Controllo ottimo: differenze tra le versioni

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Il '''controllo ottimo''' è, nell'ambito dei [[controlli automatici]], l'insieme di algoritmi di controllo che stabilizzano un [[Sistemi_dinamici_lineari_tempo_invariantiSistema dinamico lineare stazionario|sistema dinamico]], minimizzando una [[cifra di merito]] che dipende dallo stato del sistema e dal vettore degli ingressi. {{foto|foto=
[[File:Mimo.PNG|lato=rightthumb|pxupright=4001.8|didascalia=''Controllo automatico''}}]]

==Formulazione del problema==

Sia definito il seguente [[sistema non lineare]]: <br />

::<math>\dot x(t) = f(x(t),u(t))</math> con <math>x \in \mathbb{R}^n, u \in \mathbb{R}^m</math> <br>

dove <math>n</math> è il numero degli stati del sistema e <math>m</math> è il numero degli ingressi. <br>

Sia definitadefinito lail seguente cifrafunzionale di meritocosto: <br />

::<math>J = \beta(x_0,ux(\cdott_f),t_0t_f) =+ \int_{t_0}^{Tt_f} lf_0(x(\tau),u(\tau))\, d\tau + m(x(T))</math> <br>

Ipotizzando di essere all'istante iniziale <math>t_0</math> e allo stato iniziale <math>x_0</math> lL'obiettivo è quello di trovare un controllo ottimo <br />

::<math>u^ou_{ott}(t), t \in [t_0,Tt_f]</math> <br>

che, minimizzapartendo dall'istante iniziale <math>t_0</math> e dallo stato iniziale <math>x_0</math>, minimizzi <math>J</math> rispettando iil vincolivincolo:

::<math>\dot x \in- f(x, u) = 0 X</math> <br>,

equivalente a

::<math>x \in X</math>

::<math>u \in U</math>

Si ha quindi un problema di minimo vincolato.

==Equazioni di Eulero-Lagrange e condizioni di trasversalità==

Questo problema di minimo vincolato può essere risolto mediante la tecnica dei moltiplicatori di Lagrange, grazie a cui si riconduce il problema a uno di minimo non vincolato, pagando il prezzo dell'aumento delle dimensioni dello stesso.

::<math> \min J = \beta(x_f, t_f) + \int_{t_0}^{t_f} f_0(x, u) + \lambda^{T} \, [ f(x, u) - \dot{x} ] \; d\tau </math>

con <math>\lambda</math> vettore di funzioni <math>\lambda(t)</math> moltiplicatori di Lagrange da determinare.

Si definisce la quantità

::<math>H(x,u,\lambda) = f_0(x,u) + \lambda^T \, f(x,u)</math>

funzione Hamiltoniana, per cui il funzionale da minimizzare diviene:

::<math>J = \beta(x_f, t_f) + \int_{t_0}^{t_f} H(x,u,\lambda) - \lambda^{T} \dot{x} \; d\tau</math>.

Esiste un estremale della funzione <math>J</math> se la variazione prima <math>\Delta J = 0</math>.

::<math>\Delta J = \left( \frac{\partial \beta}{\partial x_f} \right)^T \Delta x_f \,+\, \frac{\partial \beta}{\partial t_f} \Delta t_f \,+\, (H_f - \lambda_f^T \dot{x}_f) \Delta t_f \,+\, \int_{t_0}^{t_f} \left[ \left( \frac{\partial H}{\partial x} \right)^T \delta x + \left( \frac{\partial H}{\partial u} \right)^T \delta u + \left( \frac{\partial H}{\partial \lambda}\right)^T \delta \lambda - \dot{x}^T \delta \lambda - \lambda^T \delta \dot{x} \right] \, d \tau </math>

Si consideri il termine <math>\int_{t_0}^{t_f} - \lambda^T \delta \dot{x} \, d\tau </math>; integrando per parti e tenendo presente che <math>\Delta x_f = \delta x_f + \dot{x}_f \Delta t_f </math> e che <math>\delta x_0 = 0</math>, essendo lo stato iniziale fissato, si ottiene:

::<math> \int_{t_0}^{t_f} - \lambda^T \delta \dot{x} \, d\tau = -\lambda_f^T \Delta x_f + \lambda_f^T \dot{x}_f \Delta t_f + \int_{t_0}^{t_f} \dot{\lambda}^T \delta x\, d\tau</math>

Sostituendo in <math>\Delta J</math> e raccogliendo opportunamente:

::<math>\Delta J = \left[ \frac{\partial \beta}{\partial x_f} - \lambda_f\right]^T \Delta x_f \,+\, \left[ \frac{\partial \beta}{\partial t_f} + H_f \right] \Delta t_f \,+\, \int_{t_0}^{t_f} \left[ \left( \frac{\partial H}{\partial u} \right)^T \delta u + \left( \frac{\partial H}{\partial \lambda} - \dot{x} \right)^T \delta \lambda \,+\, \left( \frac{\partial H}{\partial x} + \dot{\lambda} \right)^T \delta x \right] \; d\tau</math>.

Il differenziale primo <math>\Delta J </math> è nullo se sono pari a zero tutte le variazioni. Si trovano quindi le '''equazioni di Eulero Lagrange'''

::<math>\frac{\partial H}{\partial u} = 0</math>

::<math>\dot{x} = \frac{\partial H}{\partial \lambda}</math>

::<math>\dot{\lambda} = - \frac{\partial H}{\partial x}</math>

e le '''condizioni di trasversalità'''

::<math>\lambda_f = \frac{\partial \beta}{\partial x_f}</math>

::<math>H_f = -\frac{\partial \beta}{\partial t_f}</math>.

Il problema di ottimo si risolve perciò imponendo le equazioni soprascritte con le cosiddette condizioni di trasversalità che fanno le veci di [[Condizione al contorno|condizioni al contorno]]. A seconda dell'avere stato finale <math>x_f</math> e tempo finale <math>t_f</math> liberi o fissati si distinguono quattro diversi problemi di ottimo.

==Controllo LQR==

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==Controllo ottimo a minima energia==

Utilizzato nel controllo di robot, è una strategia di controllo che permette di ottenere un segnale stabilizzante il sistema, (eventualmente capace di fare [[tracking asintotico]]), che '''minimizziminimizza il dispendio energetico''', e quindi i consumi. Poiché l'energia è funzione del segnale di controllo al sistema, in genere la u(t) sintetizzata è piccola in modulo.

==Controllo ottimo a minimo tempo==

Utilizzato nel controllo di robot, è una strategia di controllo che permette di ottenere un segnale stabilizzante il sistema, (eventualmente capace di fare [[tracking asintotico]]), che '''minimizziminimizza il tempo necessario per eseguire l'operazione'''. Poiché il [[tempo di salita]] necessario per arrivare a regime è [[funzione inversa]] del segnale di controllo al sistema, in genere lal'ingresso u(t) sintetizzatasintetizzato è grande in modulo. L'estremizzazione del controllo a minimo è tempo è il controllo BANG-BANG nelin qualecui il controllo può assumere solo 3 valori: saturazione positiva, saturazione negativa e nullanullo.

== Bibliografia ==

*Colaneri P., Locatelli A., ''Controllo robusto in RH2/RH'', Pitagora, [[Bologna]], [[1993]].

*Marro G., ''Controlli automatici - 5a5ª edizione'', Zanichelli, [[2004]]

*K. Zhou, J. C. Doyle, K. Glover, ''Robust and optimal control'', Prentice Hall, [[1996]].

*P. Dorato, C. Abdallah, V. Cerone ''Linear quadratic control: an introduction'', Prentice Hall, [[1995]].

* {{cita web|http://www.acadotoolkit.org|ACADO Toolkit - Open Source Toolkit for Automatic Control and Dynamic Optimization (C++, MATLAB interface available)}}

==Voci correlate==

*[[Regolatore lineare quadratico]] (LQR)

*[[controlliControlli automatici]]

*[[sistemiSistemi dinamici]]

*[[Gestione dell'energia nel veicolo ibrido]]

*[[Ottimo paretiano]]

*[[Principio di Pontryagin]]

== BibliografiaCollegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

*Colaneri P., Locatelli A., ''Controllo robusto in RH2/RH'', Pitagora, [[Bologna]], [[1993]].

*Marro G., ''Controlli automatici - 5a edizione'', Zanichelli, [[2004]]

*K. Zhou, J. C. Doyle, K. Glover, ''Robust and optimal control'', Prentice Hall, [[1996]].

*P. Dorato, C. Abdallah, V. Cerone ''Linear quadratic control: an introduction'', Prentice Hall, [[1995]].

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|Controllicontrolli automatici}}

[[Categoria:Teoria del controllo]]

[[Categoria:IngegneriaRicerca dell'automazioneoperativa]]

[[Categoria:ricercaControlli operativaautomatici]]

[[Categoria:controlli automatici]]

[[de:Optimale Steuerung]]

[[en:Optimal control]]

[[he:בקרה אופטימלית]]

[[ru:Оптимальное управление]]