Cicloide: differenze tra le versioni

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In [[geometria]], la '''cicloide''' (dal greco ''kykloeidésκυκλοειδής'' (kykloeidès), formato da ''kýklosκύκλος'' (kýklos) "cerchio" e -''oeidésειδής'' '(-eidès),<ref>{{Cita libro|autore=Lorenzo Rocci|titolo=Vocabolario Greco Italiano|edizione=37|anno=1993|editore=Società editrice Dante Alighieri|p=1100}}</ref> suffisso, "simile a, a forma' di", cioè che è fatto daa unforma di cerchio, circolare)<ref>{{Cita web|url=https://www.treccani.it/vocabolario/cicloide3/|titolo=Ciclòide³ - Significato ed etimologia - Vocabolario|sito=Treccani|lingua=it|accesso=2024-08-11}}</ref> è una [[curva piana]] appartenente alla categoria delle [[rulletta (meccanica)|rullette]]. Essa è la curva tracciata da un [[punto fisso]] su una [[circonferenza]] che ''rotola ''(senza strisciare) lungo una retta;<ref>{{Cita web|url=https://www.openstarts.units.it/server/api/core/bitstreams/ca630748-a787-479c-bb4a-bb6d0a949d77/content|titolo=Curve celebri: catenaria, cicloide, spirali|sito=openstarts.units.it}}</ref> in pratica, il disegno compostoformato da un punto su una ruota di bicicletta in movimento su un tratto piano.

[[File:Cycloid f.gif|miniatura|Una cicloide (in rosso) è generata da un punto fisso su una circonferenza (in blu) che rotola su una retta.|400x400px]]

== Storia ==

[[File:La Loubère, Antoine – Veterum geometria promota in septem de cycloide libris, 1660 – BEIC 865250.jpg|thumb|''Veterum geometria promota in septem de cycloide libris'' del 1660, in cui [[Antoine de Lalouvère]] proponeva una soluzione errata dei problemi di Pascal sul cicloide.]]

La cicloide fu studiata per la prima volta da [[Nicola Cusano]] e ricevette il suo nome nel [[1599]] da [[Galileo Galilei|Galileo]]. Si dedicarono allo studio di questa curva anche [[Evangelista Torricelli|Torricelli]], [[Blaise Pascal|Pascal]], [[Pierre de Fermat|Fermat]], [[René Descartes|Cartesio]], [[Christiaan Huygens|Huygens]], [[Johann Bernoulli|Bernoulli]] e [[Isaac Newton|Newton]].

== Proprietà geometriche ==

* L'[[evoluta]] e l'[[involuta]] della cicloide sono a loro volta due cicloidi traslate, ma per il resto identiche.<ref>{{Cita web|url=https://people.dimai.unifi.it/ottaviani/tesi/tesi_irene_vezzosi.pdf|titolo=Le curve piane e le proprietà della cicloide|sito=people.dimai.unifi.it|p=37}}</ref>

* È la curva che risolve il [[problema della tautocrona]] ovvero le oscillazioni sudi un arcopendolo ([[pendolo di Huygens]]) il cui filo si appoggia a destra e a sinistra su archi di cicloide sono esattamente [[isocronia|isocrone]] (e non solo approssimativamente come in un [[pendolo|pendolo semplice]]).<ref name=":0">{{Cita web|url=https://www.matematicamente.it/storia/Di_Rienzo-Cicloide.pdf|titolo=La cicloide|sito=matematicamente.it}}</ref>

* Risolve il [[problema della brachistocrona]] ovvero la curva su cui una massa che scivola impiega menoun tempo minimo per percorrere il tragitto fra due punti dati è un arco di cicloide.<ref name=":0" />

== Relazioni con la circonferenza ==

Le dimensioni di una cicloide sono strettamente legate a quella della circonferenza generatrice:

# l'altezza massima dell'arco è pari al suo [[diametro]];

# la [[lunghezza di un arco]] di cicloide è quattro volte il diametro<ref>Questa proprietà fu dimostrata da [[Christopher Wren]] nel [[1658]], consecutivamente ad una sfida lanciata dal [[Blaise Pascal|Pascal]] agli altri matematici dell'epoca.</ref>, che è pari all'altezza massima dell'arco, per cui: <math>4h</math>;

# la base sottostante l'arco è pari alla circonferenza<ref>Questa semplice e forse banale proprietà fu la prima formalizzata da padre [[Marin Mersenne|Mersenne]].</ref>, ovvero: <math>\pi h</math>;

# l'area compresa fra un arco di cicloide e la base è tre volte l'area del cerchio.

=== Area ===

L'area sottostante la cicloide è pari a <math>3</math> volte l'area del cerchio generatore; tale equivalenza era già sospettata da [[Galileo Galilei|Galileo]], il quale, non riuscendo a misurare per via teorica l'area, la riscontrò per via fisica, pesando materialmente dei pezzi di metallo ritagliati secondo la sagoma della curva e della circonferenza generatrice.<ref>Erman{{Cita Diweb Rienzo,| ''Premessa''url in= ''[httphttps://lnxre.matematicamentepublic.polimi.it/storiaretrieve/Di_Rienzoe0c31c08-Cicloide56c7-4599-e053-1705fe0aef77/MN_cicloide_Parte2.pdf | titolo = La cicloide, o la bella Elena della matematica]'' | autore = Paola Magnaghi-Delfino Tullia Norando | accesso = 20 febbraio 2023 }}</ref>. Galileo dedusse, così, per via empirica che il rapporto doveva essere prossimo a <math>3:1</math>, ma rifiutò la sua prima [[intuizione]] forse ritenendo tale rapporto troppo semplice<ref>Benché allora non fosse ancora nota la [[Numero trascendente|trascendenza]] del [[π]], erano già largamente note le difficoltà circa la sua approssimazione e anche quelle riguardanti la [[quadratura del cerchio]]; non devono quindi stupire le perplessità del matematico pisano posto dinanzi a un numero così "tondo".</ref>, e anzi si convinse persino dell'erroneità della sua prima impressione dopo ununa serie di errori accidentali in successivi studi e misurazioni.

L'esattezza della relazione tra le due aree fu invece dimostrata, dopo la sua morte, dall'allievo [[Evangelista Torricelli|Torricelli]] e, quasi contemporaneamente da altri matematici, tra cui [[Gilles Personne de Roberval|Roberval]]. È possibile offrire la facile dimostrazione data da Torricelli attraverso il metodo degli [[Infinitesimo|infinitesimi]].

== Forma matematica ==

In rappresentazione parametrica la cicloide puzzona passante per l'origine generata da un cerchio di raggio <math>r</math> è data da:

:<math>\left\{ \, \begin{matrix} x = r \left ( t - \sin t \right ) \\ y = r \left ( 1 - \cos t \right ) \end{matrix} \right. </math>.

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== Bibliografia ==

* {{cita libro|autore-capitolo-cognome=Gardner |autore-capitolo-nome=Martin |wkautore-capitolo=Martin Gardner |titolo=Martin Gardner's Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American|anno=1971|lingua=inglese|isbn=0-226-28250-3|pp=127-134|capitolo=The Cycloid: Helen of Geometry}}

== Voci correlate ==

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* [[Rulletta]]

* [[Applicazione della cicloide]]

* [[Brachistocrona]]

* [[Curva tautocrona]]

== Altri progetti ==

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== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{MathWorld|Cycloid|Cycloid}}

* {{cita web|1=http://web.liceobellinzona.ch/materie/Matematica/parametriche/prova.html|2=Cicloidi, epicicloidi, ipocicloidi, trocoidi|autore=R. Tartini|sito=Liceo di Bellinzona|accesso=20 maggio 2021|urlarchivio=https://archive.is/20130701014621/http://web.liceobellinzona.ch/materie/Matematica/parametriche/prova.html|dataarchivio=1 luglio 2013}}

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|matematica}}