Forma indeterminata: differenze tra le versioni

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Nella [[matematica]], e in particolare nel [[calcolo infinitesimale]], le scritture:<ref>Il simbolo <math>\infty</math>, senza segno davanti è qui da leggersi "<math>\pm\infty</math>", cioè "<math>+\infty</math> oppure <math>-\infty</math>", mentre il simbolo <math>+\infty</math> indica solo "più infinito". Ad esempio la forma "<math>\frac{\infty}{\infty}</math>" è da leggersi: "<math>\frac{+\infty}{+\infty}</math> oppure <math>\frac{+\infty}{-\infty}</math> oppure <math>\frac{-\infty}{+\infty}</math> oppure <math>\frac{-\infty}{-\infty}</math>". Con questa convenzione, la forma "<math>+\infty-\infty</math>" va scritta col segno davanti, in quanto "<math>+\infty-\infty</math>" è una forma indeterminata, ma "<math>-\infty-\infty</math>" non è una forma indeterminata, quindi, in questo caso, il segno "+" davanti al simbolo di infinito è necessario.</ref>

:<math>\frac{0}{0}, \qquad \frac{\infty}{\infty}, \qquad 0\cdot\infty, \qquad 1^\infty, \qquad 0^0, \qquad \infty^0, \qquad +\infty-\infty ,</math>

individuano le cosiddette '''forme indeterminate''', che sono collezioni di [[Funzione (matematica)|funzioni]] di una [[Variabile (matematica)|variabile]] [[Numero reale|reale]] esprimibili [[Composizione di funzioni|componendo]] (mediante una moltiplicazione, una divisione o un elevamento a potenza) due funzioni di variabile reale ''<math>f''(''x'')</math> e ''<math>g''(''x'')</math> aventi un determinato comportamento quando la variabile tende a un valore finito o infinito di aderenza per entrambi i [[Dominio e codominio|domini]] delle funzioni.

Consideriamo in particolare la prima delle forme sopra introdotte; la funzione

:<math>\frac{f(x) \over }{g(x)}</math>

relativamente al tendere della variabile ''<math>x''</math> ad un opportuno elemento ''x''<submath>0x_0</submath> dell'[[Insieme reale esteso|insieme dei reali esteso]] <math>\R^* = \R \cup \{-\infty,+\infty\}</math>, si attribuisce alla forma <math>\fractfrac{0}{0} </math> se ''<math>f''(''x'')</math> e ''<math>g''(''x'')</math> tendono entrambe a <math>0</math> quando <math>x</math> tende a <math>x_0</math>.

0 quando ''x'' tende a ''x''₀.

Può accadere che questa funzione rapporto si avvicini a un qualsiasi numero reale, a <math>+∞\infty</math> o a −∞<math>-\infty</math>, oppure che non riesca a convergere ad alcun punto sulla [[retta reale estesa]]; il suo comportamento dipende dalle caratteristiche delle funzioni ''<math>f''</math> e ''<math>g''</math> in vicinanza di ''x''<submath>0x_0</submath>.

Ad esempio:

:<math>\lim_{x\rightarrow 0to0}\frac{\sin(x)\over x}{x}=1</math>

mentre:

:<math>\lim_{x\rightarrow 49to49}\frac{x-49\over}{\sqrt{x}\,-7}

=\lim_{x\rightarrow 49to49}\frac{\left(\sqrt{x}\,-7\right)\left(\sqrt{x}\,+7\right)\over}{\sqrt{x}\,-7} = 14 </math>

La sostituzione diretta delle funzioni a [[numeratore]] e a [[denominatore]] con i corrispondenti limiti per entrambeentrambi i precedenti rapporti, porta ad attribuire la funzione alla forma indeterminata <math>\tfrac{0/}{0}</math>, mentre i [[limite di una funzione|limiti]] di entrambi i rapporti esistono effettivamente e sono uguali a <math>1</math> e <math>14</math> rispettivamente.

Per altri rapporti che appartengono alla stessa forma indeterminata il limite non esiste.

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In molti casi, qualche semplificazione algebrica, la [[regola di De L'Hôpital]], o altri metodi possono essere usati per semplificare l'espressione fino ad un punto nel quale si riesce a valutare il limite.

Il calcolo dei [[Limite notevole|limiti notevoli]] può essere inoltre svolto o semplificato grazie alla [[stima asintotica]].

Si noti che per qualsiasi <math>a </math> non nullo <math>a^0</math> e <math>\frac tfrac{a }{0 }</math> (si veda [[Divisione per zero]]) non sono forme indeterminate.

== Risoluzione con la regola di De l'Hôpital ==

{{vedi anche|Regola di De l'Hôpital}}

La [[regola di De l'Hôpital]] permette di risolvere direttamente le forme indeterminate sotto forma di quoziente, ovvero <math>\frac{0}{0}</math> e <math>\frac{\infty}{\infty}</math>. In pratica si procede derivando il numeratore e il denominatore. Se esiste il limite di questo nuovo quoziente, allora esisterà anche il limite del quoziente originale e i due limiti sono uguali. Se invece il nuovo quoziente converge a sua volta ad una forma indeterminata, si può ripetere l'operazione calcolando la seconda derivata e così via. La non esistenza del limite del quoziente delle derivate comunque non implica la non esistenza del limite del quoziente originale.

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|'''Trasformazione'''

|-

|<math>\lim \frac{f(x)/}{g(x)}</math>

|<math>\lim f(x)=0</math>, <math>\lim g(x)=0</math>

|<math>\frac{0}{0}</math>

|''non necessaria''

|-

|<math>\lim \frac{f(x)/}{g(x)}</math>

|<math>\lim f(x)=\pm\infty</math>, <math>\lim g(x)=\pm\infty</math>

|<math>\pm\frac{\infty}{\infty}</math>

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|<math>\lim f(x)=1</math>, <math>\lim g(x)=\infty</math>

|<math>1^{\infty}</math>

|<math>e^{\left(\lim \frac{\ln f(x)}{1/g(x)}\right)}</math>

|-

|<math>\lim f(x)^{g(x)}</math>

|<math>\lim f(x)=0</math>, <math>\lim g(x)=0</math><ref>[http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/ sci.math FAQ: What is 0^0?<!-- Titolo generato automaticamente -->]</ref>

|<math>0^0</math>

|<math>e^{\left(\lim \frac{\ln f(x)}{1/g(x)}\right)}</math>

|-

|<math>\lim f(x)^{g(x)}</math>

|<math>\lim f(x)=\infty</math>, <math>\lim g(x)=0</math>

|<math>\infty^0</math>

|<math>e^{\left(\lim \frac{\ln f(x)}{1/g(x)}\right)}</math>

|-

|<math>\lim (f(x)-{g(x))}</math>

|<math>\lim f(x)= + \infty</math>, <math>\lim g(x)= + \infty</math>

|<math>+\infty-\infty</math>

|<math>\ln \left(\lim \frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}}\right)</math>

|-

|}

== Limite notevole del tipo <math>\infty \over \infty<∞/math>∞ per frazioni polinomiali ==

Consideriamo la successione:

:<math>{P_p(n) \over Q_q(n)} </math> <math>= {{a_pn^p + a_{p-1}n^{p-1}+ ...\ldots +a_1n + a_0} \over {b_qn^q + b_{q-1}n^{q-1}+ ...\ldots +b_1n + b_0}}</math>

quoziente di due [[polinomio|polinomi]] di grado ''<math>p''</math> e ''<math>q''</math>. Vogliamo studiare il caso in cui si presenta una forma indeterminata

<math>\infty tfrac{\over infty}{\infty}</math> .

Raccogliendo <math>n^p</math> al numeratore e <math>n^q</math> al denominatore si ha:

:<math> n ^ {p-q} {{a_p + a_{p-1}n^{-1} + ...\ldots +a_1n^{1-p}+a_0n^{-p}} \over {b_q + b_{q-1}n^{-1} + ...\ldots +b_1n^{1-q}+b_0n^{-q}}}</math>

cioè:

:<math> n^ {p-q}c_n</math>

dove:

:<math>c_n = {{a_p + a_{p-1}n^{-1} + ...\ldots +a_1n^{1-p}+a_0n^{-p}} \over {b_q + b_{q-1}n^{-1} + ...\ldots +b_1n^{1-q}+b_0n^{-q}}}</math>

poiché <math>n^{-k} \rightarrowto 0 </math> qualunque sia <math>k \in \N</math> non nullo si ha:

:<math>a_n = {{P_p(n)} \over {Q_q(n)}}</math> vale:

* <math>{a_p \over b_q}</math> \ \mathbf{se} \ <math>p = q</math>

* segno <math>\mathrm{segno} \left( {a_p \over b_q} \right) \infty</math> \ \mathbf{se} \ <math>p > q</math>

* <math>0</math> \ \mathbf{se} \ <math>p < q</math>

poiché <math> n ^ {p-q} </math> vale:

* <math>1</math> \ \mathbf{se} \ <math>p = q;</math>

* <math>+ \infty</math> \ \mathbf{se} \ <math>p \ge q;</math>

* <math>0</math> \ \mathbf{se} \ <math>p \le q.</math>

== Note ==

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*[[Stima asintotica]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{cita web|http://www.ripmat.it/mate/c/cd/cdg.html|Forme indeterminate e dimostrazioni}}

* {{cita web | 1 = http://www.matematicaeliberaricerca.com/lezioni_free/limiti/39_limite_free.htm | 2 = Calcolo di limiti che si presentano in forma indeterminata | accesso = 22 gennaio 2008 | urlarchivio = https://web.archive.org/web/20080131163508/http://www.matematicaeliberaricerca.com/lezioni_free/limiti/39_limite_free.htm | dataarchivio = 31 gennaio 2008 | urlmorto = sì }}

{{analisi matematica}}