Controllo ottimo: differenze tra le versioni

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Il '''controllo ottimo''' è, nell'ambito dei [[controlli automatici]], l'insieme di algoritmi di controllo che stabilizzano un [[Sistemi_dinamici_lineari_tempo_invariantiSistema dinamico lineare stazionario|sistema dinamico]], minimizzando una [[cifra di merito]] che dipende dallo stato del sistema e dal vettore degli ingressi.

[[fileFile:Mimo.PNG|thumb|400pxupright=1.8|Controllo automatico]]

==Formulazione del problema==

Sia definito il seguente [[sistema non lineare]]: <br />

::<math>\dot x(t) = f(x(t),u(t))</math> con <math>x \in \mathbb{R}^n, u \in \mathbb{R}^m</math> <br>

dove <math>n</math> è il numero degli stati del sistema e <math>m</math> è il numero degli ingressi. <br>

Sia definito il seguente funzionale di costo: <br />

::<math>J = \beta(x(t_f),t_f) + \int_{t_0}^{t_f} f_0(x(\tau),u(\tau))\, d\tau </math> <br>

Ipotizzando di essere all'istante iniziale <math>t_0</math> e allo stato iniziale <math>x_0</math> lL'obiettivo è quello di trovare un controllo ottimo <br />

::<math>u_{ott}(t), t \in [t_0,t_f]</math> <br>

che, partendo dall'istante iniziale <math>t_0</math> e dallo stato iniziale <math>x_0</math>, minimizzi <math>J</math> rispettando il vincolo:

::<math>\dot x - f(x, u) = 0 </math>,

equivalente a

::<math>x \in X</math> <br>

::<math>u \in U</math>

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==Equazioni di Eulero-Lagrange e condizioni di trasversalità==

DettoQuesto problema di minimo vincolato può essere risolto mediante la tecnica dei moltiplicatori di Lagrange, grazie aia qualicui vienesi ricondottoriconduce ad unil problema equivalentea uno di minimo non vincolato, pagando il prezzo dell'aumento delle dimensioni dello stesso.

::<math> \min J = \beta(x_f, t_f) + \int_{t_0}^{t_f} f_0(x, u) + \lambda^{T} \, [ f(x, u) - \dot{x} ] \; d\tau </math>

con <math>\lambda</math> vettore di funzioni <math>\lambda(t)</math>, moltiplicatori di Lagrange da determinare.

Si definisce la quantità

::<math>H(x,u,\lambda) = f_0(x,u) + \lambda^T \, f(x,u)</math>

funzione Hamiltoniana., Perper cui il funzionale da minimizzare diviene:

::<math>J = \beta(x_f, t_f) + \int_{t_0}^{t_f} H(x,u,\lambda) - \lambda^{T} \dot{x} \; d\tau</math>.

Esiste un estremale della funzione <math>J</math> se la variazione prima <math>\Delta J = 0</math>.

::<math>\Delta J = \left( \frac{\partial \beta}{\partial x_f} \right)^T \Delta x_f \,+\, \frac{\partial \beta}{\partial t_f} \Delta t_f \,+\, (H_f - \lambda_f^T \dot{x}_f) \Delta t_f \,+\, \int_{t_0}^{t_f} \left[ \left( \frac{\partial H}{\partial x} \right)^T \delta x + \left( \frac{\partial H}{\partial u} \right)^T \delta u + \left( \frac{\partial H}{\partial \lambda}\right)^T \delta \lambda - \dot{x}^T \delta \lambda - \lambda^T \delta \dot{x} \right] \, d \tau </math>

Si consideri il termine <math>\int_{t_0}^{t_f} - \lambda^T \delta \dot{x} \, d\tau </math>; integrando per parti e tenendo presente che <math>\Delta x_f = \delta x_f + \dot{x}_f \Delta t_f </math> e che <math>\delta x_0 = 0</math>, essendo lo stato iniziale fissato, si ottiene:

::<math> \int_{t_0}^{t_f} - \lambda^T \delta \dot{x} \, d\tau = -\lambda_f^T \Delta x_f + \lambda_f^T \dot{x}_f \Delta t_f + \int_{t_0}^{t_f} \dot{\lambda}^T \delta x\, d\tau</math>

Sostituendo in <math>\Delta J</math> e raccogliendo opportunamente:

::<math>\Delta J = \left[ \frac{\partial \beta}{\partial x_f} - \lambda_f\right]^T \Delta x_f \,+\, \left[ \frac{\partial \beta}{\partial t_f} + H_f \right] \Delta t_f \,+\, \int_{t_0}^{t_f} \left[ \left( \frac{\partial H}{\partial u} \right)^T \delta u + \left( \frac{\partial H}{\partial \lambda} - \dot{x} \right)^T \delta \lambda \,+\, \left( \frac{\partial H}{\partial x} + \dot{\lambda} \right)^T \delta x \right] \; d\tau</math>.

Il differenziale primo <math>\Delta J </math> è nullo se sono pari a zero tutte le variazioni. Si trovano, quindi, le '''equazioni di Eulero Lagrange'''

::<math>\frac{\partial H}{\partial u} = 0</math>

::<math>\dot{x} = \frac{\partial H}{\partial \lambda}</math>

::<math>\dot{\lambda} = - \frac{\partial H}{\partial x}</math>

e le '''condizioni di trasversalità'''

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::<math>H_f = -\frac{\partial \beta}{\partial t_f}</math>.

Il problema di ottimo si risolve perciò imponendo le equazioni soprascritte con le cosiddette condizioni di trasversalità che fanno le veci di [[Condizione al contorno|condizioni al contorno]]. A seconda dell'avere stato finale <math>x_f</math> e tempo finale <math>t_f</math> liberi o fissati si distinguono quattro diversi problemi di ottimo.

le veci di condizioni al contorno.

In base al fatto di avere stato finale <math>x_f</math> e tempo finale <math>t_f</math> liberi o fissati, si propongono quattro diversi problemi di ottimo.

==Controllo LQR==

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==Controllo ottimo a minima energia==

Utilizzato nel controllo di robot, è una strategia di controllo che permette di ottenere un segnale stabilizzante il sistema, (eventualmente capace di fare [[tracking asintotico]]), che '''minimizziminimizza il dispendio energetico''', e quindi i consumi. Poiché l'energia è funzione del segnale di controllo al sistema, in genere la u(t) sintetizzata è piccola in modulo.

==Controllo ottimo a minimo tempo==

Utilizzato nel controllo di robot, è una strategia di controllo che permette di ottenere un segnale stabilizzante il sistema, (eventualmente capace di fare [[tracking asintotico]]), che '''minimizziminimizza il tempo necessario per eseguire l'operazione'''. Poiché il [[tempo di salita]] necessario per arrivare a regime è [[funzione inversa]] del segnale di controllo al sistema, in genere lal'ingresso u(t) sintetizzatasintetizzato è grande in modulo. L'estremizzazione del controllo a minimo tempo è il controllo BANG-BANG nelin qualecui il controllo può assumere solo 3 valori: saturazione positiva, saturazione negativa e nullanullo.

== Bibliografia ==

*Colaneri P., Locatelli A., ''Controllo robusto in RH2/RH'', Pitagora, [[Bologna]], [[1993]].

*Marro G., ''Controlli automatici - 5ª edizione'', Zanichelli, [[2004]]

*K. Zhou, J. C. Doyle, K. Glover, ''Robust and optimal control'', Prentice Hall, [[1996]].

*P. Dorato, C. Abdallah, V. Cerone ''Linear quadratic control: an introduction'', Prentice Hall, [[1995]].

* [{{cita web|http://www.acadotoolkit.org |ACADO Toolkit - Open Source Toolkit for Automatic Control and Dynamic Optimization (C++, MATLAB interface available)]}}

==Voci correlate==

*[[Regolatore lineare quadratico]] (LQR)

*[[controlliControlli automatici]]

*[[sistemiSistemi dinamici]]

*[[Veicolo_ibrido#Gestione_dell.27energia| Gestione dell'energia nel veicolo ibrido]]

*[[Ottimo paretiano]]

*[[Principio di Pontryagin]]

== Collegamenti esterni ==

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