Quadrivettore: differenze tra le versioni

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In [[relatività ristretta]], unil '''quadrivettore''', (o '''tetravettore'') '''A''' è un vettore dello [[spazio-tempo di Minkowski]], rappresentato da una quadrupla di valori <math>({A}^{0},{A}^{1},{A}^{2},{A}^{3})</math> cheè nelleun trasformazionivettore di coordinate tra duedello [[sistemaspaziotempo di riferimento inerziale|riferimenti inerzialiMinkowski]]. rispetta le [[trasformazioni di Lorentz]].

Nelle trasformazioni di coordinate tra due [[sistemi di riferimento inerziali]] il quadrivettore rispetta le [[trasformazioni di Lorentz]] e le sue componenti si trasformano rispetto alla base standard dello spaziotempo di Minkowski come la differenza tra le rispettive coordinate spaziali e temporali. L'insieme delle rotazioni, traslazioni e cambi di coordinate tra due sistemi di riferimento inerziali alle quali sono soggetti i quadrivettori è il [[gruppo di Poincaré]].

In [[relatività generale]], il termine '''quadrivettore''' identifica un [[vettore]] dello [[spazio tangente]] allo [[spazio-tempo]] o anche, per estensione, un vettore dello [[spazio cotangente]]. Qui saranno descritti i quadrivettori in relatività ristretta: la relatività generale generalizza il concetto di quadrivettore, ma richiede delle modifiche ai risultati descritti in questo articolo.

==Definizione==

Nello [[spazio di Minkowski]] la [[norma]] quadratica di un quadrivettore è definita come:<ref>Qui si usa per la metrica la convenzione dei segni (-,+,+,+).</ref>

Un quadrivettore è una quadrupla di valori:

<math>\left|\mathbf A \right|^2 =-{{A}^{0}}^{2}+{{A}^{1}}^{2}+{{A}^{2}}^{2}+{{A}^{3}}^{2}</math>

:<math> \mathbf{X} := \left(X^0, X^1, X^2, X^3 \right) = \left(ct, x, y, z \right) </math>

Il modulo di un quadrivettore è per definizione [[Invariante di Lorentz|invariante per trasformazioni di Lorentz]], cioè è uno scalare.

che nella base standard dello spazio-tempo Minkowski rappresenta un ''evento''. I quattro valori sono le coordinate nello spazio e nel tempo dell'evento, in particolare <math>\mu </math>&nbsp;=&nbsp;0,&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;3, sono le componenti spaziali, e ''c'' è la [[velocità della luce]].

Il fatto che <math> X^0 = ct</math> garantisce inoltre che le componenti abbiano la stessa [[unità di misura]].<ref>Jean-Bernard Zuber & Claude Itzykson, ''Quantum Field Theory'', pg 5 , ISBN 0-07-032071-3</ref><ref>[[Charles W. Misner]], [[Kip Thorne|Kip S. Thorne]] & [[John Archibald Wheeler|John A. Wheeler]],''Gravitation'', pg 51, ISBN 0-7167-0344-0</ref><ref>[[George Sterman]], ''An Introduction to Quantum Field Theory'', pg 4 , ISBN 0-521-31132-2</ref>

Il quadrivettore spostamento:

:<math> \Delta \mathbf{X}:= \left(c\Delta t, \Delta x, \Delta y, \Delta z \right) </math>

è la distanza tra due punti dello spaziotempo.

Il raggio vettore che congiunge l'origine di un [[sistema di riferimento]] ad un evento qualsiasi dello spazio-tempo è l'esempio più elementare di quadrivettore; le sue componenti sono le coordinate nello [[spazio-tempo]] dell'evento in questione, cioè <math>(ct,x,y,z)</math>.

Il [[raggio vettore]] che congiunge l'origine di un [[sistema di riferimento]] ad un evento qualsiasi dello spazio-tempo è l'esempio più elementare di quadrivettore; le sue componenti sono le coordinate nello [[spazio-tempo]] dell'evento in questione, cioè (''ct'',''x'',''y'',''z'').

In genere i quadrivettori sono indicati in modo più economico e conveniente utilizzando la loro generica coordinata <math>{A}^{i}</math> <ref>Possono essere usati indici latini o greci; esistono due convenzioni opposte secondo cui l'indice greco assume i valori 0,1,2,3 e quello latino solo i valori "spaziali" 1,2,3, oppure viceversa.</ref>.

==Covarianza e controvarianza di un quadrivettore==

Gli indici in alto indicano che il quadrivettore è espresso nella sua forma [[componenti covarianti e controvarianti|controvariante]]; un quadrivettore controvariante è definito come una quaterna di valori che trasformano, nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale ad un altro, come le coordinate di un evento, cioè secondo le [[trasformazioni di Lorentz]]. Contraendo l'indice con uno degli indici del [[tensore metrico]] <math>\mathbf g</math> si ottiene l'espressione covariante del quadrivettore:

{{vedi anche|Covarianza e controvarianza}}

Gli indici in alto indicano che il quadrivettore è espresso nella sua forma controvariante: un quadrivettore controvariante è definito come una quaterna di valori che trasformano, nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale ad un altro, come le coordinate di un evento, cioè secondo le [[trasformazioni di Lorentz]]. Contraendo l'indice con uno degli indici del [[tensore metrico]] <math>g_{\mu \nu}</math> si ottiene l'espressione covariante del quadrivettore:

:<math>{A}_{\mu}=\sum_{\nu=0}^{3}{g}_{\mu \nu}{A}^{\nu}={g}_{\mu \nu}{A}^{\nu}</math>

dove nell'ultimo termine si è usata la [[notazione di Einstein|convenzione di Einstein]] che prevede la somma implicita sugli indici ripetuti; in questa somma <math>\nu</math> assume i valori da 0 a 3. L'operazione appena eseguita si chiama ''[[Innalzamento e abbassamento degli indici|innalzamento o abbassamento degli indici'']] ed è in realtà dovuta alle relazioni tra lo [[spazio tangente]] e il suo [[spazio duale]], lo [[spazio cotangente]].

Volendo esprimere l'ugualianzauguaglianza in termini matriciali, possiamo considerare ''A''<submath>&A_\mu;</submath> e ''A''<supmath>&A^\mu;</supmath> le componenti di due vettori colonna e ''g''<submath>&g_{\mu;& \nu;}</submath> le componenti di una matrice 4 <math>\times</math> 4 che rappresenta un'applicazione lineare:

:<math>\left( \begin{matrixpmatrix} A_0 \\ A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{matrixpmatrix} \right) =

\left( \begin{matrixpmatrix}

g_{00} & g_{01} & g_{02} & g_{03} \\

g_{10} & g_{11} & g_{12} & g_{13} \\

g_{20} & g_{21} & g_{22} & g_{23} \\

g_{30} & g_{31} & g_{32} & g_{33} \\

\end{matrixpmatrix} \right) \left( \begin{matrixpmatrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{matrixpmatrix} \right)</math>

In relatività ristretta laLa particolare forma (diagonale) del tensore metrico in [[relatività ristretta]] fornisce una facile regola per esprimere le componenti controvarianti di un quadrivettore in funzione di quelle covarianti, ovvero:

:<math>A_{\mu}=g_{\mu \nu} A^{\nu}= g_{\mu \mu} A^{\mu}= </math> con <math> g_{\leftmu \{mu} = \begin{matrixcases} -
1 & \mboxtext{se} \,\,\,} \mu=0 \\

-1 &\text{se } \mu=1,2,3

1 & \mbox{se} \, \mu=1,2,3 \end{matrix} \right.</math>

\end{cases}</math>

oppure, in forma matriciale:

:<math>\left( \begin{matrixpmatrix} A_0 \\ A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{matrixpmatrix} \right) =

\left( \begin{matrixpmatrix}

-1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & -1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & -1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & -1 \\

\end{matrixpmatrix} \right) \left( \begin{matrixpmatrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{matrixpmatrix} \right)=

\left( \begin{matrixpmatrix} -A^0 \\ -A^1 \\ -A^2 \\ -A^3 \end{matrixpmatrix} \right)

</math>

Nel passare dalla forma controvariante di un vettore alla sua forma covariante basta quindi cambiare di segno lale componentecomponenti temporalespaziali. Un quadrivettore covariante non trasforma secondo le trasformazioni di Lorentz, bensì come la derivataderivate di unouna funzione scalare: se <math>f(x^\mathbf smu)</math> è ununa invariante per trasformazionifunzione di Lorentzscalare, <math>{A}_{\mu}</math> ha le stesse leggi di trasformazione di <math> \frac{ds\partial f}{d\partial{x}^{i\mu}}</math>.

==Prodotto scalare==

Il prodotto scalare fra quadrivettori (controvarianti) tramite il tensore metrico può così essere scritto in forma semplificata come prodotto scalare euclideo fra un vettore covariante e uno controvariante:

{{vedi anche|Prodotto scalare}}

Il [[prodotto scalare]] fra quadrivettori può essere scritto tramite il tensore metrico in forma semplificata come prodotto scalare euclideo fra un vettore covariante e uno controvariante:

:<math> <\langle \mathbf AU , \mathbf BV >\rangle =\sum_{\mu=0}^3 \sum_{\nu=0}^{3}{g}_{\mu \nu} {AU}^{\mu} {BV}^{\nu}={AU}^{\mu}{g}_{\mu \nu}{BV}^{\nu}={AU}^{\mu}{BV}_{\mu}=\sum_{\mu=0}^{3}{AU}^{\mu}{BV}_{\mu}</math>.

In modo equivalente, usando la [[notazione di Einstein]]:

:<math>

\mathbf{U \cdot V}

= g_{\mu \nu} U^{\mu} V^{\nu}

= \begin{pmatrix}U^0 & U^1 & U^2 & U^3 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix}V^0 \\ V^1 \\ V^2 \\ V^3 \end{pmatrix}

= U^0 V^0 - U^1 V^1 - U^2 V^2 - U^3 V^3

</math>

Il prodotto scalare così definito è invariante sotto cambio di coordinate, e può essere scritto come:

:<math>\mathbf{U \cdot V} = U^*(\mathbf{V}) = U{_\nu}V^{\nu} </math>

==Norma==

{{vedi anche|Norma (matematica)}}

Nello [[spazio di Minkowski]] la norma quadratica di un quadrivettore è definita come:<ref>Qui si usa per la metrica la convenzione dei segni (-,+,+,+).</ref>

:<math>\left|\mathbf A \right|^2 =-{{A}^{0}}^{2}+{{A}^{1}}^{2}+{{A}^{2}}^{2}+{{A}^{3}}^{2}</math>

Il modulo di un quadrivettore è per definizione [[Invariante di Lorentz|invariante per trasformazioni di Lorentz]], cioè è uno scalare.

==Genere del quadrivettore==

Dato un quadrivettore <math>x^{\mu} = (ct, x^1, x^2, x^3)\;</math>, il suo modulo lorentziano è definito da:

Diversamente dal caso euclideo, si possono distinguere tre tipi diversi di vettori:

* di '''genere spazio''' se <math>\mathbf |A|^2<0</math>;

* di '''genere tempo''' se :<math>\mathbf |Ax|^2>0=g_{\mu \nu}x^{\mu}x^{\nu}</math>;

* '''nulli''' o '''isotropi''' o di '''genere luce''', se <math>\mathbf|A|^2=0</math>;

con la [[convenzione di Einstein]] sulla somma degli indici ripetuti, e dove la matrice <math>g_{\mu\nu}</math> è definita da:

:<math> g_{\mu \nu} = \begin{cases}

1 &\mbox{se } \mu = \nu = 0; \\

-1 &\mbox{se } \mu = \nu = 1, 2, 3; \\

0 &\mbox{altrimenti.}

\end{cases}

</math>

Diversamente dal caso euclideo, pertanto, si possono distinguere tre tipi diversi di vettori:

* Un quadrivettore è detto ''quadrivettore space-like'' o di ''tipo spazio'' se <math>\mathbf |x|^2<0</math>.

* Un quadrivettore è detto ''quadrivettore time-like'' o di ''tipo tempo'' se <math>\mathbf |x|^2>0</math>.

* Un quadrivettore è detto ''nullo'', ''isotropo'' o di ''genere luce'' se <math>\mathbf|x|^2=0</math>.

Il genere è invariante rispetto alle [[trasformazioni di Lorentz]].

==Note==

<references/>

==Bibliografia==

* {{cita libro |autore=[[Richard Feynman]]|titolo=[[La fisica di Feynman]]|città=Bologna|editore=Zanichelli|anno=2001|ISBN=978-88-08-16782-8}}:

** Vol I, par. 15-7: Quadrivettori

** Vol I, par. 17-4: Ancora sui quadrivettori

** Vol I, par. 17-5: Algebra dei quadrivettori

** Vol I, par. 17-5: Algebra dei quadrivettori

** Vol I, par. 34-7: Il quadrivettore ω, k

** Vol II, cap. 25: L'elettrodinamica nella notazione relativistica

** Vol II, cap. 26: Trasformazione di Lorentz dei campi

* {{Cita libro |titolo=Classical Electrodynamics |url=https://archive.org/details/classicalelectro0000jack_e8g9 |autore=John D Jackson |edizione=3rd Edition |editore=Wiley |anno=1999 |isbn=0-471-30932-X |cid= Jackson |lingua=en }}

== Voci correlate ==

* [[Altrove assoluto]]

*[[Spazio-tempo di Minkowski]]

* [[Quadriaccelerazione]]

*[[Altrove assoluto]]

* [[QuadrivelocitàQuadricorrente]]

* [[Quadrigradiente]]

{{relatività}}

* [[Quadrimpulso]]

[[Categoria:Teorie relativistiche]]

* [[Quadripotenziale]]

* [[Quadrivelocità]]

* [[Spazio-tempo di Minkowski]]

* [[Trasformazione di Lorentz]]

== Altri progetti ==

{{Interprogetto|wikt=quadrivettore}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|relatività}}

[[Categoria:Quadrivettori| ]]

[[ca:Quadrivector]]

[[cs:Čtyřvektor]]

[[de:Vierervektor]]

[[en:Four-vector]]

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[[uk:4-вектор]]

[[vi:Véctơ-4]]

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