Circuito RL: differenze tra le versioni

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== Circuito RL in evoluzione libera ==

[[File:Circuito RL.JPG|thumb|Circuito RL in evoluzione libera]]

[[File:Corrente RL libero.JPG|thumb|Andamento della corrente circolante in L per il circuito RL in evoluzione libera]]

Si chiama ''circuito RL'' in '''evoluzione libera''' il circuito mostrato in figura composto da una [[resistore|resistenza]] e da un [[induttore]] percorso da [[Corrente elettrica|corrente]]. Evoluzione libera significa che il circuito non ha sorgenti esterne di [[tensione elettrica|tensione]] o di [[Corrente elettrica|corrente]], e questi funziona con corrente alternata.<ref>{{Cita libro|nome=David J.|cognome=Griffiths|titolo=Introduction to Electrodynamics|url=http://dx.doi.org/10.1017/9781108333511|accesso=2021-06-22|data=2017-06-29|editore=Cambridge University Press|ISBN=978-1-108-42041-9}}</ref><ref>{{Cita libro|nome=Horowitz, Paul Hayes, Thomas|cognome=C.|titolo=The art of electronics|url=http://worldcat.org/oclc/938708695|accesso=2021-06-22|data=2001|editore=Cambridge Univ. Press|OCLC=938708695|ISBN=0-521-37095-7}}</ref>

Per trattare questo circuito è conveniente usare i teoremi che riguardano le correnti vista la dualità lineare del comportamento dei circuiti tra la tensione e la corrente.

Al tempo <math>t_0 = 0</math> la corrente aiche capiscorre diattraverso ''L'' è <math>i_L(0) \neq 0</math>, questa viene presa come condizione iniziale.

Applicando la [[Leggi di Kirchhoff|legge di Kirchhoff]] delle correnti, l'equazione del circuito è:

:(1) <math>\;\; i(t) + i_L(t) = 0 \; \rightarrow \frac{vV(t)}{R} + i_L(t) = 0</math>

dove <math>i(t)</math> è la [[corrente elettrica]] circolante. La relazione caratteristica dell'induttore è ben nota:

:(2) <math>\;\;vV(t) = L \cdot \frac{d i_L(t)}{dt}</math>

allora lal'equazione (1)del circuito diventa un'[[Equazione differenziale|equazione differenziale omogenea del primo ordine]]:

:(3) <math>\;\;\frac{L}{R} \cdot \frac{d i_L(t)}{dt} + i_L(t) = 0 \; \rightarrow \; \frac{d i_L(t)}{dt} + \frac{R}{L} i_L(t) = 0</math>

Dalla teoria delle equazioni differenziali la sua soluzione è:

:(4) <math>\;\;i_L(t) = i_L(0) \cdot e^{-t R/L}</math>

La tensione segue la:

:(5) <math>\;\;vV(t) = L \cdot \frac{di_L(t)}{dt} = - R \cdot i_L(0) \cdot e^{-t R/L}</math>

Al rapporto <math>\frac{L}{R} = \tau \, [s]</math> viene dato il nome di '''costante di tempo''' del circuito ed è una quantità caratteristica costante del circuito.

Fisicamente la quantitàtensione di corrente contenutaimmagazzinata nell'induttore, tramiteespressa ladalla relazione al momento iniziale, nel momento in cui l'interruttore T viene chiuso, viene scaricata entro il circuito: taleciò produce una corrente elettrica, siche dissipa completamente nella resistenza ''R'' l'energia che era immagazzinata nell'induttore; la corrente evolve secondo la legge (4):data ladalla correntesoluzione dell'equazione del circuito: essa tende esponenzialmente a zero per <math>t \to \infty</math>. Il tempo caratteristico di questa caduta di corrente è proprio determinato dalla costante di tempo: essa è il valore dell'istante per il quale la corrente prende il valore di:

:<math>i(\tau) = i(0)\frac{1}{e}</math>

== Circuito RL con generatore di corrente costante ==

[[File:Circuito RL con generatore costante.JPG|thumb|Circuito RL con generatore di corrente costante]]

[[File:RL generatore.JPG|thumb|Andamento della corrente circolante in L per il circuito RL con generatore di corrente costante]]

IpotizziamoIpotizzando che il generatore di corrente eroghi una corrente <math>I_0</math> costante nel tempo, possiamo scrivere l'[[Leggi di Kirchhoff|equazione di Kirchhoff]] delle tensionicorrenti:

:(6) <math>\quad I_0 = i(t) + i_L(t) = \frac{vV(t)}{R} + i_L(t)</math>

dove <math>vV(t)</math> è la [[tensione elettrica|tensione]]. Sostituendo lanella precedente relazione l'equazione caratteristica dell'induttore (2), la (6)si diventaottiene un'[[Equazione differenziale|equazione differenziale non omogenea del primo ordine]]:

:(7) <math>\quad I_0 = \frac{L}{R} \cdot \frac{d i_L(t)}{dt} + i_L(t) \; \rightarrow \; \frac{d i_L(t)}{dt} + \frac{1}{\tau} i_L(t) = \frac{I_0}{\tau}</math>

dove <math>\tau = \frac{L}{R}</math> è alla costante di tempo del circuito. Dalla teoria delle equazioni differenziali la sua soluzione è:

:(8) <math>\;\; i_L(t) = \left(i_L(0) - I_0 \right) \cdot e^{-t /\tau} + I_0</math>

La tensione segue la:

:(9) <math>\;\;vV(t) = L \cdot \frac{di_L(t)}{dt} = - R \cdot (i_L(0) - I_0) \cdot e^{-t / \tau}</math>

Fisicamente la presenza della corrente costante del generatore induce che la corrente ai capi di ''L'' <math>i_L(t)</math> cresca esponenzialmente partendo da <math>i_L(t=0) = i_L(0)</math> fino a tendere al valore della corrente costante del generatore. Dunque per <math>t \to \infty</math> si ha che <math>i_L(t) \to I_0</math>. Viceversa la tensione indotta nel circuito è esponenzialmente decrescente da un valore iniziale <math>R \cdot i_L(0)</math> fino a tendere al valore costante <math>V_0 = R I_0</math>.

Line 65 ⟶ 61:

Quando al tendere di <math>t \to \infty</math> la corrente <math>i_L(t) \to I_0 = cost</math>, il circuito si comporta come un [[corto circuito]]. A regime di corrente costante un qualsiasi circuito composto da un numero arbitrario di resistenze e di generatori di corrente costanti e da un induttore può essere quantitativamente studiato utilizzando questa proprietà, cioè supponendo che il circuito in corrispondenza dell'induttore sia in corto circuito.

In particolare la risposta del circuito RL ad una corrente costante è composta di due parti: il termine

:<math>\left(i_L(0) - I_0 \right) e^{-t/ \tau}</math> si chiama risposta transitoria o transiente del circuito;

:è detto risposta transitoria o transiente del circuito, mentre il termine <math>I_0</math> siè chiamala risposta permanente o a regime del circuito.

== Circuito RL con rispostageneratore aldi gradinocorrente ecostante all'ondaa quadratratti ==

=== Risposta del circuito RL al gradino ===

{{vedi anche|Funzione gradino}}

Prendiamo un segnale a gradino del tipo:

Line 77 ⟶ 75:

:<math>u(t) = \begin{cases}0 & \mbox{per } t < 0 \\ 1 & \mbox{per } t > 0 \end{cases}</math>

come in figura. Il calcolo della corrente ai capi di ''L'' è data per <math>t > 0</math>:

:<math>i_L (t) = V_0I_0 \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}} \right)</math>

Ovviamente invece che a <math>t = 0</math> si può scegliere qualsiasi istante <math>t_0</math> con le modifiche conseguenti:

Line 87 ⟶ 85:

Il calcolo della corrente ai capi di ''L'' è data per <math>t > t_0</math>:

:<math>i_L (t) = V_0I_0 \left(1 - e^{-\frac{t-t_0}{\tau}} \right) \cdot u(t-t_0)</math>

Si vede dalla seconda figura che laLa corrente ai capi di ''L'' per <math>t < t_0</math> è nulla, per <math>t > t_0</math> cresce esponenzialmente esattamente come se vi fosse un generatore costante <math>I_0 = u(t > t_0) = 1 \cdot I_0</math>, nella figura si mostra il valore <math>u(t - t_0)</math> poiché è immediato che si può applicare il gradino a qualsiasi <math>I_0</math>.:

:<math>I_0 = u(t > t_0) = 1 \cdot I_0</math>

=== Risposta del circuito RL all'onda quadra ===

{{vedi anche|Onda quadra}}

Applicando un segnale periodico a gradino si ha un'onda quadra:

:<math>i(t) = I_0 [u(t_i) - u(t_j)] \ </math>

la risposta del circuito RL è:

Line 99 ⟶ 102:

:<math>i_L (t) = I_0 \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}} \right)</math>

ma bisogna distinguere i casi in cui <math>t < t_0</math> e <math>t > t_0</math>, cioè bisogna distinguere iltra fatto che sequando la durata dell'impulso <math>(t-t_0)</math> è abbastanza lunga da permettere all'induttore di caricarsi quasi totalmente e quando invece questo non avviene. In pratica, poiché la costante di tempo determina tutte le caratteristiche del circuito, bisogna vedereverificare se <math>\tau << t_0</math> oppure <math>\tau >> t_0</math>, come nella terza figura a lato.

== Circuito RL rispostaRisposta in frequenza del circuito RL ==

{{vedi anche|Risposta in frequenza}}

Vediamo come si comporta il circuito RL applicando un generatore di onda sinusoidale. In questo caso possiamo applicare la legge di Kirchhoff per il circuito:

:<math>I_0 \sin (\omega t) = \frac{vV(t)}{R} + i_L (t)</math>

con gli stessi ragionamenti fatti all'inizio possiamo riscrivere l'equazione come:

Line 121 ⟶ 125:

e una soluzione particolare:

:<math>K \sin (\omega t + \theta) \ </math>

dove K è una costante. Dunque:

Line 127 ⟶ 131:

:<math>i_L(t) = i_L(0) e^{-\frac{t}{\tau}} + K \sin (\omega t + \theta)</math>

Anche in questo caso abbiamo una risposta transitoria data dall'esponenziale, la quale in un primo tempo, prevale sulla risposta permanente, data da un'altra sinusoide. Perciò per la durata del periodo di transizione la corrente ai capi di ''L'' prevale l'esponenziale e quindi essa si discosta dalla corrente sinusoidale di ingresso, dopo la fase transitoria la corrente ritorna ad essere una sinusoide con uguale pulsazione della corrente di ingresso. L'analisi di questo circuito può anche essere fatta per mezzo del [[metodo simbolico]] utilizzando i [[Fasore|fasori]], sostituendo alle grandezze sinusoidali il loro corrispondente fasore: i risultati sono identici, in quanto vige la [[Legge di Ohm|legge di Ohm simbolica]] anche per regimi sinusoidali. In alternativa si può usare il [[metodo operatoriale]] più generale della [[trasformata di Laplace]].<ref>{{Cita libro|nome=Cicogna,|cognome=Giampaolo|titolo=Metodi matematici della Fisica|url=http://worldcat.org/oclc/1194520151|accesso=2021-06-22|data=2015|editore=Springer|OCLC=1194520151|ISBN=978-88-470-5684-8}}</ref>

== Metodo simbolico per la risposta in frequenza ==

=== Metodo simbolico per la risposta in frequenza ===

Utilizzando il metodo simbolico:

:<math>\frac{\mathbfbar{I}_L}{j \omega L} + \frac{1}{\tau} \mathbfbar{I}_L = \frac{1}{\tau} I_0</math>

da cui si ricava subito la corrente di uscita ai capi dell'[[induttore]]:

:<math>\mathbfbar{I}_L = \frac{I_0 j \omega \tau}{1 + j \omega \tau}</math>

Poiché generalmente questa è una grandezza complessa, essa varia in modulo e argomento:

:<math>|\mathbfbar{I}_L| = \frac{I_0 \omega \tau}{\sqrt{1 + \omega^2 \tau^2}}</math>

:<math>arg \mathbfbar{I}_L = ...</math>

Per ritornare all'analisi nel tempo dobbiamo risostituire il modulo e l'argomento:

:<math>i_L(t) = |\mathbfbar{I}_L| \cdot arg \mathbfbar{I}_L = \frac{I_0 \omega \tau}{\sqrt{1 + \omega^2 \tau^2}} \sin( \omega t - ...)</math>

Da questa ricaviamo le altre informazioni sul circuito:

:<math>v_LV_L(t) = L \cdot \frac{di_L(t)}{dt} = - \frac{\omega L I_0}{\sqrt{1 + \omega^2 \tau^2}} \sin( \omega t - ...)</math>

:<math>i_R(t)= \frac{v_LV_L(t)}{R} = \frac{R I_0}{\sqrt{1 + \omega^2 \tau^2}} \sin( \omega t - ...)</math>

Si vede che il legame tra la corrente di uscita e quella di ingresso è del tipo:

:<math>\mathbfbar{I}_u = \mathbfbar{H}(j\omega) \cdot \mathbfbar{I}_i</math>

in generale <math>\mathbfbar{H}</math> è chiamata [[funzione di rete]] o di trasferimento ed è sempre una funzione reale di variabile complessa <math>j \omega</math>. La sola funzione di rete permette di riconoscere per mezzo del modulo di <math>\mathbfbar{H}</math> e del suo argomento, la risposta del circuito in regime variabile sinusoidale (o periodico in generale). Nel circuito RL in questione l'andamento del modulo e dell'argomento della funzione di rete è in figura (??). Il valore per cui:

:<math>|\mathbfbar{H}| = \frac{1}{\sqrt{2}} = ...</math>

cioè:

Line 167 ⟶ 170:

:<math>\omega_t = \frac{1}{\tau}</math>

è chiamata '''pulsazione di taglio''' (a volte anche detta [[frequenza di taglio]] impropriamente ma intuitivamente poiché <math>\omega = 2 \pi f</math>) del circuito: dalla quale si possono dedurre le proprietà filtranti del circuito. Infatti per <math>\omega = \omega_t</math> il modulo e l'argomento di <math>\mathbfbar{H}</math> sono:

:<math>|\mathbfbar{H}| = \frac{1}{\sqrt{2}} \mbox{ e } arg \mathbfbar{H} = - 45</math>

al di sotto di questa frequenza cioè per <math>\omega < \omega_t</math>:

:<math>|\mathbfbar{H}| \approx 0 \mbox{ e } arg \mathbfbar{H} \approx -90</math>

ciò indica che la risposta è praticamente azzerata con sfasamento massimo. Per <math>w \to \infty</math>, cioè per tutte le frequenze al di sopra della frequenza di taglio:

:<math>|\mathbfbar{H}| \approx 1 \mbox{ e } arg \mathbfbar{H} \approx 0</math>

quindi il segnale di uscita viene trasmesso pressoché identico a quello di ingresso con sfasamento nullo. Il circuito RL è un [[filtro passa alto]], per questo motivo.

Un altro modo è quello di usare la [[metodo operatoriale]] al circuito RL che trasforma le equazioni differenziali (e integrali) in equazioni algebriche.

== Note ==

<references />

== Voci correlate ==

* [[Circuito RC]]

* [[pt:Circuito RLLC]]

* [[Circuito RLC]]

* [[Metodo simbolico]]

Line 191 ⟶ 198:

* [[Extracorrente di apertura]]

{{portalePortale|elettrotecnica|fisica}}

{{portale|elettrotecnica|fisica}}

[[Categoria:Teoria dei circuiti]]

[[ar:دائرة مقاومة وملف]]

[[en:RL circuit]]

[[eo:RL-cirkvito]]

[[fr:Circuit RL]]

[[pt:Circuito RL]]

[[ru:LR цепь]]

[[vi:Mạch điện RL]]