Doppio pendolo: differenze tra le versioni

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[[File:Double-Pendulum.svg|thumb|upright=0.8|Il doppio pendolo è costituito da due [[Pendolo|pendoli]] attaccati uno all'estremità dell'altro.]]

{{T|lingua=inglese|argomento=fisica|data=maggio 2011}}

{{S|fisica}}

[[Image:Double-Pendulum.svg|right|thumb|180px|Il doppio pendolo é costituito da due [[Pendolo|pendoli]] attaccati uno all'estremità dell'altro. <!--A double pendulum consists of two [[pendulum]]s attached end to end.-->]]

IlIn [[fisica classica]], in particolare in [[meccanica classica]], il '''doppio pendolo''' è un [[sistema [[fisica|fisico]] costituito da due [[pendolo|pendoli]] attaccati uno all'estremità dell'altro. Ile liberi ciascuno di oscillare rispetto al loro punto di vincolo: il suo [[sistema dinamico|comportamento dinamico]] è fortemente sensibile a piccole variazioni delle [[condizioni iniziali]] e, per alcuni valori dell'[[energia]], il suo moto risultante è [[Sistema caotico|caotico]].

==Analisi==

<!--

Si possono considerare diverse varianti del doppio pendolo; i due bracci possono avere lunghezze e masse uguali o diverse, possono essere [[pendolo semplice|pendoli semplici]] o [[pendolo composto|composti]] (detti anche pendoli complessi) e il moto può avvenire in tre dimensioni o limitato al solo piano verticale. Nella seguente analisi, i bracci sono considerati due pendoli composti identici di lunghezza <math>\ell</math> e le masse <math>m</math>, e il moto è limitato ad un piano.

{{No footnotes|date=April 2010}}

[[File:Double-compound-pendulum-dimensioned.svg|thumb|Doppio pendolo composto, formato da due bracci identici di lunghezza <math>\ell</math> e massa <math>m</math>.]]

In [[mathematics]], in the area of [[dynamical systems]], a '''double pendulum''' is a [[pendulum]] with another pendulum attached to its end, and is a simple [[physical system]] that exhibits rich [[dynamical systems|dynamic behavior]] with a strong sensitivity to initial conditions. The motion of a double pendulum is governed by a set of coupled [[ordinary differential equation]]s. For certain [[energy|energies]] its motion is [[chaos theory|chaotic]].

In un pendolo composto, la massa è distribuita su tutta la lunghezza. Se la massa è distribuita uniformemente, allora il [[centro di massa]] di ogni braccio si trova alla sua metà, ed il [[momento di inerzia]] rispetto a tale punto è <math>\textstyle I=\frac{1}{12} m \ell^2</math>. Il momento di inerzia di una sbarra che ruota intorno ad uno dei suoi estremi è dato da <math>\textstyle I=\frac{1}{3} m \ell^2</math>.

==Analysis==

Several variants of the double pendulum may be considered; the two limbs may be of equal or unequal lengths and masses, they may be [[simple pendulum]]s or [[compound pendulum]]s (also called complex pendulums) and the motion may be in three dimensions or restricted to the vertical plane. In the following analysis, the limbs are taken to be identical compound pendulums of length <math>\ell</math> and mass <math>m</math>, and the motion is restricted to two dimensions.

[[Image:Double-compound-pendulum-dimensioned.svg|right|thumb|200px|Double compound pendulum.]]

È utile usare l'angolo tra ciascuno dei bracci e l'asse verticale come [[coordinate generalizzate|coordinata generalizzata]] per definire lo [[spazio delle configurazioni]]; questi angoli sono indicati con θ₁ e θ₂. La posizione del centro di massa di ogni braccio può essere scritta in funzione di queste due coordinate; se si prende come origine di un [[sistema di riferimento cartesiano]] il punto di sospensione del primo pendolo, allora le coordinate del centro di massa di questo pendolo sono

In a compound pendulum, the mass is distributed along its length. If the mass is evenly distributed, then the centre of mass of each limb is at its midpoint, and the limb has a [[moment of inertia]] of <math>\textstyle I=\frac{1}{12} m \ell^2</math> about that point. The moment of inertia of a rod rotating around an axis attached to one of its ends equals <math>\textstyle I=\frac{1}{3} m \ell^2</math>.

It is convenient to use the angle between each limb and the vertical as the [[generalized coordinates]] defining the [[configuration space|configuration]] of the system. These angles are denoted θ₁ and θ₂. The position of the centre of mass of each rod may be written in terms of these two coordinates. If the origin of the [[Cartesian coordinate system]] is taken to be at the point of suspension of the first pendulum, then the centre of mass of this pendulum is at:

:<math>

x_1 = \frac{\ell}{2} \sin \theta_1,

</math>

:<math>

y_1 = -\frac{\ell}{2} \cos \theta_1,

</math>

mentre per il secondo pendolo si ha

and the centre of mass of the second pendulum is at

:<math>

x_2 = \ell \left ( \sin \theta_1 + \frac{1}{2} \sin \theta_2 \right ),

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y_2 = -\ell \left ( \cos \theta_1 + \frac{1}{2} \cos \theta_2 \right ).

</math>

Con queste informazioni si può scrivere la [[lagrangiana]] del sistema.

This is enough information to write out the Lagrangian.

===LagrangianLagrangiana===

La lagrangiana è

The [[Lagrangian]] is

:<math>

\begin{align}L & = \mathrm{KineticEnergia~Energycinetica} - \mathrm{PotentialEnergia~Energypotenziale} \\

& = \frac{1}{2} m \left ( v_1^2 + v_2^2 \right ) + \frac{1}{2} I \left ( {\dot \theta_1}^2 + {\dot \theta_2}^2 \right ) - m g \left ( y_1 + y_2 \right ) \\

& = \frac{1}{2} m \left ( {\dot x_1}^2 + {\dot y_1}^2 + {\dot x_2}^2 + {\dot y_2}^2 \right ) + \frac{1}{2} I \left ( {\dot \theta_1}^2 + {\dot \theta_2}^2 \right ) - m g \left ( y_1 + y_2 \right ) \end{align}

</math>

The first term is the ''linear'' [[kinetic energy]] of the [[center of mass]] of the bodies and the second term is the ''rotational'' kinetic energy around the center of mass of each rod. The last term is the [[potential energy]] of the bodies in a uniform gravitational field. The dot-notation indicates the [[time derivative]] of the variable in question.

Il primo termine è l'[[energia cinetica]] di traslazione del centro di massa dei due bracci e il secondo è l'energia cinetica rotazionale intorno al centro di massa di ciascun braccio. Il terzo termine è l'[[energia potenziale gravitazionale]] assumendo una [[accelerazione]] costante <math>g</math>. La notazione <math>{\dot x}</math> indica la [[derivata]] rispetto al tempo ([[notazione di Newton]]).

Substituting the coordinates above and rearranging the equation gives

Sostituendo le coordinate definite sopra e riordinando le equazioni si trova

:<math>

L = \frac{1}{6} m \ell^2 \left [ {\dot \theta_2}^2 + 4 {\dot \theta_1}^2 + 3 {\dot \theta_1} {\dot \theta_2} \cos (\theta_1-\theta_2) \right ] + \frac{1}{2} m g \ell \left ( 3 \cos \theta_1 + \cos \theta_2 \right ).

</math>

[[ImageFile:double-compound-pendulum.gif|right|frame|MotionMoto ofdi theun doubledoppio compoundpendolo pendulumcomposto (fromcalcolato numericalcon integration[[integrazione ofnumerica]] thedelle equationsequazioni ofdel motionmoto).]]

[[File:DPLE.jpg|thumb|Una luce all'estremità del doppio pendolo lascia una traccia del proprio movimento in questa foto a lunga esposizione. L'evoluzione caotica del sistema crea una figura complessa e apparentemente disordinata.]]

[[Image:DPLE.jpg|right|thumb|216px|Long exposure of double pendulum exhibiting chaotic motion (tracked with an [[LED]])]]

There is only one conserved quantity (the energy), and no conserved [[generalized momentum|momenta]]. The two momenta may be written as

L'unica quantità conservata in questo sistema è l'energia, e non ci sono [[momento generalizzato|momenti generalizzati]] conservati. I due momenti possono essere scritti come

:<math>

p_{\theta_1} = \frac{\partial L}{\partial {\dot \theta_1}} = \frac{1}{6} m \ell^2 \left [ 8 {\dot \theta_1} + 3 {\dot \theta_2} \cos (\theta_1-\theta_2) \right ]

</math>

e

and

:<math>

p_{\theta_2} = \frac{\partial L}{\partial {\dot \theta_2}} = \frac{1}{6} m \ell^2 \left [ 2 {\dot \theta_2} + 3 {\dot \theta_1} \cos (\theta_1-\theta_2) \right ].

</math>

Invertendo queste espressioni si trova

These expressions may be inverted to get

:<math>

{\dot \theta_1} = \frac{6}{m\ell^2} \frac{ 2 p_{\theta_1} - 3 \cos(\theta_1-\theta_2) p_{\theta_2}}{16 - 9 \cos^2(\theta_1-\theta_2)}

</math>

e

and

:<math>

{\dot \theta_2} = \frac{6}{m\ell^2} \frac{ 8 p_{\theta_2} - 3 \cos(\theta_1-\theta_2) p_{\theta_1}}{16 - 9 \cos^2(\theta_1-\theta_2)}.

</math>

Le altre equazioni del moto sono

The remaining equations of motion are written as

:<math>

{\dot p_{\theta_1}} = \frac{\partial L}{\partial \theta_1} = -\frac{1}{2} m \ell^2 \left [ {\dot \theta_1} {\dot \theta_2} \sin (\theta_1-\theta_2) + 3 \frac{g}{\ell} \sin \theta_1 \right ]

</math>

e

and

:<math>

{\dot p_{\theta_2}} = \frac{\partial L}{\partial \theta_2}

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</math>

Queste ultime quattro equazioni sono formule esplicite per l'evoluzione temporale del sistema dato il suo stato attuale. Non è possibile integrare queste equazioni analiticamente e ottenere formule per θ₁ e θ₂ in funzione del tempo{{cn}}. Si può tuttavia usare un'[[integrazione numerica]], ad esempio con i [[metodi di Runge-Kutta]].

These last four equations are explicit formulae for the time evolution of the system given its current state. It is not possible to go further and integrate these equations analytically, to get formulae for θ₁ and θ₂ as functions of time. It is however possible to perform this integration numerically using the [[Runge–Kutta methods|Runge Kutta]] method or similar techniques.

==ChaoticMoto motioncaotico==

[[ImageFile:Double_pendulum_flips_graph.png|thumb|GraphGrafico ofdel thetempo timenecessario forperché theil pendulumpendolo tosi flipcapovolga, overin asfunzione adelle functioncondizioni of initial conditionsiniziali]]

TheIl doubledoppio pendulumpendolo undergoessi muove con [[chaoticsistema motioncaotico|moto caotico]], andcioè showsla asua sensitiveevoluzione dependenceè onmolto sensibile alle [[initialcondizioni conditionsiniziali]]. L'immagine Thea imagedestra tomostra theil righttempo showstrascorso theprima amountche ofil elapsedpendolo timesi before the pendulum "flips overcapovolga," asin afunzione functiondelle ofcondizioni initial conditions. Here,iniziali; theil initialvalore valueiniziale ofdi θ₁ ranges(direzione alongorizzontale thenel ''x''-direction,grafico) fromva &minus;3da to−3 a 3. The initial, valuee θ₂ ranges(direzione alongverticale thenel ''y''-direction,grafico) fromva &minus;3da to−3 a 3. Il The colourcolore ofindica eachse pixeluno indicatesdei whetherdue eitherpendoli pendulumsi flipscapovolge withinentro <math>10\sqrt{\ell/g }</math> (greenin verde), withinentro <math>100\sqrt{\ell/g }</math> (redrosso), <math>1000\sqrt{\ell/g }</math> (purpleviola) oro <math>10000\sqrt{\ell/g }</math> (blueblu). Le Initialcondizioni conditionsiniziali thatche don'tnon leadportano toal acapovolgimento flip withinentro <math>10000\sqrt{\ell/g }</math> aresono plottedin whitebianco.

The boundary of the central white region is defined in part by energy conservation with the following curve:

Il bordo della regione bianca è definito in parte dalla conservazione dell'energia secondo la curva

:<math>

3 \cos \theta_1 + \cos \theta_2 = 2. \,

</math>

All'interno della regione definita da questa curva, cioè se

Within the region defined by this curve, that is if

:<math>

3 \cos \theta_1 + \cos \theta_2 > 2, \,

</math>

è energeticamente impossibile il capovolgimento per ciascun pendolo. Fuori da questa regione il pendolo può capovolgersi, ma è complicato determinare quando.

La mancanza di una frequenza di risonanza rende utile il doppio pendolo nel progetto di [[Ingegneria sismica|edifici antisismici]]. L'idea è di vedere l'intero edificio come un [[pendolo invertito]], e di aggiungere una massa secondaria per completare il doppio pendolo. La massa secondaria è solitamente un grosso peso sospeso all'interno dell'edificio. Il grattacielo taiwanese [[Taipei 101]], è dotato alla sua sommità di un [[mass damper]] di 660 tonnellate.

then it is energetically impossible for either pendulum to flip. Outside this region, the pendulum can flip, but it is a complex question to determine when it will flip.

==Bibliografia==

The lack of a natural excitation frequency has led to the use of double pendulum systems in seismic resistance designs in buildings, where the building itself is the primary inverted pendulum, and a secondary mass is connected to complete the double pendulum.

*{{Cita libro|cognome=Meirovitch|nome=Leonard|anno=1986|titolo=Elements of Vibration Analysis|url=https://archive.org/details/elementsofvibrat0000meir|ed=2|editore=McGraw-Hill Science/Engineering/Math|ISBN=0-07-041342-8}}

==SeeAltri alsoprogetti==

{{interprogetto|preposizione=sul}}

* [[Pendulum (mathematics)]]

==Collegamenti esterni==

==References==

*{{cite book

| last = Meirovitch

| first = Leonard

| year = 1986

| title = Elements of Vibration Analysis

| edition = 2nd edition

| publisher = McGraw-Hill Science/Engineering/Math

| isbn = 0-07-041342-8

}}

* Eric W. Weisstein, ''[http://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html Double pendulum]'' (2005), ScienceWorld ''(contains details of the complicated equations involved)'' and "[http://demonstrations.wolfram.com/DoublePendulum/ Double Pendulum]" by Rob Morris, [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007 (animations of those equations).

* Peter Lynch, ''[http://www.maths.tcd.ie/~plynch/SwingingSpring/doublependulum.html Double Pendulum]'', (2001). ''(Java applet simulation.)''

* Northwestern University, ''[http://www.physics.northwestern.edu/vpl/mechanics/pendulum.html Double Pendulum] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070603131902/http://www.physics.northwestern.edu/vpl/mechanics/pendulum.html |date=3 giugno 2007 }}'', ''(Java applet simulation.)''

* Theoretical High-Energy Astrophysics Group at UBC, ''[https://web.archive.org/web/20070310213326/http://tabitha.phas.ubc.ca/wiki/index.php/Double_pendulum Double pendulum]'', (2005).

*Animazioni e spiegazioni di Mike Wheatland (Univ. Sydney): [https://web.archive.org/web/20110611020230/http://www.physics.usyd.edu.au/~wheat/dpend_html/], [https://web.archive.org/web/20110519231951/http://www.physics.usyd.edu.au/~wheat/sdpend/]

*[https://www.youtube.com/watch?v=Uzlccwt5SKc&NR=1 Video] di un doppio pendolo con tre condizioni iniziali (quasi) identiche.

==External links==

*Simulazioni da [http://www.myphysicslab.com/dbl_pendulum.html www.myphysicslab.com]

*Animations and explanations of a [http://www.physics.usyd.edu.au/~wheat/dpend_html/ double pendulum] and a [http://www.physics.usyd.edu.au/~wheat/sdpend/ physical double pendulum (two square plates)] by Mike Wheatland (Univ. Sydney)

*Simulationi, equazioni e spiegazioni del [https://web.archive.org/web/20110425013922/http://www.chris-j.co.uk/rott.php Pendolo di Rott]

*[http://www.youtube.com/watch?v=Uzlccwt5SKc&NR=1 Video] of a double square pendulum with three (almost) identical starting conditions.

*Video di confronto di un doppio pendolo con le stesse condizioni iniziali su [https://www.youtube.com/watch?v=O2ySvbL3-yA YouTube]

* [https://web.archive.org/web/20110816174203/https://freddie.witherden.org/tools/doublependulum/ Double Pendulum Simulator] - Simulatore opensource scritto in [[C++]] usando il [[Qt (toolkit)|Qt tookit]].

*Double pendulum physics simulation from [http://www.myphysicslab.com/dbl_pendulum.html www.myphysicslab.com]

* Vadas Gintautas, [[Alfred Hubler|Alfred Hübler]] (2007). [https://pre.aps.org/abstract/PRE/v75/i5/e057201 Experimental evidence for mixed reality states in an interreality system, Phys. Rev. E 75, 057201] Articolo che presenta dati da un esperimento in cui un pendolo reale e uno virtuale interagiscono.

*Simulation, equations and explanation of [http://www.chris-j.co.uk/rott.php Rott's pendulum]

*Comparison videos of a double pendulum with the same initial starting conditions on [http://www.youtube.com/watch?v=O2ySvbL3-yA YouTube]

* [http://freddie.witherden.org/tools/doublependulum/ Double Pendulum Simulator] - An open source simulator written in [[C++]] using the [[Qt (toolkit)|Qt tookit]].

* [http://www.imaginary2008.de/cinderella/english/G2.html Online Java simulator] of the [[Imaginary_(exhibition)|Imaginary exhbibition]].

[[Category:Pendulums]]

[[Category:Chaotic maps]]

[[de:Doppelpendel]]

[[et:Kaksikpendel]]

[[es:doble péndulo]]

[[fr:pendule double]]

[[sv:Dubbelpendel]]

-->

==Bibliografia==

*{{cite book

| last = Meirovitch

| first = Leonard

| year = 1986

| title = Elements of Vibration Analysis

| edition = 2nd edition

| publisher = McGraw-Hill Science/Engineering/Math

| isbn = 0-07-041342-8

}}

* Eric W. Weisstein, ''[http://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html Double pendulum]'' (2005), ScienceWorld ''(contains details of the complicated equations involved)'' and "[http://demonstrations.wolfram.com/DoublePendulum/ Double Pendulum]" by Rob Morris, [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007 (animations of those equations).

* Peter Lynch, ''[http://www.maths.tcd.ie/~plynch/SwingingSpring/doublependulum.html Double Pendulum]'', (2001). ''(Java applet simulation.)''

* Northwestern University, ''[http://www.physics.northwestern.edu/vpl/mechanics/pendulum.html Double Pendulum]'', ''(Java applet simulation.)''

* Theoretical High-Energy Astrophysics Group at UBC, ''[http://tabitha.phas.ubc.ca/wiki/index.php/Double_pendulum Double pendulum]'', (2005).

{{Portale|meccanica}}

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[[Categoria:Pendolo]]

[[de:Doppelpendel]]

[[en:Double pendulum]]

[[et:Kaksikpendel]]

[[es:doble péndulo]]

[[fr:pendule double]]

[[sv:Dubbelpendel]]