Funzione di Cantor: differenze tra le versioni
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In [[matematica]], la '''funzione di Cantor''' (a volte chiamata '''funzione di Cantor-Vitali''', o '''scala del diavolo''') è un esempio di [[funzione continua]] e [[funzione crescente|crescente]]
Intuitivamente, è una scala con infiniti gradini, tutti di pendenza zero, ma ad altezze progressivamente crescenti, in modo che la pendenza media risulti comunque pari a <math>1</math>.
[[Immagine:CantorFunction.png|thumb|350px|right|La funzione di Cantor è una scala con infiniti gradini di altezza nulla: questo disegno ne mostra una approssimazione.]]▼
▲[[
== Definizione ==
=== Con le basi ===
La funzione di Cantor
#Scriviamo ogni numero
#Sostituiamo la prima occorrenza della cifra
#Sostituiamo tutte le cifre
#Interpretiamo il risultato come un numero binario. Questo risultato è
Ad esempio:
* <math>1/4 = 0
* <math>1/5 = 0
=== Come limite di una successione ===
La funzione si può anche definire come [[limite di una successione|limite]] di una [[successione di funzioni]] definite in <math>[0,1]</math>, costruite in questo modo:
*Sia <math>f_{0}(x)=x</math>
*Sia <math>f_{n}(x)</math> una funzione crescente il cui grafico è la poligonale suggerita in figura a lato, avente <math>2^{n+1}-1</math> lati:
[[
Si può "costruire" la
Si può
:<math>\sup_{p \in \mathbb{N}\ }\big\{\max_{x \in [0,1]} \{f_{n}(x)-f_{n+p}(x)\}\big\} \le \ \frac{1}{3 \cdot 2^{n}}</math>.▼
▲:<math>\sup_{p \in \mathbb{N}\ }\
Da quest'ultimo risultato ne viene che tale successione è [[successione fondamentale|di Cauchy]] nello spazio delle funzioni continue in ''[0,1]''. Dunque per ''n''→∞ [[convergenza uniforme|converge uniformemente]] ad una funzione limite, che è detta '''funzione di Cantor'''.▼
▲Da quest'ultimo risultato ne viene che tale successione è [[successione fondamentale|di Cauchy]] nello spazio delle funzioni continue in
== Proprietà ==
La funzione di Cantor è una funzione continua (in quanto limite uniforme di funzioni continue), crescente e [[funzione suriettiva|suriettiva]] dall'intervallo <math>[0,
La funzione di Cantor, ristretta all'insieme di Cantor, è sempre continua, crescente e suriettiva sull'intervallo <math>[0,
▲La funzione di Cantor è una funzione continua, crescente e [[funzione suriettiva|suriettiva]] dall'intervallo [0, 1] in sé. È [[funzione a variazione limitata|a variazione limitata]] ma non [[Continuità assoluta|assolutamente continua]]. Non è derivabile in nessun punto dell'[[insieme di Cantor]], mentre negli altri punti è derivabile ed ha derivata zero. Quindi è una funzione costante in ogni sottointervallo di [0, 1] che non contenga punti dell'insieme di Cantor (quest'ultimo insieme ha [[misura di Lebesgue|misura]] [[Insieme nullo|nulla]]), ossia negli intervalli del tipo (0.x1x2x3...xn022222..., 0.x1x2x3...xn200000...). Nonostante questo, è crescente (in senso lato).
▲[0, 1]: questo implica che l'insieme di Cantor non è [[numerabile]]. Questa funzione è utile per definire una [[curva di Peano]], cioè una [[curva_(matematica)|curva]] che riempie totalmente un quadrato.
== Voci correlate ==
* [[Insieme di Cantor]]
* [[Variabile casuale di Cantor]]
Riga 44 ⟶ 45:
* [[Curva di Koch]]
== Altri progetti ==
{{interprogetto}}
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
{{Teoria del caos}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Frattali]]
[[Categoria:Funzioni reali di variabile reale]]
[[Categoria:Funzioni speciali]]
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