Funzione di Cantor: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], la '''funzione di Cantor''' (a volte chiamata '''funzione di Cantor-Vitali''', o '''scala del diavolo''') è un esempio di [[funzione continua]] e [[funzione crescente|crescente]] nonostante abbiacon [[derivata]] zero in [[quasi ovunque|quasi tutti i punti]] essendo costante in tutti i sottointervalli di <math>[0, 1]</math> che non contengono punti dell'[[insieme di Cantor]]. Intuitivamente, è una scala con infiniti gradini, tutti di pendenza zero, ma ad altezze progressivamente crescenti, in modo che la pendenza media risulti comunque pari a 1.
 
[[File:CantorFunction.png|thumb|350px|right|La funzione di CantorIntuitivamente, è una scala con infiniti gradini, tutti di pendenza nullazero, ma diad altezzaaltezze progressivamente crescente:crescenti, questoin disegnomodo neche mostrala unapendenza media risulti comunque pari a approssimazione<math>1</math>.]]
 
[[File:CantorFunction.png|thumb|upright=1.6|La funzione di Cantor è una scala con infiniti gradini di pendenza nulla, ma di altezza progressivamente crescente: questo disegno ne mostra una approssimazione.]]
 
== Definizione ==
 
=== Con le basi ===
La funzione di Cantor ''<math>f'':\colon [0,&nbsp;1] &rarr; \rightarrow[0,&nbsp;1]</math> è definita nel modo seguente:
 
#Scriviamo ogni numero ''<math>x'' \in [0,&nbsp;1]</math> in [[sistemi di numerazione|base tre]]. Con questa notazione,: <math>1/3 si scrive come =0.1<sub>3,1_3,</submath> e <math>2/3 si scrive come =0.2<sub>3,2_3</submath>. Notiamo che alcuni [[Numero razionale|numeri razionali]] possono avere due scritture diverse, ad esempio <math>1/3 si scrive anche come =0.,0222...<sub>3\ldots_3</submath> (questo fatto è vero anche in base 10: infatti <math>0.,1 si scrive anche come =0.,09999...\ldots</math>). Scegliamo, quando è possibile, una notazione che non contiene la cifra "<math>1"</math>.
#Sostituiamo la prima occorrenza della cifra "<math>1"</math> con un "<math>2"</math> e tutte le cifre successive con "<math>0"</math>.
#Sostituiamo tutte le cifre "<math>2"</math> con "<math>1"</math>.
#Interpretiamo il risultato come un numero binario. Questo risultato è ''<math>f''(''x'')</math>.
 
Ad esempio:
* <math>1/4 = 0.,02020202...<sub>3</sub>\ldots_3 diventa\mapsto 0.01010101...<sub>2</sub>,01010101_2 = 1/3</math>. Quindi ''<math>f''(1/4)=(1/3)</math>.
* <math>1/5 = 0.,01210121...<sub>3\ldots_3</submath>, al passo 2 diventa <math>0.,02000000...\ldots</math>, quindi 0.01000000...<sub>2</submath>0,01000000\ldots_2 = 1/4</math>. Quindi ''<math>f''(1/5)=1/4</math>.
 
=== Come limite di una successione ===
La funzione si può anche definire come [[limite di una successione|limite]] di una [[successione di funzioni]] definite in <math>[0,1]</math>, costruite in questo modo:
*Sia <math>f_{0}(x)=x</math>;.
*Sia <math>f_{n}(x)</math> una funzione crescente il cui grafico è la poligonale suggerita in figura a lato, avente <math>2^{n+1}-1</math> lati: 2<supmath>2^n</supmath> lati sono obliqui di [[coefficiente angolare]] <math>(3/2)<sup>^n</supmath> e 2<supmath>2^n-1</supmath>-1 lati sono orizzontali, ciascuno di lunghezza <math>\left(\frac{1/}{3}\right)<sup>^n</supmath>. Per ogni n∈N risulta f<submath>n</submath> intero non negativo risulta <math>f_n(0)=0, f<sub/math>n e </submath>f_n(1)=1</math>. In figura sono disegnate f<submath>0f_0</submath>, f<submath>1f_1</submath> e f<submath>2f_2</submath>.
[[File:Cantor_function_sequenceCantor function sequence.png|right|Le prime tre funzioni della successione]]
 
Si può "costruire" la ''<math>(n''+1)</math>-esima poligonale f<submath>f_{n+1}</submath> come una trasformazione della f<submath>nf_n</submath>: infatti, dettidette I<sub>k</sub><supmath>I_k^{(n)},</submath>, per <math>k=1,... \ldots, 2<sup>^n,</supmath> e J<sub>k</sub><supmath>J_k^{(n)},</submath>, per <math>k=1,...\ldots, 2<sup>^n-1,</supmath>-1 le proiezioni sull'asse delle ascisse dei lati obliqui e di quelli orizzontali rispettivamente (notare che è f(J<sub>k</sub><supmath>f(J_k^{(n)</sub>}) = {k/2<sup>^n</submath>}), allora è f<submath>f_{n+1</sub>} = f<sub>nf_n</submath> in J<sub>k</sub><supmath>J_k^{(n)}</submath> per ogni <math>k</math>, mentre ogni lato obliquo di f<submath>nf_n</submath> (che ha come proiezione sull’assesull'asse delle ascisse l’intervallol'intervallo I<sub>k</sub><supmath>I_k^{(n)}</submath>) viene modificato in tre lati, di cui due obliqui in corrispondenza agli intervalli I<submath>I_{2k-1</sub><sup>}^{(n+1)}</submath> e I<submath>I_{2k</sub><sup>}^{(n+1)}</submath>, e uno orizzontale in corrispondenza all’intervalloall'intervallo J<submath>J_{2k-1</sub><sup>}^{(n+1)}</submath>.
 
Si può provaredimostrare che risulta:
:<math>\sup_{p \in \mathbb{N}\ }\big\{\max_{x \in [0,1]} \{f_{n}(x)-f_{n+p}(x)\}\big\} \le \ \frac{1}{3 \cdot 2^{n}}</math>.
 
:<math>\sup_{p \in \mathbb{N}\ }\bigleft\{\max_{x \in [0,1]} \{f_{n}(x)-f_{n+p}(x)\}\bigright\} \le \ \frac{1}{3 \cdot 2^{n}}.</math>.
Da quest'ultimo risultato ne viene che tale successione è [[successione fondamentale|di Cauchy]] nello spazio delle funzioni continue in ''[0,1]''. Dunque per ''n''→∞ [[convergenza uniforme|converge uniformemente]] ad una funzione limite, che è detta '''funzione di Cantor'''.
 
Da quest'ultimo risultato ne viene che tale successione è [[successione fondamentale|di Cauchy]] nello spazio delle funzioni continue in ''<math>[0,1]''</math>. Dunque per ''<math>n''→∞ \to \infty</math> [[convergenza uniforme|converge uniformemente]] ad una funzione limite, che è detta '''funzione di Cantor'''.
 
== Proprietà ==
La funzione di Cantor è una funzione continua (in quanto limite uniforme di funzioni continue), crescente e [[funzione suriettiva|suriettiva]] dall'intervallo <math>[0,&nbsp;1]</math> in sé. È [[funzione a variazione limitata|a variazione limitata]] ma non [[Continuità assoluta|assolutamente continua]]. Non è derivabile in nessun punto dell'[[insieme di Cantor]], mentre negli altri punti è derivabile ed ha derivata zero. Quindi è una [[funzione costante]] in ogni sottointervallo di <math>[0,&nbsp;1]</math> che non contenga punti dell'insieme di Cantor (quest'ultimo insieme ha [[misura di Lebesgue|misura]] [[Insieme nullo (teoria della misura)|nulla]]), ossia negli intervalli del tipo (0.,''x''<sub>1</sub>''x''<sub>2</sub>''x''<sub>3</sub>...''x''<sub>n</sub>022222..., 0.,''x''<sub>1</sub>''x''<sub>2</sub>''x''<sub>3</sub>...''x''<sub>n</sub>200000...). Nonostante questo, è crescente (in senso lato).
 
La funzione di Cantor, ristretta all'insieme di Cantor, è sempre continua, crescente e suriettiva sull'intervallo <math>[0,&nbsp;1]</math>: questo implica che l'insieme di Cantor non è [[numerabile]]. Questa funzione è utile per definire una [[curva di Peano]], cioè una [[curva (matematica)|curva]] che riempie totalmente un quadrato.
La funzione di Cantor è una funzione continua (in quanto limite uniforme di funzioni continue), crescente e [[funzione suriettiva|suriettiva]] dall'intervallo [0,&nbsp;1] in sé. È [[funzione a variazione limitata|a variazione limitata]] ma non [[Continuità assoluta|assolutamente continua]]. Non è derivabile in nessun punto dell'[[insieme di Cantor]], mentre negli altri punti è derivabile ed ha derivata zero. Quindi è una funzione costante in ogni sottointervallo di [0,&nbsp;1] che non contenga punti dell'insieme di Cantor (quest'ultimo insieme ha [[misura di Lebesgue|misura]] [[Insieme nullo|nulla]]), ossia negli intervalli del tipo (0.''x''<sub>1</sub>''x''<sub>2</sub>''x''<sub>3</sub>...''x''<sub>n</sub>022222..., 0.''x''<sub>1</sub>''x''<sub>2</sub>''x''<sub>3</sub>...''x''<sub>n</sub>200000...). Nonostante questo, è crescente (in senso lato).
 
La funzione di Cantor, ristretta all'insieme di Cantor, è sempre continua, crescente e suriettiva sull'intervallo
[0,&nbsp;1]: questo implica che l'insieme di Cantor non è [[numerabile]]. Questa funzione è utile per definire una [[curva di Peano]], cioè una [[curva (matematica)|curva]] che riempie totalmente un quadrato.
 
== Voci correlate ==
 
* [[Insieme di Cantor]]
* [[Variabile casuale di Cantor]]
* [[Curva di Peano]]
* [[Curva di Koch]]
 
== Altri progetti ==
{{interprogetto}}
 
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
 
{{Teoria del caos}}