lo stesso numero di oggetti'oggetti’: due insiemi sono equinumerosi se collegati da una [[corrispondenza biunivoca]] (ad ogni elemento del primo corrisponde uno e uno solo elemento del secondo; e viceversa). A questo punto, Frege definisce "numero di un dato insieme" come l'insieme di tutti gli insiemi equinumerosi a quello dato<ref>Per essere esatti Frege definisce il numero come una "[[Classe (insiemistica)|classe]] di classi"; però pone che la classe sia individuata da una totalità di oggetti. E oggi si dice insieme una collezione di elementi individuabile dalla totalità degli elementi stessi, e considerabile essa stessa come un elemento (nell'insieme di insiemi, gli insiemi sono appunto degli elementi). Tutti gli insiemi sono classi, ma non tutte le classi sono insiemi. Ad esempio non è un insieme la classe delle stelle visibili in cielo, in cui ci sono elementi che si aggiungono e si sottraggono nel corso di un processo di enumerazione.</ref>.

L'assioma di assegnar un'estensione a un concetto equivale a garantire l'esistenza di oggetti che cadono sotto di esso, perciò esiste almeno un ente matematico, lo zero, come l'insieme di tutti gli insiemi equinumerosi all'insieme vuoto che è l'estensione di qualsiasi concetto contraddittorio. Ciò dimostra anche l'infinità dei numeri naturali: poiché lo zero è un oggetto logico, esso è considerabile come elemento, ma allora esiste anche il numero uno come l'insieme di tutti gli insiemi equinumerosi all'insieme ‘zero'‘zero’ di tutti gli insiemi equinumerosi all'insieme vuoto, che era l'estensione di un concetto contraddittorio dato. E se esistono lo zero e l'uno, allora esistono almeno due oggetti logici procedendo come sopra. E se esistono lo zero, l'uno, e il due, allora esistono almeno tre oggetti logici; e così si procede all'infinito.

Frege crede di aver raggiunto dunque gli obbiettivi di garantire l'esistenza di infiniti enti matematici definiti solo da ingredienti logici, con cui è dunque possibile procedere a dimostrare verità aritmetiche.

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Approfondendo l'antinomia da lui scoperta, Russell giunge al problema dell'esistenza degli enti matematici. Che senso ha l'espressione «esiste un numero (un insieme, etc.) che gode di una determinata proprietà»? Il quesito suscita un contrasto tra una concezione descrittiva (per cui l'ente matematico esiste indipendentemente dai metodi per individuarlo) e una concezione costituiva (per cui l'ente matematico è il risultato di atti o processi dell'attività razionale) della matematica.

Ebbene, [[Jules Henri Poincaré|Poincaré]] chiama "impredicative" le definizioni che fanno riferimento alla totalità a cui l'ente da definire appartiene; e "predicative" le definizioni che non vi fanno riferimento.

Ebbene, [[Jules Henri Poincaré|Poincaré]] chiama "impredicative" le definizioni che fanno riferimento alla totalità a cui l'ente da definire appartiene; e "predicative" le definizioni che non vi fanno riferimento. Il processo definitorio delle definizioni impredicative (che individua un ente riferendosi a totalità alle quali l'ente appartiene) è un problema in una concezione costitutiva, riferendosi a qualcosa di non ancora costruito.<br>

Per evitar definizioni impredicative (e relative fallacie dell'autoriferimento) Russell elabora una [[teoria dei tipi]]: gerarchie di livelli degli enti logici, organizzati dai più semplici ai più complessi, definiti riferendosi ad enti già dati.

(Livello 0: gli elementi. Livello 1: gli insiemi di elementi. Livello 2: gli insiemi di insiemi di elementi. E così via). <br>In tale teoria vale il principio del circolo vizioso: nessuna totalità può contener elementi definiti in termini di se stessa. Il problema del sistema logico che Russell è la sua debolezza: senza definizioni impredicative, la matematica costruibile su tale base logica è limitata; e richiede assiomi estranei allo spirito sia predicativista sia logicista di partenza. Un esempio è l'assioma dell'infinito (esiste un tipo a cui appartengono infiniti individui distinti), senza cui si avrebbe l'esistenza di n individui che renderebbero possibile costruire i numeri cardinali da 0 a n, ma n+1 sarebbe una classe nulla, di conseguenza n+1 e tutti i successivi numeri naturali sarebbero tutti identici (cioè 0), il che sarebbe una catastrofe aritmetica.

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Il Logicismo si avviò ad essere superato quando gli intuizionisti cominciarono a sostenere l'impossibilità di fondare la matematica sulla logica: secondo loro, il tentativo di ridurre la matematica alla logica fallisce perché la logica da sola non è sufficiente. Il Logicismo adopera anche concetti dalla teoria degli insiemi, la quale è [[ontologia|ontologicamente]] più ricca della mera logica. Non esiste comunque una necessità a priori che garantisca l'esistenza dei vari livelli di insiemi e insiemi di insiemi presupposti da Cantor, Frege e Russell.

Successivamente al [[1930]] il punto di vista formalista entrò in declino, sia per la scoperta di [[Kurt Gödel]] dei [[Teoremi di incompletezza di Gödel|teoremi di incompletezza]] che per l'emergere della [[teoria degldegli insiemi di Zermelo-Fraenkel]], che ha rimpiazzato la teoria dei tipi di Russell come la più promettente teoria fondazionale per la matematica.<ref>https://plato.stanford.edu/entries/logicism/#NeoFre</ref> Secondo i teoremi di incompletezza di Gödel, ogni sistema sufficientemente complesso da fondare l'aritmetica è ''ipso facto'' o incompleto o incoerente, e inoltre non è in grado di dimostrare la sua stessa validità.

== Note ==

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* Gottlob Frege, ''Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl'', Breslau, 1884.

* Gottlob Frege, ''Grundgesetze der Arithmetik'', Jena, Hermann Pohle, Band I (1893), Band II (1903).

* [[Hermann von Helmholtz]], «Zählen und Messen», ''Philosophische Aufsätze'', [[Eduard Zeller]] gewidmet, 1887.

* [[David Hilbert]], ''Grundlagen der Geometrie'', 1899.

* [[Giuseppe Peano]], ''Arithmetices principia, nova methodo exposita'', Torino, Bocca, 1889.

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<!-- Cioffi -->* {{cita libro|cognome=Cioffi |nome=F. |coautori=F. Gallo, G. Luppi, A. Vigorelli, E. Zanette |titolo=Diálogos |anno=2000 |editore=Edizioni Scolastiche Bruno Mondadori|città= |isbn=88-424-5264-5 |pagine=vol. 3 |cid=Cioffi }}

<!-- Ferrandi -->* {{cita libro|nome=Clementina |cognome=Ferrandi |titolo=Filosofia e scienza – Un intreccio fecondo |editore=Il Capitello |città=Torino |anno=1991 |cid=Ferrandi}}

<!-- Maraschini -->* {{cita libro|nomeautore=W.[[Walter |cognome=Maraschini ]]|coautoriautore2=M.[[Mauro Palma ]]|titolo=ForMat, Spe |editore=Paravia |anno=2002 |pagine= vol. 3 |isbn=88-395-1435-X |cid=Maraschini }}

<!-- Odifreddi -->* {{cita libro|cognome=Odifreddi |nome=P. |titolo=Il diavolo in cattedra|editore=Einaudi |anno=2003 |isbn=88-06-18137-8 |cid=Odifreddi }}