Funzione di Cantor: differenze tra le versioni

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{{F|matematica|luglio 2017}}

In [[matematica]], la '''funzione di Cantor''' (a volte chiamata '''funzione di Cantor-Vitali''', o '''scala del diavolo''') è un esempio di [[funzione continua]] e [[funzione crescente|crescente]] nonostante abbiacon [[derivata]] zero in [[quasi ovunque|quasi tutti i punti]] essendo costante in tutti i sottointervalli di <math>[0, 1]</math> che non contengono punti dell'[[insieme di Cantor]].

Intuitivamente, è una [[scala]] con infiniti gradini, tutti di altezza zero, ma che ha comunque una pendenza media di 45 gradi.

Intuitivamente, è una [[scala]] con infiniti gradini, tutti di altezzapendenza zero, ma chead haaltezze comunqueprogressivamente unacrescenti, in modo che la pendenza media dirisulti comunque pari 45a gradi<math>1</math>.

[[Image:CantorFunction.png|thumb|350px|right|La funzione di Cantor è una scala con infiniti gradini di altezza nulla: questo disegno ne mostra una approssimazione.]]

[[ImageFile:CantorFunction.png|thumb|350px|rightupright=1.6|La funzione di Cantor è una scala con infiniti gradini di altezzapendenza nulla, ma di altezza progressivamente crescente: questo disegno ne mostra una approssimazione.]]

== Definizione ==

=== Con le basi ===

La funzione di Cantor ''<math>f'':\colon [0,&nbsp;1] &rarr; \rightarrow[0,&nbsp;1]</math> è definita nel modo seguente:

#Scriviamo ogni numero ''<math>x'' \in [0,&nbsp;1]</math> in [[sistemi_di_numerazionesistemi di numerazione|base tre]]. Con questa notazione,: <math>1/3 si scrive come =0.1<sub>3,1_3,</submath> e <math>2/3 si scrive come =0.2<sub>3,2_3</submath>. Notiamo che ialcuni [[Numero razionale|numeri razionali]] possono avere due scritture diverse, ad esempio <math>1/3 si scrive anche come =0.,0222...<sub>3\ldots_3</submath> (questo fatto è vero anche in base 10: infatti <math>0.,1 si scrive anche come =0.,09999...\ldots</math>). Scegliamo, quando è possibile, una notazione che non contiene la cifra "<math>1"</math>.

#Sostituiamo la prima occorrenza della cifra "<math>1"</math> con un "<math>2"</math> e tutte le cifre successive con "<math>0"</math>.

#Sostituiamo tutte le cifre "<math>2"</math> con "<math>1"</math>.

#Interpretiamo il risultato come un numero binario. Questo risultato è ''<math>f''(''x'')</math>.

Ad esempio:

* <math>1/4 = 0.,02020202...₃\ldots_3 diventa\mapsto 0.01010101...₂,01010101_2 = 1/3</math>. Quindi ''<math>f''(1/4)=(1/3)</math>.

* <math>1/5 = 0.,01210121...<sub>3\ldots_3</submath>, al passo 2 diventa <math>0.,02000000...\ldots</math>, quindi 0.01000000...<sub>2</submath>0,01000000\ldots_2 = 1/54</math>. Quindi ''<math>f''(1/5)=1/4</math>.

=== Come limite di una successione ===

La funzione si può anche definire come [[limite di una successione|limite]] di una [[successione di funzioni]] definite in ''<math>[a0,b1]''</math>, costruite in questo modo:

*Sia <math>f_{0}(x)=x</math>;.

*Sia <math>f_{n}(x)</math> una funzione crescente il cui grafico è la poligonale suggerita in figura a lato, avente <math>2^{n+1}-1</math> lati: <math>2^n</math> lati sono obliqui di [[coefficiente angolare]] <math>(3/2)^n</math> e <math>2^n-1</math> lati sono orizzontali, ciascuno di lunghezza <math>\left(\frac{1}{3}\right)^n</math>. Per ogni <math>n</math> intero non negativo risulta <math>f_n(0)=0</math> e <math>f_n(1)=1</math>. In figura sono disegnate <math>f_0</math>, <math>f_1</math> e <math>f_2</math>.

[[ImageFile:Cantor_function_sequenceCantor function sequence.png|right|Le prime tre funzioni della successione]]

Inoltre siSi può "costruire" la <math>(n+1)</math>-esima poligonale f<submath>f_{n+1}</submath> come una modificazionetrasformazione della <math>f_n</math>: infatti, dette f<submath>I_k^{(n)},</submath> per <math>k=1, nel\ldots, senso2^n,</math> chee è<math>J_k^{(n)},</math> per f<submath>k=1,\ldots, 2^n+-1,</submath> =le proiezioni sull'asse delle ascisse dei lati obliqui e di quelli orizzontali rispettivamente (notare che è f<submath>f(J_k^{(n)}) = k/2^n</submath>), inallora è J<submath>kf_{n+1} = f_n</submath> in <supmath>J_k^{(n)}</submath> per ogni k = 1,...,2</supmath>nk</supmath>-1, mentre ogni lato obliquo di f<submath>nf_n</submath> (che ha come proiezione sull’assesull'asse delle ascisse l’intervallol'intervallo I_k<supmath>I_k^{(n)}</submath>) viene modificato in tre lati, di cui due obliqui in corrispondenza agli intervalli I<submath>I_{2k-1</sub><sup>}^{(n+1)}</submath> e I<submath>I_{2k</sub><sup>}^{(n+1)}</submath>, e uno orizzontale in corrispondenza all’intervalloall'intervallo J<submath>J_{2k-1</sub><sup>}^{(n+1)}</submath>.

Si può dimostrare che risulta:

La funzione si può anche definire come [[limite di una successione]] di funzioni definite in ''[a,b]'', costruite in questo modo:

*Sia <math>f_{0}(x)=x</math>;

*Sia <math>f_{n}(x)</math> la poligonale continua e non decrescente di <math>2^{n+1}-1</math> lati con vertici nei punti <math>(a_{k}^{(n)},\frac{k-1}{2^{n}}), (b_{k}^{(n)},\frac{k}{2^{n}})</math> per k = 1,..,2ⁿ.

:<math>\sup_{p \in \mathbb{N}\ }\left\{\max_{x \in [0,1]} \{f_{n}(x)-f_{n+p}(x)\}\right\} \le \frac{1}{3 \cdot 2^n}.</math>

In generale si può notare che per ogni n∈N risulta f_n(0)=0, f_n(1)=1 e che la f_n ha 2ⁿ lati obliqui di coefficiente angolare (3/2)ⁿ che hanno per proiezione sull’asse delle ascisse gli intervalli I_k<sup>(n)</sub>, k=1,...,2ⁿ, e inoltre ha 2ⁿ-1 lati orizzontali che hanno per proiezione sull’asse delle ascisse gli intervalli J_k<sup>(n)</sub> e per cui è f(J_k<sup>(n)</sub>) = {k/2n}, k = 1,...,2ⁿ-1. In figura sono sovrapposte f₀, f₁ e f₂.

RisultandoDa <math>sup_{p \in \mathbb{N}\ }[max_{x \in [0,1]} |f_{n}(x)-f_{n+p}(x)|] \le \ \frac{1}{3 \cdot 2^{n}}</math>, daquest'ultimo ciòrisultato ne viene che tale successione è [[successione fondamentale|di Cauchy]] nello spazio delle funzioni continue in ''<math>[0,1]''</math>. dunqueDunque per n→∞<math>n \to \infty</math> [[convergenza uniforme|converge uniformemente]] aad una funzione limite, che è detta '''funzione di Cantor'''.

[[Image:Cantor_function_sequence.png|right|Le prime tre funzioni della successione]]

== Proprietà ==

Inoltre si può "costruire" la n+1-esima poligonale f_n+1 come una modificazione della f_n, nel senso che è f_n+1 = f_n in J_k^{(n)</sub> per ogni k = 1,...,2}n</sup>-1, mentre ogni lato obliquo di f_n (che ha come proiezione sull’asse delle ascisse l’intervallo I_k<sup>(n)</sub>) viene modificato in tre lati, di cui due obliqui in corrispondenza agli intervalli I_2k-1<sup>(n+1)</sub> e I_2k<sup>(n+1)</sub>, e uno orizzontale in corrispondenza all’intervallo J_2k-1<sup>(n+1)</sub>.

La funzione di Cantor è una funzione continua (in quanto limite uniforme di funzioni continue), crescente e [[funzione suriettiva|suriettiva]] dall'intervallo <math>[0,&nbsp;1]</math> in sé. NonÈ è[[funzione a variazione limitata|a variazione limitata]] ma non [[Continuità assoluta|assolutamente continua]]. Non è derivabile in nessun punto dell'[[insieme di Cantor]], mentre negli altri punti è derivabile ed ha derivata zero. Quindi è una [[funzione costante]] alin ogni sottointervallo di fuori<math>[0,1]</math> che non contenga punti dell'insieme di Cantor, che(quest'ultimo insieme ha [[misura di Lebesgue|misura]] [[Insieme nullo (teoria della misura)|nulla:]]), nonostanteossia negli intervalli del tipo (0,''x''₁''x''₂''x''₃...''x''_n022222..., 0,''x''₁''x''₂''x''₃...''x''_n200000...). Nonostante questo, è crescente (in senso lato).

La funzione di Cantor, ristretta all'insieme di Cantor, è sempre continua, crescente e suriettiva sull'intervallo <math>[0,&nbsp;1]</math>: questo implica che l'insieme di Cantor non è [[numerabile]]. Questa funzione è utile per definire una [[curva di Peano]], cioè una [[curva_curva (matematica)|curva]] che riempie totalmente un quadrato.

Risultando <math>sup_{p \in \mathbb{N}\ }[max_{x \in [0,1]} |f_{n}(x)-f_{n+p}(x)|] \le \ \frac{1}{3 \cdot 2^{n}}</math>, da ciò ne viene che tale successione è di Cauchy nello spazio delle funzioni continue in ''[0,1]'' dunque per n→∞ converge uniformemente a una funzione limite, che è detta '''funzione di Cantor'''.

== ProprietàVoci correlate ==

* [[insiemeInsieme di Cantor]]

* [[Variabile casuale di Cantor]]

* [[curvaCurva di Peano]]

* [[curvaCurva di Koch]]

== Altri progetti ==

La funzione di Cantor è una funzione continua, crescente e [[funzione suriettiva|suriettiva]] dall'intervallo [0,&nbsp;1] in sé. Non è [[Continuità assoluta|assolutamente continua]]. Non è derivabile in nessun punto dell'[[insieme di Cantor]], mentre negli altri punti è derivabile ed ha derivata zero. Quindi è una funzione costante al di fuori dell'insieme di Cantor, che ha [[misura di Lebesgue|misura]] nulla: nonostante questo, è crescente.

{{interprogetto}}

== Collegamenti esterni ==

La funzione di Cantor, ristretta all'insieme di Cantor, è sempre continua, crescente e suriettiva sull'intervallo

* {{Collegamenti esterni}}

[0,&nbsp;1]: questo implica che l'insieme di Cantor non è [[numerabile]]. Questa funzione è utile per definire una [[curva di Peano]], cioè una [[curva_(matematica)|curva]] che riempie totalmente un quadrato.

{{Teoria del caos}}

== Articoli correlati ==

{{Portale|matematica}}

* [[insieme di Cantor]]

* [[curva di Peano]]

* [[curva di Koch]]

[[Categoria:Frattali]]

[[Categoria:Funzioni reali di variabile reale]]

[[Categoria:Funzioni speciali]]

[[en:Cantor function]]

[[ru:Канторова лестница]]