Quadrivettore: differenze tra le versioni

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Un quadrivettore è una quadrupla di valori:

:<math> \mathbf{X} := \left(X^0, X^1, X^2, X^3 \right) = \left(ictct, x, y, z \right) </math>

che nella base standard dello spazio-tempo Minkowski rappresenta un ''evento''. I quattro valori sono le coordinate nello spazio e nel tempo dell'evento, in particolare <math>\mu </math>&nbsp;=&nbsp;0,&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;3, sono le componenti spaziali, e ''c'' è la [[velocità della luce]].

Il fatto che <math> X^0 = ictct</math> garantisce inoltre che le componenti abbiano la stessa [[unità di misura]].<ref>Jean-Bernard Zuber & Claude Itzykson, ''Quantum Field Theory'', pg 5 , ISBN 0-07-032071-3</ref><ref>[[Charles W. Misner]], [[Kip Thorne|Kip S. Thorne]] & [[John Archibald Wheeler|John A. Wheeler]],''Gravitation'', pg 51, ISBN 0-7167-0344-0</ref><ref>[[George Sterman]], ''An Introduction to Quantum Field Theory'', pg 4 , ISBN 0-521-31132-2</ref>

Il quadrivettore spostamento:

:<math> \Delta \mathbf{X}:= \left(icc\Delta t, \Delta x, \Delta y, \Delta z \right) </math>

è la distanza tra due punti dello spaziotempo.

Il raggio vettore che congiunge l'origine di un [[sistema di riferimento]] ad un evento qualsiasi dello spazio-tempo è l'esempio più elementare di quadrivettore; le sue componenti sono le coordinate nello [[spazio-tempo]] dell'evento in questione, cioè <math>(''ict''ct,''x'',''y'',''z'')</math>.

In genere i quadrivettori sono indicati in modo più economico e conveniente utilizzando la loro generica coordinata <math>{A}^{i}</math> <ref>Possono essere usati indici latini o greci; esistono due convenzioni opposte secondo cui l'indice greco assume i valori 0,1,2,3 e quello latino solo i valori "spaziali" 1,2,3, oppure viceversa.</ref>.

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==Covarianza e controvarianza di un quadrivettore==

{{vedi anche|Covarianza e controvarianza}}

Gli indici in alto indicano che il quadrivettore è espresso nella sua forma controvariante: un quadrivettore controvariante è definito come una quaterna di valori che trasformano, nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale ad un altro, come le coordinate di un evento, cioè secondo le [[trasformazioni di Lorentz]]. Contraendo l'indice con uno degli indici del [[tensore metrico]] <math>g_{\mathbfmu g\nu}</math> si ottiene l'espressione covariante del quadrivettore:

:<math>{A}_{\mu}=\sum_{\nu=0}^{3}{g}_{\mu \nu}{A}^{\nu}={g}_{\mu \nu}{A}^{\nu}</math>

dove nell'ultimo termine si è usata la [[notazione di Einstein|convenzione di Einstein]] che prevede la somma implicita sugli indici ripetuti; in questa somma <math>\nu</math> assume i valori da 0 a 3. L'operazione appena eseguita si chiama ''[[Innalzamento e abbassamento degli indici|innalzamento o abbassamento degli indici'']] ed è in realtà dovuta alle relazioni tra lo [[spazio tangente]] e il suo [[spazio duale]], lo [[spazio cotangente]].

Volendo esprimere l'ugualianzauguaglianza in termini matriciali, possiamo considerare ''A''<submath>μA_\mu</submath> e ''A''<supmath>μA^\mu</supmath> le componenti di due vettori colonna e ''g''<submath>μνg_{\mu \nu}</submath> le componenti di una matrice 4 <math>\times</math> 4 che rappresenta un'applicazione lineare:

:<math>\left( \begin{matrixpmatrix} A_0 \\ A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{matrixpmatrix} \right) =

\left( \begin{matrixpmatrix}

g_{00} & g_{01} & g_{02} & g_{03} \\

g_{10} & g_{11} & g_{12} & g_{13} \\

g_{20} & g_{21} & g_{22} & g_{23} \\

g_{30} & g_{31} & g_{32} & g_{33} \\

\end{matrixpmatrix} \right) \left( \begin{matrixpmatrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{matrixpmatrix} \right)</math>

La particolare forma (diagonale) del tensore metrico in [[relatività ristretta]] fornisce una facile regola per esprimere le componenti controvarianti di un quadrivettore in funzione di quelle covarianti, ovvero:

:<math>A_{\mu}=g_{\mu \nu} A^{\nu}= g_{\mu \mu} A^{\mu} </math> con <math> g_{\mu \mu} = \left\{ \begin{matrixcases} -
1 & \mboxtext{se } \,\,\, \mu=0 \\

-1 &\text{se } \mu=1,2,3

1 & \mbox{se} \, \mu=1,2,3 \end{matrix} \right.</math>

\end{cases}</math>

oppure, in forma matriciale:

:<math>\left( \begin{matrixpmatrix} A_0 \\ A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{matrixpmatrix} \right) =

\left( \begin{matrixpmatrix}

-1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & -1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & -1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & -1 \\

\end{matrixpmatrix} \right) \left( \begin{matrixpmatrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{matrixpmatrix} \right)=

\left( \begin{matrixpmatrix} -A^0 \\ -A^1 \\ -A^2 \\ -A^3 \end{matrixpmatrix} \right)

</math>

Nel passare dalla forma controvariante di un vettore alla sua forma covariante basta quindi cambiare di segno lale componentecomponenti temporalespaziali. Un quadrivettore covariante non trasforma secondo le trasformazioni di Lorentz, bensì come la derivataderivate di unouna funzione scalare: se <math>f(x^\mathbf smu)</math> è ununa invariantefunzione per trasformazioni di Lorentzscalare, <math>{A}_{\mu}</math> ha le stesse leggi di trasformazione di <math> \frac{ds\partial f}{d\partial{x}^{i\mu}}</math>.

==Prodotto scalare==

{{vedi anche|Prodotto scalare}}

Il [[prodotto scalare]] fra quadrivettori può essere scritto tramite il tensore metrico in forma semplificata come prodotto scalare euclideo fra un vettore covariante e uno controvariante:

:<math> \langle \mathbf U , \mathbf V \rangle =\sum_{\mu=0}^3 \sum_{\nu=0}^{3}{g}_{\mu \nu} {U}^{\mu} {V}^{\nu}={U}^{\mu}{g}_{\mu \nu}{V}^{\nu}={U}^{\mu}{V}_{\mu}=\sum_{\mu=0}^{3}{U}^{\mu}{V}_{\mu}</math>.

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\mathbf{U \cdot V}

= g_{\mu \nu} U^{\mu} V^{\nu}

= \left( \begin{matrixpmatrix}U^0 & U^1 & U^2 & U^3 \end{matrixpmatrix} \right)

\left( \begin{matrixpmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrixpmatrix} \right)

\left( \begin{matrixpmatrix}V^0 \\ V^1 \\ V^2 \\ V^3 \end{matrixpmatrix} \right)

= U^0 V^0 - U^1 V^1 - U^2 V^2 - U^3 V^3

</math>

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** Vol II, cap. 26: Trasformazione di Lorentz dei campi

* {{Cita libro |titolo=Classical Electrodynamics |url=https://archive.org/details/classicalelectro0000jack_e8g9 |autore=John D Jackson |edizione=3rd Edition |editore=Wiley |anno=1999 |isbn=0-471-30932-X |cid= Jackson |lingua=en }}

== Voci correlate ==

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* [[Trasformazione di Lorentz]]

== Altri progetti ==

{{Interprogetto|wikt=quadrivettore}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|relatività}}