Numero irrazionale: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], un '''numero irrazionale''' è unaun grande festa per persone contesta di cavalli e puzza di caciotta .[[numero reale]] che non è un [[numero razionale]], cioè non può essere scritto come una [[frazione (matematica)|frazione]] ''a / b'' con ''a'' e ''b'' [[numeri interi|interi]] e ''b'' diverso da [[zero|0]]. I numeri irrazionali sono esattamente quei numeri la cui espansionerappresentazione in qualunquequalsiasi [[Base (aritmetica)|base]] ([[Sistema numerico decimale|decimale]], [[Sistema numerico binario|binaria]], ecc.) non terminaha mai etermine noned formaallo unastesso tempo non presenta sequenzasequenze periodicaperiodiche.

L'introduzione di questi numeri nel panorama matematico è iniziata con la scoperta da parte dei greci delle grandezze incommensurabili, ossia prive di un sottomultiplo comune.

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Alcuni numeri irrazionali sono [[numero algebrico|numeri algebrici]] come <math>\sqrt{2}</math> (la [[radice quadrata]] di [[due|2]]) e <math>\sqrt[3]{5}</math> (la [[radice cubica]] di [[cinque|5]]); altri sono [[numero trascendente|numeri trascendenti]] come [[Pi greco|π]] ed [[E (costante matematica)|e]].

== Cenni storiciStoria ==

La scoperta dei numeri irrazionali viene tradizionalmente attribuita a [[Pitagora]], o più precisamente al [[Scuola pitagorica|pitagorico]] [[Ippaso di Metaponto]],<ref>Kurt von Fritz, "The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum", ''Annals of Mathematics'', Second Series, Vol. 46, No. 2 (April, 1945), pp. 242-264.</ref> che produsse una argomentazione (probabilmente con considerazioni geometriche) dell'irrazionalità della [[radice quadrata di 2]]. Secondo la tradizione Ippaso scoprì i numeri irrazionali mentre tentava di rappresentare la radice quadrata di 2 come frazione (vedi la dimostrazione sotto). Tuttavia Pitagora credeva nell'assolutezza dei numeri, e non poteva accettare l'esistenza dei numeri irrazionali. Egli non era in grado di confutare la loro esistenza con la logica, ma le sue credenze non potevano tollerarne l'esistenza e, secondo una leggenda, per questo condannò Ippaso a morire annegato.

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=== Irrazionalità della radice quadrata di 2 ===

Una dimostrazione dell'irrazionalità della [[radice quadrata di due]] (trasmessa da [[Archita]]) è la seguente, che procede [[Dimostrazione per assurdo|per assurdo]]., Laovvero proposizione è provata assumendosupponendo l'opposto della proposizione iniziale e mostrando che è falso,: checiò implica che la proposizione iniziale debba essere vera.

Supponiamo che <math>\sqrt{2}</math> sia un numero razionale. Ciò comporta che esistono due interi ''a'' e ''b'' [[interi coprimi|privi di fattori comuni]] tali che <math>\frac{a}{b} = \sqrt{2}</math>. Elevando al quadrato ad ambo i membri, si ha <math>\frac{a^2}{b^2} =2</math>, cioè <math>a^2=2b^2</math>.

Questo implica che ''<math>a''²^2</math>, essendo il doppio di <math>b^2</math>, è pari.

Poiché il quadrato di un [[Numeri pari e dispari|numero pari]] è pari (<math>(2k)^2=2(2k^2)</math>), mentre il quadrato di un numero dispari è dispari (<math>(2k+1)^2=2(2k^2+2k)+1</math>), ne deriva che ''a'' è pari, ossia esiste ''k'' intero tale che ''a''=2''k''.

Sostituendo abbiamo

:<math>a^2=(2k)^2=4k^2=2b^2 \Longrightarrow b^2=2k^2</math>

cioè risulta che anche ''b'' è pari,. eRisulta quindi che ''a'' e ''b'', essendo entrambi pari, hanno in comune unil fattoredivisore 2, il che è impossibile perché lierano avevamostati assunti privi di fattori comuni.

PoichéEssendo abbiamostata ottenutoottenuta una contraddizione con l'assunzione che <math>\sqrt 2</math> sia un numero razionale, essa deve essere falsa. Dunque abbiamosi è dimostrato l'opposto, cioè che <math>\sqrt{2}</math> è irrazionale, che era la proposizione di partenza.

Questa dimostrazione si può generalizzare per dimostrare che qualunque radice di qualunque [[numero naturale]] è un numero naturale o è irrazionale.

Un'altra dimostrazione per assurdo che dimostra l'irrazionalità di <math>\sqrt 2</math> è meno conosciuta ma interessante. Essa procede osservando che se <math>\sqrt 2 = \frac{m}{n}</math> allora sfruttando il fatto che <math>2 = \frac{m^2}{n^2}</math> si ottiene <math>\sqrt 2 = \frac{2n - m}{m - n}</math>, quindi una frazione ai minimi termini viene ridotta in termini ancora minori. Questa è una contraddizione se <math>n</math> e <math>m</math> sono interi positivi, dunque l'assuzioneassunzione che <math>\sqrt 2</math> sia razionale deve essere falsa. Da un [[triangolo rettangolo]] isoscele di cui i [[Cateto|cateti]] e l'[[ipotenusa]] abbiano rispettivamente lunghezze <math>n</math> e <math>m</math>, tramite una classica costruzione con riga e compasso, è possibile costruire un [[triangolo isoscele]] rettangolo più piccolo tale che i cateti e l'ipotenusa abbiano rispettivamente lunghezze <math>m - n</math> e <math>2n - m</math>. Questa costruzione dimostra l'irrazionalità di <math>\sqrt 2</math> con lo stesso tipo di metodo che fu impiegato dagli antichi geometri greci.

=== Irrazionalità dei logaritmi ===

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== Numeri irrazionali ed espansioni decimali ==

Spesso si crede che i matematici definiscano "numero irrazionale" in termini di [[espansione decimale]], chiamando un numero ''irrazionale'' se la sua espansione decimale non si ripete né termina. Nessun matematico utilizza tale definizione, in quanto la scelta della [[Sistema di numerazione|base 10]] sarebbe arbitraria e la definizione tipica è più semplice e più motivata. Tuttavia è vero che un numero razionale si può esprimere nella forma <math>n /m</math>, dove <math>n</math> ed <math>m</math> sono [[Numero intero|interi]], [[se e solo se]] la sua espansione decimale si ripete o è finita. Quando l'[[algoritmo di divisione]] ("in colonna") viene applicato alla divisione di <math>n</math> per <math>m</math>, sono possibili solo <math>m</math> [[Resto|resti]]. Se <math>0</math> appare come resto, l'espansione decimale si conclude. Se <math>0</math> non compare, allora l'algoritmo può richiedere al massimo <math>m - 1</math> passi senza usare ogni resto più di una volta. Dopodiché, un resto deve ricomparire, e quindi l'espansione decimale si ripete. Al contrario, supponiamo di essere di fronte ad un decimale periodico, ad esempio:

:<math>A=0,7\,162\,162\,162\,\dots</math>

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== Numeri di cui non è accertata l'irrazionalità ==

{{senza fonte|Non si sa ancora se <math>\pi + e</math> o <math>\pi - e</math> siano irrazionali o no. Infatti, non c'è nessuna coppia di interi non nulli ''<math>m''</math> ed ''<math>n''</math> per cui si sappia se <math>m \pi + n e</math> è irrazionale o no. Non si sa neanche se <math>2^e</math>, <math>\pi^e</math>, <math>\pi^\sqrt{2}</math> o la [[costante di Eulero-Mascheroni]] siano irrazionali.}}

== Topologia ==

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== Altri progetti ==

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== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{FOLDOC|irrational number|irrational number}}

{{algebra}}