Algoritmo del simplesso: differenze tra le versioni

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{{nota disambigua|l'omonimo metodo di ottimizzazione non lineare|metodo di Nelder-Mead|Metodo del simplesso}}

L<nowiki>{{'</nowiki>}}'''algoritmo del simplesso''', ideato dall'americano [[George Dantzig]] nel [[1947]], è un metodo numerico per risolvere problemi di [[programmazione lineare]]. È citato dalla rivista statunitense ''Computing in Science and Engineering'' come uno dei dieci migliori [[algoritmo|algoritmi]] del secolo.<ref>Computing in Science and Engineering, volume 2, no. 1, 2000</ref>

Questo [[algoritmo]] fa uso del concetto di [[simplesso]], cioè un [[politopo]] di <math>N+1</math> vertici in <math>N</math> dimensioni, ossia un [[segmento]] di retta in una dimensione, un [[triangolo]] in due dimensioni, un [[tetraedro]] in tre dimensioni.

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è un problema di programmazione lineare.

I vincoli definiscono la regione ammissibile (cioè l'insieme dei punti che soddisfano tutti i vincoli del problema, in inglese "feasible region"). Nel caso della programmazione lineare la regione ammissibile è un [[poliedro]] che può essere vuoto, limitato o illimitato. La funzione che va minimizzata o massimizzata è la ''"[[funzione obiettivo'']]": essa in pratica calcola il "costo" di ogni soluzione dei vincoli.

È quindi obiettivo della risoluzione di un tale problema trovare tra le soluzioni che soddisfino i vincoli, quella cui corrisponde il costo minimo (o massimo, se si tratta di un ricavo).

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</math> ''ad esponente è l'[[operatore di trasposizione]].''

A tale formulazione si perviene facilmente, sommando o sottraendo, a seconda della necessità, una variabile chiamata "di slack" (se sommata) o "di surplus" (se sottratta) ad un problema formulato in forma canonica

<math> \boldsymbol{\gamma}^T \mathbf{x} </math>

tale che

s.t.

<math> \boldsymbol{\Alpha} \mathbf{x}\le\mathbf{b} </math> e

<math>x_i \ge 0</math>.

Riassumibile in un [[tableau]] del tipo

<math>\begin{pmatrix}\mathbf{A} \;\, \mathbf{b} \\ \boldsymbol{\gamma}^{T} \; 0 \end{pmatrix}</math>, l'algoritmo si articola nei seguenti passi applicati al tableau:

L'algoritmo si articola nei seguenti passi applicati al tableau:

# Verifica di ottimalità.: [[Condizionecondizione sufficiente]] perché la tabella sia ottima è che <math>\boldsymbol{\gamma}_i \le 0,</math> per ogni <math>i =1,\ldots,n</math> (se è un problema di massimo) o <math>\forallboldsymbol{\gamma}_i \ge 0,</math> per ogni <math>i =1,...\ldots,n</math> (se di minimo).

# Se non si ha ancora una tabella ottima, scelgosi sceglie una colonna <math>h</math> corrispondente al massimo fra i <math>\gamma_i \ge0</math> (costi ridotti positivi) (ve ne sarà almeno uno, altrimenti ci saremmo fermati al punto 1).

# Verifica di illimitatezza. Condizione sufficiente perché il problema sia illimitato è che nella colonna <math> h </math> individuata si abbiano solo valori negativi nella matrice, cioè <math> \mathbf{a}_{ih} < 0, \quad; \forall i =1,...\ldots,n</math>. Dunque il problema è illimitato lungo questa direzione.

# Se non siamo in presenza di un problema illimitato, scelgosi sceglie il pivot che genera il minimo rapporto tra il termine noto e il coefficiente della relativa variabile nella colonna <math>h</math> della matrice <math> \mathbf {A}</math>, cioè <math> i'=\min \left\{ \frac{\mathbf{b}_{i} }{ \mathbf{a}_{ih} } \; \mathbf{:} \; \mathbf{a}_{ih}>{0}, \; \forall i =1,...\ldots,n\right\}</math> e applicosi applica l'operazione di cardine.

L'operazione cardine è quella operazione che permette di spostarsi lungo una direzione ammissibile per un certo passo in modo che la nuova soluzione sia anch'essa ammissibile ma migliore di quella precedente di partenza.

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si considera la [[Base (algebra lineare)|base]] ammissibile <math>B</math> contenente colonne linearmente indipendenti di <math>A</math>. Si può riscrivere la relazione <math>A\mathbf{x}=\mathbf{b}</math> come:

:<math>B\cdot\mathbf{x}_{B}+F\cdot\mathbf{x}_{F}=\mathbf{b}</math>

con <math>F</math> matrice contenente le colonne di <math>A</math> escluse dalla base ammissibile <math>B</math>.

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Ancora si può riscrivere la relazione precedente come:

:<math>B\cdot\mathbf{x}_{B}=\mathbf{b}-F\cdot\mathbf{x}_{F}\Rightarrow\mathbf{x}_{B}=B^{-1}\cdot\mathbf{b}-B^{-1}\cdot F\cdot\mathbf{x}_{F}</math>

e, andando a sostituire la relazione nella funzione obiettivo relativa al problema iniziale, si ha:

:<math>\mathbf{c}^{T}\mathbf{x}=\left[\begin{bmatrix}

\mathbf{c}_{B}^{T} & \mathbf{c}_{F}^{T}\end{bmatrix}\right]\cdot\left[\begin{bmatrix}

\mathbf{x}_{B}\\

\mathbf{x}_{F}\end{bmatrix}\right]\Rightarrow</math>

:<math>\mathbf{c}^{T}\mathbf{x}=\left[\begin{bmatrix}

\mathbf{c}_{B}^{T} & \mathbf{c}_{F}^{T}\end{bmatrix}\right]\cdot\left[\begin{bmatrix}

B^{-1}\cdot\mathbf{b}-B^{-1}\cdot F\cdot\mathbf{x}_{F}\\

\mathbf{x}_{F}\end{bmatrix}\right]\Rightarrow</math>

:<math>\mathbf{c}^{T}\mathbf{x}=\mathbf{c}_{B}^{T}B^{-1}\mathbf{b}+\mathbf{x}_{F}\cdot\left(\mathbf{c}_{F}^{T}-\mathbf{c}_{B}^{T}B^{-1}F\right)\mathbf{x}_{F}=\mathbf{c}^{T}\mathbf{x}+k</math>

con <math>k</math> valore costante e <math>\mathbf{c}^{T}:=\mathbf{c}_{F}_F^{T}-\mathbf{c}_{B}^{T}B^{-1}A</math> vettore dei costi ridotti.

Sotto tali condizioni se il vettore dei costi ridotti risulta non negativo, la soluzione base ammissibile associata ad <math>A</math> risulta essere ottima. Ciò significa che il valore assunto dalla funzione obiettivo <math>\gamma\left(\mathbf{x}\right)</math> è il minimo globale per la funzione nel dominio considerato.

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* [[Programmazione matematica]]

* [[Ricerca operativa]]

== Altri progetti ==

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== Collegamenti esterni ==

* {{MathWorld|2=SimplexCollegamenti Methodesterni}}

* {{SpringerEOMFOLDOC|autore=E.G.simplex Gol'shteinmethod|titolo=Simplexsimplex method}}

* {{en}} [https://web.archive.org/web/20060518080331/http://www.egwald.com/operationsresearch/lpsimplex.php Algoritmo del simplesso], di Elmer G. Wiens. Dimostra l'algoritmo del dettaglio, usando la ''simplex tableau''.

* {{cita web|url=http://www.univ.trieste.it/~orts/didattica/LezioniRicercaOperativa/prog_lineare/simplesso/|titolo=Risoluzione di problemi di programmazione lineare mediante il metodo del simplesso|sito=Operations Research Group|editore=University of Trieste|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20080225142205/http://www.univ.trieste.it/~orts/didattica/LezioniRicercaOperativa/prog_lineare/simplesso/|dataarchivio=25 febbraio 2008|urlmorto=sì}}