Funzione di Cantor: differenze tra le versioni

Versione delle 20:15, 18 apr 2006

Versione attuale delle 00:05, 15 nov 2024

(66 versioni intermedie di 38 utenti non mostrate)

Riga 1:

{{F|matematica|luglio 2017}}

In [[matematica]], la '''funzione di Cantor''' (a volte chiamata '''funzione di Cantor-Vitali''', o '''scala del diavolo''') è un esempio di [[funzione continua]] e [[funzione crescente|crescente]] nonostante abbiacon [[derivata]] zero in [[quasi ovunque|quasi tutti i punti]] essendo costante in tutti i sottointervalli di <math>[0, 1]</math> che non contengono punti dell'[[insieme di Cantor]].

Intuitivamente, è una [[scala]] con infiniti gradini, tutti di altezza zero, ma che ha comunque una pendenza media di 45 gradi.

Intuitivamente, è una [[scala]] con infiniti gradini, tutti di altezzapendenza zero, ma chead haaltezze comunqueprogressivamente unacrescenti, in modo che la pendenza media dirisulti comunque pari 45a gradi<math>1</math>.

[[Image:CantorFunction.png|thumb|350px|right|La funzione di Cantor è una scala con infiniti gradini di altezza nulla: questo disegno ne mostra una approssimazione.]]

[[ImageFile:CantorFunction.png|thumb|350px|rightupright=1.6|La funzione di Cantor è una scala con infiniti gradini di altezzapendenza nulla, ma di altezza progressivamente crescente: questo disegno ne mostra una approssimazione.]]

== Definizione ==

=== Con le basi ===

La funzione di Cantor ''<math>f'':\colon [0,&nbsp;1] &rarr; \rightarrow[0,&nbsp;1]</math> è definita nel modo seguente:

#Scriviamo ogni numero ''<math>x'' \in [0,&nbsp;1]</math> in [[sistemi_di_numerazionesistemi di numerazione|base tre]]. Con questa notazione,: <math>1/3 si scrive come =0.1<sub>3,1_3,</submath> e <math>2/3 si scrive come =0.2<sub>3,2_3</submath>. Notiamo che ialcuni [[Numero razionale|numeri razionali]] possono avere due scritture diverse, ad esempio <math>1/3 si scrive anche come =0.,0222...<sub>3\ldots_3</submath> (questo fatto è vero anche in base 10: infatti <math>0.,1 si scrive anche come =0.,09999...\ldots</math>). Scegliamo, quando è possibile, una notazione che non contiene la cifra "<math>1"</math>.

#Sostituiamo la prima occorrenza della cifra "<math>1"</math> con un "<math>2"</math> e tutte le cifre successive con "<math>0"</math>.

#Sostituiamo tutte le cifre "<math>2"</math> con "<math>1"</math>.

#Interpretiamo il risultato come un numero binario. Questo risultato è ''<math>f''(''x'')</math>.

Ad esempio:

* <math>1/4 = 0.,02020202...₃\ldots_3 diventa\mapsto 0.01010101...₂,01010101_2 = 1/3</math>. Quindi ''<math>f''(1/4)=(1/3)</math>.

* <math>1/5 = 0.,01210121...<sub>3\ldots_3</submath>, al passo 2 diventa <math>0.,02000000...\ldots</math>, quindi 0.01000000...<sub>2</submath>0,01000000\ldots_2 = 1/54</math>. Quindi ''<math>f''(1/5)=1/4</math>.

=== Come limite di una successione ===

La funzione si può anche definire come [[limite di una successione|limite]] di una [[successione di funzioni]] definite in ''<math>[a0,b1]''</math>, costruite in questo modo:

*Sia <math>f_{0}(x)=x</math>;.

*Sia <math>f_{n}(x)</math> una funzione crescente il cui grafico è la poligonale continuasuggerita ein nonfigura decrescentea dilato, avente <math>2^{n+1}-1</math> lati,: con 2<supmath>2^n</supmath> lati sono obliqui di [[coefficiente angolare]] <math>(3/2)<sup>^n</supmath> e 2<supmath>2^n-1</supmath>-1 lati sono orizzontali, ciascun latociascuno di ampiezza orizzontalelunghezza <math>\left(\frac{1/}{3}\right)<sup>^n</supmath>, tale. che perPer ogni n∈N risulti f<submath>n</submath> intero non negativo risulta <math>f_n(0)=0, f<sub/math>n e </submath>f_n(1)=1</math>. In figura sono sovrappostedisegnate f<submath>0f_0</submath>, f<submath>1f_1</submath> e f<submath>2f_2</submath>.

[[ImageFile:Cantor_function_sequenceCantor function sequence.png|right|Le prime tre funzioni della successione]]

Notare che siSi può "costruire" la <math>(n+1)</math>-esima poligonale f<submath>f_{n+1}</submath> come una modificazionetrasformazione della f<submath>nf_n</submath>: infatti, dettidette I_k<supmath>I_k^{(n)},</submath>, per <math>k=1,... \ldots, 2<sup>^n,</supmath> e J_k<supmath>J_k^{(n)},</submath>, per <math>k=1,...\ldots, 2<sup>^n-1,</supmath>-1 le proiezioni sull'asse delle ascisse dei lati obliqui e di quelli orizzontali rispettivamente (notare che è f(J_k<supmath>f(J_k^{(n)</sub>}) = {k/2<sup>^n</submath>}), allora è f<submath>f_{n+1</sub>} = f_{nf_n</submath> in J_k<supmath>J_k^{(n)}</submath> per ogni <math>k</math>, mentre ogni lato obliquo di f<submath>nf_n</submath> (che ha come proiezione sull’assesull'asse delle ascisse l’intervallol'intervallo I_k<supmath>I_k^{(n)}</submath>) viene modificato in tre lati, di cui due obliqui in corrispondenza agli intervalli I<submath>I_{2k-1}<sup>}^{(n+1)}</submath> e I<submath>I_{2k</sub><sup>}^{(n+1)}</submath>, e uno orizzontale in corrispondenza all’intervalloall'intervallo J<submath>J_{2k-1</sub><sup>}^{(n+1)}</submath>.

[[Image:Cantor_function_sequence.png|right|Le prime tre funzioni della successione]]

Si può dimostrare che risulta:

Si può provare che risulta: <math>\sup_{p \in \mathbb{N}\ }[\left\{\max_{x \in [0,1]} |\{f_{n}(x)-f_{n+p}(x)|] \le}\right\} \le \frac{1}{3 \cdot 2^{n}}.</math>.

Notare che si può "costruire" la n+1-esima poligonale f_n+1 come una modificazione della f_n: infatti, detti I_k<sup>(n)</sub>, k=1,...,2ⁿ e J_k<sup>(n)</sub>, k=1,...,2ⁿ-1 le proiezioni sull'asse delle ascisse dei lati obliqui e di quelli orizzontali rispettivamente (notare che è f(J_k<sup>(n)</sub>) = {k/2<sup>n</sub>}), allora è f_n+1 = f_n in J_k<sup>(n)</sub> per ogni k, mentre ogni lato obliquo di f_n (che ha come proiezione sull’asse delle ascisse l’intervallo I_k<sup>(n)</sub>) viene modificato in tre lati, di cui due obliqui in corrispondenza agli intervalli I_2k-1<sup>(n+1)</sub> e I_2k<sup>(n+1)</sub>, e uno orizzontale in corrispondenza all’intervallo J_2k-1<sup>(n+1)</sub>.

Da quest'ultimo risultato ne viene che tale successione è [[successione fondamentale|di Cauchy]] nello spazio delle funzioni continue in ''<math>[0,1]''</math>. dunqueDunque per n→∞<math>n \to \infty</math> [[convergenza uniforme|converge uniformemente]] aad una funzione limite, che è detta '''funzione di Cantor'''.

Si può provare che risulta: <math>sup_{p \in \mathbb{N}\ }[max_{x \in [0,1]} |f_{n}(x)-f_{n+p}(x)|] \le \ \frac{1}{3 \cdot 2^{n}}</math>.

Da quest'ultimo risultato ne viene che tale successione è di Cauchy nello spazio delle funzioni continue in ''[0,1]'' dunque per n→∞ converge uniformemente a una funzione limite, che è detta '''funzione di Cantor'''.

== Proprietà ==

La funzione di Cantor è una funzione continua (in quanto limite uniforme di funzioni continue), crescente e [[funzione suriettiva|suriettiva]] dall'intervallo <math>[0,1]</math> in sé. È [[funzione a variazione limitata|a variazione limitata]] ma non [[Continuità assoluta|assolutamente continua]]. Non è derivabile in nessun punto dell'[[insieme di Cantor]], mentre negli altri punti è derivabile ed ha derivata zero. Quindi è una [[funzione costante]] in ogni sottointervallo di <math>[0,1]</math> che non contenga punti dell'insieme di Cantor (quest'ultimo insieme ha [[misura di Lebesgue|misura]] [[Insieme nullo (teoria della misura)|nulla]]), ossia negli intervalli del tipo (0,''x''₁''x''₂''x''₃...''x''_n022222..., 0,''x''₁''x''₂''x''₃...''x''_n200000...). Nonostante questo, è crescente (in senso lato).

La funzione di Cantor, ristretta all'insieme di Cantor, è una funzionesempre continua, crescente e [[funzione suriettiva|suriettiva]] dallsull'intervallo <math>[0,&nbsp;1]</math>: inquesto sé.implica Nonche l'insieme di Cantor non è [[Continuità assoluta|assolutamente continuanumerabile]]. NonQuesta funzione è derivabileutile inper nessundefinire puntouna dell'[[insiemecurva di CantorPeano]], mentre negli altri punti è derivabile ed ha derivata zero. Quindi ècioè una funzione costante al di fuori dell'insieme di Cantor, che ha [[misuracurva di Lebesgue(matematica)|misuracurva]] nulla:che nonostanteriempie questo,totalmente un è crescentequadrato.

== Voci correlate ==

La funzione di Cantor, ristretta all'insieme di Cantor, è sempre continua, crescente e suriettiva sull'intervallo

* [[insiemeInsieme di Cantor]]

[0,&nbsp;1]: questo implica che l'insieme di Cantor non è [[numerabile]]. Questa funzione è utile per definire una [[curva di Peano]], cioè una [[curva_(matematica)|curva]] che riempie totalmente un quadrato.

* [[Variabile casuale di Cantor]]

* [[curvaCurva di Peano]]

* [[curvaCurva di Koch]]

== ArticoliAltri correlatiprogetti ==

{{interprogetto}}

== Collegamenti esterni ==

* [[insieme di Cantor]]

* {{Collegamenti esterni}}

* [[curva di Peano]]

* [[curva di Koch]]

{{Teoria del caos}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Frattali]]

[[Categoria:Funzioni reali di variabile reale]]

[[Categoria:Funzioni speciali]]

[[en:Cantor function]]

[[ru:Канторова лестница]]