Lagrangiana: differenze tra le versioni

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{{Nota disambigua|la funzione usata nell'ottimizzazione con estremi vincolati|Metodo dei moltiplicatori di Lagrange}}

In [[meccanica razionale]], in particolare nella [[meccanica lagrangiana]], la '''lagrangiana''' di un sistema fisico è una [[Funzione (matematica)|funzione]] che ne caratterizza la dinamica, essendo per i [[Sistema dinamico|sistemi meccanici]] la differenza tra l'[[energia cinetica]] e l'[[energia potenziale]]. In accordo con il [[principio di minima azione]], un sistema fisico in moto tra due punti segue un cammino che, tra tutti i percorsi possibili, è quello che minimizza l'[[Azione (fisica)|azione]], ovvero l'integrale della lagrangiana rispetto al tempo. A partire da ciò vengono scritte le [[equazioni del moto]] di [[Equazioni di Eulero-Lagrange|Eulero-Lagrange]].

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=== Lagrangiana come T - U ===

Poiché questa definizione di lagrangiana è poco maneggevole, in quanto l'interesse fisico è quello di scrivere le equazioni del moto, viene in aiuto il seguente risultato: in un sistema fisico composto da <math>n</math> particelle sottoposte a un potenziale <math>\textbf{U}(t, \textbf{q})</math>, detta <math> T (\mathbf q,\dot \mathbf q)</math> l'energia cinetica totale del sistema, una lagrangiana per il sistema è fornita da

:<math> L (t,\mathbf q,\dot\mathbf q) = T (\dot\mathbf q,\mathbf q) - U (\mathbf q, t)</math>

dove <math>\mathbf q \in \R^n</math> denota le [[coordinate generalizzate]], <math>\dot\mathbf q</math> le rispettive velocità e <math>t \in \R</math> è il tempo.

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Nei [[Legge di conservazione dell'energia|sistemi conservativi]], dove cioè l'energia potenziale <math>U</math> non dipende dal tempo e l'energia si conserva, la lagrangiana risulta a sua volta indipendente dalla variabile temporale. Infatti, considerando un punto materiale di massa <math>m</math>, ha l'espressione:

:<math> L (t, \dot\mathbf q,\mathbf q) = T (\dot\mathbf q) - U (\mathbf q) = \frac{1}{2}m(\dot\mathbf q\cdot\dot\mathbf q) - U (\mathbf q)</math>

La lagrangiana di un sistema può non essere unica. Infatti, due lagrangiane che descrivono lo stesso sistema possono differire per la [[derivata totale]] rispetto al tempo di una qualche funzione <math>f(\mathbf q,t)</math>, tuttavia la corrispondente equazione del moto sarà la stessa.<ref name="Goldstein">{{Cita libro|titolo=Classical Mechanics|url=https://archive.org/details/classicalmechani00gold_008|autore=Herbert Goldstein|autore2=Charles Poole|autore3=John Safko|ed=3|editore=Addison-Wesley|anno=2002|isbn=978-0-201-65702-9|p=[https://archive.org/details/classicalmechani00gold_008/page/n30 21]}}</ref><ref>{{Cita libro|autore=Lev D. Landau e Evgenij M. Lifšic|titolo=Meccanica|anno=1991|editore=Editori Riuniti|città=Roma|isbn=88-359-3473-7}}</ref>

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==Bibliografia==

* {{Cita libro|wkautore=Lev Davidovič Landau|autore=Lev D. Landau|autore2=[[Evgenij Mikhailovič Lifšic|Evgenij M. Lifšic]]|titolo=[[Corso di Fisica Teorica|Fisica teorica]]|editore=[[Editori Riuniti]]|città=Roma|data=1994|ed=3|dataoriginale=1976|volume=1|isbn=88-359-3473-7}}

* {{Cita libro

|autore = Antonio Fasano