Funzione di Cantor: differenze tra le versioni
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{{F|matematica|luglio 2017}}
In [[matematica]], la '''funzione di Cantor''' (a volte chiamata '''funzione di Cantor-Vitali''', o '''scala del diavolo''') è un esempio di [[funzione continua]] e [[funzione crescente|crescente]]
Intuitivamente, è una [[scala]] con infiniti gradini, tutti di altezza zero, ma che ha comunque una pendenza media di 45 gradi.▼
▲Intuitivamente, è una
[[Image:CantorFunction.png|thumb|350px|right|La funzione di Cantor è una scala con infiniti gradini di altezza nulla: questo disegno ne mostra una approssimazione.]]▼
▲[[
== Definizione ==
=== Con le basi ===
La funzione di Cantor
#Scriviamo ogni numero
#Sostituiamo la prima occorrenza della cifra
#Sostituiamo tutte le cifre
#Interpretiamo il risultato come un numero binario. Questo risultato è
Ad esempio:
* <math>1/4 = 0
* <math>1/5 = 0
=== Come limite di una successione ===
La funzione si può anche definire come [[limite di una successione|limite]] di una [[successione di funzioni]] definite in <math>[0,1]</math>, costruite in questo modo:
*Sia <math>f_{0}(x)=x</math>.
*Sia <math>f_{n}(x)</math> una funzione crescente il cui grafico è la poligonale suggerita in figura a lato, avente <math>2^{n+1}-1</math> lati: <math>2^n</math> lati sono obliqui di [[coefficiente angolare]] <math>(3/2)^n</math> e <math>2^n-1</math> lati sono orizzontali, ciascuno di lunghezza <math>\left(\frac{1}{3}\right)^n</math>. Per ogni <math>n</math> intero non negativo risulta <math>f_n(0)=0</math> e <math>f_n(1)=1</math>. In figura sono disegnate <math>f_0</math>, <math>f_1</math> e <math>f_2</math>.
[[File:Cantor function sequence.png|right|Le prime tre funzioni della successione]]
Si può "costruire" la <math>(n+1)</math>-esima poligonale <math>f_{n+1}</math> come una trasformazione della <math>f_n</math>: infatti, dette <math>I_k^{(n)},</math> per <math>k=1, \ldots, 2^n,</math> e <math>J_k^{(n)},</math> per <math>k=1,\ldots, 2^n-1,</math> le proiezioni sull'asse delle ascisse dei lati obliqui e di quelli orizzontali rispettivamente (notare che è <math>f(J_k^{(n)}) = k/2^n</math>), allora è <math>f_{n+1} = f_n</math> in <math>J_k^{(n)}</math> per ogni <math>k</math>, mentre ogni lato obliquo di <math>f_n</math> (che ha come proiezione sull'asse delle ascisse l'intervallo <math>I_k^{(n)}</math>) viene modificato in tre lati, di cui due obliqui in corrispondenza agli intervalli <math>I_{2k-1}^{(n+1)}</math> e <math>I_{2k}^{(n+1)}</math>, e uno orizzontale in corrispondenza all'intervallo <math>J_{2k-1}^{(n+1)}</math>.
Si può dimostrare che risulta:
:<math>\sup_{p \in \mathbb{N}\ }\left\{\max_{x \in [0,1]} \{f_{n}(x)-f_{n+p}(x)\}\right\} \le \frac{1}{3 \cdot 2^n}.</math>
Da quest'ultimo risultato ne viene che tale successione è [[successione fondamentale|di Cauchy]] nello spazio delle funzioni continue in <math>[0,1]</math>. Dunque per <math>n \to \infty</math> [[convergenza uniforme|converge uniformemente]] ad una funzione limite, che è detta '''funzione di Cantor'''.
== Proprietà ==
La funzione di Cantor è una funzione continua (in quanto limite uniforme di funzioni continue), crescente e [[funzione suriettiva|suriettiva]] dall'intervallo <math>[0,1]</math> in sé. È [[funzione a variazione limitata|a variazione limitata]] ma non [[Continuità assoluta|assolutamente continua]]. Non è derivabile in nessun punto dell'[[insieme di Cantor]], mentre negli altri punti è derivabile ed ha derivata zero. Quindi è una [[funzione costante]] in ogni sottointervallo di <math>[0,1]</math> che non contenga punti dell'insieme di Cantor (quest'ultimo insieme ha [[misura di Lebesgue|misura]] [[Insieme nullo (teoria della misura)|nulla]]), ossia negli intervalli del tipo (0,''x''<sub>1</sub>''x''<sub>2</sub>''x''<sub>3</sub>...''x''<sub>n</sub>022222..., 0,''x''<sub>1</sub>''x''<sub>2</sub>''x''<sub>3</sub>...''x''<sub>n</sub>200000...). Nonostante questo, è crescente (in senso lato).
La funzione di Cantor, ristretta all'insieme di Cantor, è
== Voci correlate ==
* [[Variabile casuale di Cantor]]
==
{{interprogetto}}
== Collegamenti esterni ==
▲* [[insieme di Cantor]]
* {{Collegamenti esterni}}
▲* [[curva di Peano]]
▲* [[curva di Koch]]
{{Teoria del caos}}
[[Categoria:Frattali]]▼
▲[[Categoria:Frattali]]
[[Categoria:Funzioni reali di variabile reale]]
[[Categoria:Funzioni speciali]]
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