Forma indeterminata: differenze tra le versioni

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Nella [[matematica]], e in particolare nel [[calcolo infinitesimale]], le scritture:<ref>Il simbolo <math>\infty</math>, senza segno davanti è qui da leggersi "±<math>\pm\infty</math>", cioè "<math>+\infty</math> oppure <math>-\infty</math>", mentre il simbolo <math>+\infty</math> indica solo "più infinito". Ad esempio la forma "<math>\frac{\infty}{\infty}</math>" è da leggersi: "<math>\frac{+\infty}{+\infty}</math> oppure <math>\frac{+\infty}{-\infty}</math> oppure <math>\frac{-\infty}{+\infty}</math> oppure <math>\frac{-\infty}{-\infty}</math>". Con questa convenzione, la forma "<math>+\infty-\infty</math>" va scritta col segno davanti, in quanto "<math>+\infty-\infty</math>" è una forma indeterminata, ma "<math>-\infty-\infty</math>" non è una forma indeterminata, quindi, in questo caso, il segno "+" davanti al simbolo di infinito è necessario.</ref>

:<math>\frac{0}{0}, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad 0\cdot\infty, \qquad 1^\infty, \qquad 0^0, \qquad \infty^0, \qquad +\infty-\infty ,</math>

individuano le cosiddette '''forme indeterminate''', che sono collezioni di [[Funzione (matematica)|funzioni]] di una [[Variabile (matematica)|variabile]] [[Numero reale|reale]] esprimibili [[Composizione di funzioni|componendo]] (mediante una moltiplicazione, una divisione o un elevamento a potenza) due funzioni di variabile reale ''<math>f''(''x'')</math> e ''<math>g''(''x'')</math> aventi un determinato comportamento quando la variabile tende a un valore finito o infinito di aderenza per entrambi i [[Dominio e codominio|domini]] delle funzioni.

Consideriamo in particolare la prima delle forme sopra introdotte; la funzione

:<math>\frac{f(x) \over }{g(x)}</math>

relativamente al tendere della variabile ''<math>x''</math> ad un opportuno elemento ''x''<submath>0x_0</submath> dell'[[Insieme reale esteso|insieme dei reali esteso]] <math>\R^* = \R \cup \{-\infty,+\infty\}</math>, si attribuisce alla forma <math>\fractfrac{0}{0} </math> se ''<math>f''(''x'')</math> e ''<math>g''(''x'')</math> tendono entrambe a <math>0</math> quando <math>x</math> tende a <math>x_0</math>.

0 quando ''x'' tende a ''x''₀.

Può accadere che questa funzione rapporto si avvicini a un qualsiasi numero reale, a <math>+&infin;\infty</math> o a &minus;&infin;<math>-\infty</math>, oppure che non riesca a convergere ad alcun punto sulla [[retta reale estesa]]; il suo comportamento dipende dalle caratteristiche delle funzioni ''<math>f''</math> e ''<math>g''</math> in vicinanza di ''x''<submath>0x_0</submath>.

Ad esempio:

:<math>\lim_{x\rightarrow 0to0}\frac{\sin(x)\over x}{x}=1</math>

mentre:

:<math>\lim_{x\rightarrow 49to49}\frac{x-49\over}{\sqrt{x}\,-7}

=\lim_{x\rightarrow 49to49}\frac{\left(\sqrt{x}\,-7\right)\left(\sqrt{x}\,+7\right)\over}{\sqrt{x}\,-7} = 14 </math>

La sostituzione diretta delle funzioni a [[numeratore]] e a [[denominatore]] con i corrispondenti limiti per entrambeentrambi i precedenti rapporti, porta ad attribuire la funzione alla forma indeterminata <math>\tfrac{0/}{0}</math>, mentre i [[limite di una funzione|limiti]] di entrambi i rapporti esistono effettivamente e sono uguali a <math>1</math> e <math>14</math> rispettivamente.

Per altri rapporti che appartengono alla stessa forma indeterminata il limite non esiste.

Osservazioni simili valgono per le altre forme indeterminate indicate in precedenza.

In molti casi, qualche semplificazione algebrica, la [[regola di deDe L'Hôpital]], o altri metodi possono essere usati per semplificare l'espressione fino ad un punto nel quale si riesce a valutare il limite.

Il calcolo dei [[Limite notevole|limiti notevoli]] può essere inoltre svolto o semplificato grazie alla [[stima asintotica]].

Si noti che per qualsiasi <math>a</math> non nullo <math>a^0</math> e <math>\tfrac{a}{0}</math> (si veda [[Divisione per zero]]) non sono forme indeterminate.

== Risoluzione con la regola di de l'Hôpital ==

{{vedi anche|Regola di de l'Hôpital}}

== Risoluzione con la regola di deDe l'Hôpital ==

La [[regola di de l'Hôpital]] permette di risolvere direttamente le forme indeterminate sotto forma di quoziente, ovvero <math>\frac{0}{0}</math> e <math>\frac{\infty}{\infty}</math>. In pratica si procede derivando il numeratore e il denominatore. Se esiste il limite di questo nuovo quoziente, allora esisterà anche il limite del quoziente originale e i due limiti sono uguali. Se invece il nuovo quoziente converge a sua volta ad una forma indeterminata, si può ripetere l'operazione calcolando la seconda derivata e così via. La non esistenza del limite del quoziente delle derivate comunque non implica la non esistenza del limite del quoziente originale.

{{vedi anche|Regola di deDe l'Hôpital}}

La [[regola di deDe l'Hôpital]] permette di risolvere direttamente le forme indeterminate sotto forma di quoziente, ovvero <math>\frac{0}{0}</math> e <math>\frac{\infty}{\infty}</math>. In pratica si procede derivando il numeratore e il denominatore. Se esiste il limite di questo nuovo quoziente, allora esisterà anche il limite del quoziente originale e i due limiti sono uguali. Se invece il nuovo quoziente converge a sua volta ad una forma indeterminata, si può ripetere l'operazione calcolando la seconda derivata e così via. La non esistenza del limite del quoziente delle derivate comunque non implica la non esistenza del limite del quoziente originale.

Nel caso in cui ci si trovi davanti ad una forma indeterminata che non sia sotto forma di quoziente, è possibile applicare la regola di de l'Hôpital previa trasformazione della forma indeterminata in un quoziente.

In particolare, la tabella seguente mostra le varie trasformazioni che si applicano per risolvere forme di indeterminazione con il teorema di De l'HopitalHôpital:

{| class="wikitable"

Riga 47:

|'''Trasformazione'''

|-

|<math>\lim \frac{f(x)/}{g(x)}</math>

|<math>\lim f(x)=0</math>, <math>\lim g(x)=0</math>

|<math>\frac{0}{0}</math>

|''non necessaria''

|-

|<math>\lim \frac{f(x)/}{g(x)}</math>

|<math>\lim f(x)=\pm\infty</math>, <math>\lim g(x)=\pm\infty</math>

|<math>\pm\frac{\infty}{\infty}</math>

Riga 66:

|<math>\lim f(x)=1</math>, <math>\lim g(x)=\infty</math>

|<math>1^{\infty}</math>

|<math>e^{\left(\lim \frac{\ln f(x)}{1/g(x)}\right)}</math>

|-

|<math>\lim f(x)^{g(x)}</math>

|<math>\lim f(x)=0</math>, <math>\lim g(x)=0</math><ref>[http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/ sci.math FAQ: What is 0^0?<!-- Titolo generato automaticamente -->]</ref>

|<math>0^0</math>

|<math>e^{\left(\lim \frac{\ln f(x)}{1/g(x)}\right)}</math>

|-

|<math>\lim f(x)^{g(x)}</math>

|<math>\lim f(x)=\infty</math>, <math>\lim g(x)=0</math>

|<math>\infty^0</math>

|<math>e^{\left(\lim \frac{\ln f(x)}{1/g(x)}\right)}</math>

|-

|<math>\lim (f(x)-{g(x))}</math>

|<math>\lim f(x)= + \infty</math>, <math>\lim g(x)= + \infty</math>

|<math>+\infty-\infty</math>

|<math>\ln \left(\lim \frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}}\right)</math>

|-

|}

== Limite notevole del tipo <math>\infty∞/∞ \overper \infty</math>frazioni polinomiali ==

Consideriamo la successione:

:<math>{P_p(n) \over Q_q(n)} </math> <math>= {{a_pn^p + a_{p-1}n^{p-1}+ ...\ldots +a_1n + a_0} \over {b_qn^q + b_{q-1}n^{q-1}+ ...\ldots +b_1n + b_0}}</math>

quoziente di due [[polinomio|polinomi]] di grado ''<math>p''</math> e ''<math>q''</math>. Vogliamo studiare il caso in cui si presenta una forma indeterminata

<math>\infty tfrac{\over infty}{\infty}</math> .

Raccogliendo <math>n^p</math> al numeratore e <math>n^q</math> al denominatore si ha:

:<math> n ^ {p-q} {{a_p + a_{p-1}n^{-1} + ...\ldots +a_1n^{1-p}+a_0n^{-p}} \over {b_pb_q + b_{pq-1}n^{-1} + ...\ldots +b_1n^{1-pq}+b_0n^{-pq}}}</math>

cioè:

:<math> n^ {p-q}c_n</math>

dove:

:<math>c_n = {{a_p + a_{p-1}n^{-1} + ...\ldots +a_1n^{1-p}+a_0n^{-p}} \over {b_pb_q + b_{pq-1}n^{-1} + ...\ldots +b_1n^{1-pq}+b_0n^{-pq}}}</math>

poiché <math>n^{-k} \rightarrowto 0 </math> qualunque sia <math>k \in \N</math> non nullo si ha:

:<math>a_n = {{P_p(n)} \over {Q_q(n)}}</math> vale:

* <math>{a_p \over b_q}</math> \ \mathbf{se} \ <math>p = q</math>

* segno <math>\mathrm{segno} \left( {a_p \over b_q} \right) \infty</math> \ \mathbf{se} \ <math>p > q</math>

* <math>0</math> \ \mathbf{se} \ <math>p < q</math>

poiché <math> n ^ {p-q} </math> vale:

* <math>1</math> \ \mathbf{se} \ <math>p = q;</math>

* <math>+ \infty</math> \ \mathbf{se} \ <math>p \ge q;</math>

* <math>0</math> \ \mathbf{se} \ <math>p \le q.</math>

== Note ==

Riga 122:

== Voci correlate ==

*[[Limite notevole]]

*[[Tavola dei limiti notevoli]]

*[[Limite (matematica)|Limite]]

*[[Stima asintotica]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* [{{cita web|http://www.ripmat.it/mate/c/cd/cdg.html |Forme indeterminate e dimostrazioni]}}

* [http://www.matematicaeliberaricerca.com/lezioni_free/limiti/39_limite_free.htm Calcolo di limiti che si presentano in forma indeterminata]

* {{cita web | 1 = http://www.matematicaeliberaricerca.com/lezioni_free/limiti/39_limite_free.htm | 2 = Calcolo di limiti che si presentano in forma indeterminata | accesso = 22 gennaio 2008 | urlarchivio = https://web.archive.org/web/20080131163508/http://www.matematicaeliberaricerca.com/lezioni_free/limiti/39_limite_free.htm | dataarchivio = 31 gennaio 2008 | urlmorto = sì }}

{{analisi matematica}}

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[[Categoria:Limiti]]

[[ar:صيغة غير معينة]]

[[de:Unbestimmter Ausdruck (Mathematik)]]

[[en:Indeterminate form]]

[[es:Forma indeterminada]]

[[fi:Epämääräinen muoto]]

[[fr:Indétermination de la forme 0/0]]

[[pl:Symbol nieoznaczony]]

[[ro:Nedeterminare]]

[[ru:Раскрытие неопределённостей]]

[[zh:未定式]]