Algoritmo di Edmonds: differenze tra le versioni

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== Descrizione ==

L'algoritmo accetta in ingresso un grafo orientato e pesato ''G'' = ''(V,A,w,a)'', dove ''V'' è l'insieme dei nodi, ''A'' l'insieme degli archi, ''w: A'' → ''R⁺'' una funzione dall’insiemedall'insieme degli archi all’insiemeall'insieme dei [[Numero reale|numeri reali]] e ''a'' il nodo che si richiede essere radice dell'albero. In uscita restituisce l'albero orientato di supporto a costo minimo ''T* = (V,A*,w,a)'', dove ''A*'' è un sottoinsieme di ''A'' formato da ''card(V ) - 1'' archi. Durante l’esecuzionel'esecuzione l’algoritmol'algoritmo opera su grafi intermedi ''G_i = (V,A_i,w,a)'' e su alberi intermedi ''T_j = (V_j, A*_j,w,a)'' che vengono man mano modificati.

All'inizio vengono eliminati gli archi entranti nella radice ''a'', evidentemente estranei all'albero richiesto. Successivamente l'algoritmo opera in due fasi, dette rispettivamente di contrazione, o fase C, e di espansione, o fase E: durante una fase C si contrae il grafo ''G_i = (V,A_i,w,a)'' per eliminare i suoi eventuali cicli; durante la fase E si espande l’alberol'albero ''T_j = (V_j, A*_j,w,a)'' per far riemergere i nodi dei cicli che erano stati contratti. Sia durante la fase di contrazione che durante la fase di espansione avviene la scelta degli archi presenti nella soluzione finale ''T* = (V,A*,w,a)''.

Consideriamo la '''fase di contrazione''' che accetta in ingresso il grafo ''G'' = ''(V,A,w,a)'' :

;'''passo 1.''': Per ogni nodo si seleziona l'arco entrante di peso inferiore. Dal momento che la radice non ha archi entranti, rimangono ''card(V ) - 1'' archi. Se non ci sono cicli la fase di contrazione è terminata e si restituisce l’alberol'albero ''T₁ = (V₁, A*₁,w,a)''.

;'''passo 2'''.: Se ci sono cicli si procede a considerarli secondo un ordine qualsiasi:

:::'''a.'''  Ulteriori eventuali archi del grafo di partenza che congiungono i nodi del ciclo sono eliminati dall’insiemedall'insieme degli archi.

:::'''b.'''  Tutti gli archi che entrano in uno dei nodi del ciclo vanno rietichettati secondo il seguente criterio: siano ''j'' ed ''i'' rispettivamente un nodo del ciclo e un nodo che non vi appartiene tali che esista l'arco ''(i,j)'' con peso ''w_i,j''; sia inoltre ''(k,j)'' l'arco del ciclo che termina in ''j'' (avente peso ''w_k,j''); allora il peso rietichettato associato all'arco ''(i,j)'' sarà:

::::::::''w_i,j'' = ''w_i,j - w_k,j''

:::cioè dal peso di ogni arco entrante nel ciclo si sottrae il peso dell'arco del [[ciclo diretto]] allo stesso nodo in cui entra l'arco che si sta rietichettando.

:::'''c.'''  Si fanno collassare i nodi del ciclo in un super-nodo.

:::'''d.'''  Tra tutti gli archi rietichettati e paralleli che entrano in un super-nodo si conserva quello di peso inferiore e si eliminano tutti gli altri.

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;'''passo 3.''': Torniamo al passo 1 e applichiamo la manovra di contrazione sul grafo ridotto ''G_i+1'' ottenuto.

Consideriamo ora la '''fase di espansione''' che accetta in ingresso l’alberol'albero ''T₁ = (V₁, A*₁,w,a)'' ottenuto al termine della precedente fase di contrazione:

;'''passo 1.''': Consideriamo un super-nodo e l'arco entrante, l'arco entrante appartiene alla soluzione finale ''T* = (V,A*,w,a)'' e viene etichettato come era in origine.

;'''passo 2.''': Il super-nodo viene espanso nei nodi originali e tra gli archi del ciclo bisogna eliminarne uno; tra i nodi del ciclo uno ha due archi entranti: l'arco appena aggiunto alla soluzione e l'arco del ciclo, quest'ultimo viene eliminato, gli altri archi del ciclo vengono aggiunti alla soluzione.

;'''passo 3.''': Si torna al passo 1 finché abbiamo espanso tutti i super-nodi.

Alla contrazione di ogni ciclo in un supernodo durante una fase C, corrisponde l’espansionel'espansione di tale supernodo nel ciclo di partenza durante la fase E.

== Esempio 1 ==

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|Grafo d’ingressod'ingresso ''G = (V,A,w,a)''

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|[[Image:|200px]]

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|[[Image:|200px]]

|Seconda manovra di contrazione: passo 2.b

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|[[Image:|200px]]

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|Grafo d’ingressod'ingresso ''G = (V,A,w,a)''

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|[[Image:|200px]]

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* [[Robert Tarjan]]: ''Finding Optimum Branchings'', Networks, v.7, 1977, pp. 25–35.

* P.M. Camerini, L. Fratta, F. Maffioli: ''A note on finding optimum branching'', Networks, v.9, (1979), pp. 309–312.

* Alan Gibbons: ''Algorithmic Graph Theory,'' Cambridge University Press, (1985(), ISBN 0-521-28881-9

* H. N. Gabow, Z. Galil, T. Spencer, R. E. Tarjan: ''Efficient algorithms for finding minimum spanning trees in undirected and directed graphs'', Combinatorica 6 (1986), 109-122.

* Y. Zhang: ''Parallel algorithms for minimal spanning trees of directed graphs'', Int. J. Parallel Program., 3 (June 1990), pp. 109–122

* T. Magnanti, L. Wolsey: ''Handbooks in Operational ResearhResearch and Management Science: Optimal Trees'' (1995) <!--???-->

== Collegamenti esterni ==

*[https://web.archive.org/web/20100109052208/http://www.ce.rit.edu/~sjyeec/dmst.html The Directed Minimum Spanning Tree Problem] Description of the algorithm summarized by Shanchieh Jay Yang, May 2000.

*[http://edmonds-alg.sourceforge.net/ Edmonds's algorithm ( edmonds-alg )] - An [[open source]] implementation of Edmonds's algorithm written in [[C++]] and licensed under the [[MIT License]]. This source is using Tarjan's implementation for the dense graph.

*[https://web.archive.org/web/20090511193102/http://algowiki.net/wiki/index.php/Edmonds%27s_algorithm's_algorithm AlgoWiki - Edmonds's algorithm] - A public-___domain implementation of Edmonds's algorithm written in [[Java (programminglinguaggio di languageprogrammazione)|Java]].

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[[Categoria:Teoria dei grafi]]

[[Categoria:TeoriaAlgoritmi deisui grafi|Edmonds]]