Funzione di Cantor: differenze tra le versioni
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{{F|matematica|luglio 2017}}
In [[matematica]], la '''funzione di Cantor''' (a volte chiamata '''funzione di Cantor-Vitali''', o '''scala del diavolo''') è un esempio di [[funzione continua]] e [[funzione crescente|crescente]]
Intuitivamente, è una [[scala]] con infiniti gradini, tutti di altezza zero, ma che ha comunque una pendenza media di 45 gradi.▼
▲Intuitivamente, è una
[[Image:CantorFunction.png|thumb|350px|right|La funzione di Cantor è una scala con infiniti gradini di altezza nulla: questo disegno ne mostra una approssimazione.]]▼
▲[[
== Definizione ==
=== Con le basi ===
La funzione di Cantor
#Scriviamo ogni numero
#Sostituiamo la prima occorrenza della cifra
#Sostituiamo tutte le cifre
#Interpretiamo il risultato come un numero binario. Questo risultato è
Ad esempio:
* <math>1/4 = 0
* <math>1/5 = 0
=== Come limite di una successione ===
La funzione si può anche definire come [[limite di una successione|limite]] di una [[successione di funzioni]] definite in
*Sia <math>f_{0}(x)=x</math>
*Sia <math>f_{n}(x)</math> una funzione crescente il cui grafico è la poligonale suggerita in figura a lato, avente <math>2^{n+1}-1</math> lati:
[[
Si può "costruire" la
Si può
:<math>\sup_{p \in \mathbb{N}\ }\big\{\max_{x \in [0,1]} \{f_{n}(x)-f_{n+p}(x)\}\big\} \le \ \frac{1}{3 \cdot 2^{n}}</math>.▼
▲:<math>\sup_{p \in \mathbb{N}\ }\
Da quest'ultimo risultato ne viene che tale successione è di Cauchy nello spazio delle funzioni continue in ''[0,1]''. Dunque per ''n''→∞ converge uniformemente ad una funzione limite, che è detta '''funzione di Cantor'''.▼
▲Da quest'ultimo risultato ne viene che tale successione è [[successione fondamentale|di Cauchy]] nello spazio delle funzioni continue in
== Proprietà ==
La funzione di Cantor è una funzione continua (in quanto limite uniforme di funzioni continue), crescente e [[funzione suriettiva|suriettiva]] dall'intervallo <math>[0,1]</math> in sé. È [[funzione a variazione limitata|a variazione limitata]] ma non [[Continuità assoluta|assolutamente continua]]. Non è derivabile in nessun punto dell'[[insieme di Cantor]], mentre negli altri punti è derivabile ed ha derivata zero. Quindi è una [[funzione costante]] in ogni sottointervallo di <math>[0,1]</math> che non contenga punti dell'insieme di Cantor (quest'ultimo insieme ha [[misura di Lebesgue|misura]] [[Insieme nullo (teoria della misura)|nulla]]), ossia negli intervalli del tipo (0,''x''<sub>1</sub>''x''<sub>2</sub>''x''<sub>3</sub>...''x''<sub>n</sub>022222..., 0,''x''<sub>1</sub>''x''<sub>2</sub>''x''<sub>3</sub>...''x''<sub>n</sub>200000...). Nonostante questo, è crescente (in senso lato).
La funzione di Cantor, ristretta all'insieme di Cantor, è
== Voci correlate ==
* [[Insieme di Cantor]]
* [[Variabile casuale di Cantor]]
* [[Curva di Peano]]
* [[Curva di Koch]]
== Altri progetti ==
{{interprogetto}}
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
{{Teoria del caos}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Frattali]]
[[Categoria:Funzioni reali di variabile reale]]
[[Categoria:Funzioni speciali]]
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