Doppio pendolo: differenze tra le versioni

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[[File:Double-Pendulum.svg|right|thumb|180pxupright=0.8|Il doppio pendolo è costituito da due [[Pendolo|pendoli]] attaccati uno all'estremità dell'altro.]]

IlIn [[fisica classica]], in particolare in [[meccanica classica]], il '''doppio pendolo''' è un [[sistema [[fisica|fisico]] costituito da due [[pendolo|pendoli]] attaccati uno all'estremità dell'altro. Ile liberi ciascuno di oscillare rispetto al loro punto di vincolo: il suo [[sistema dinamico|comportamento dinamico]] è fortemente sensibile a piccole variazioni delle [[condizioni iniziali]] e, per alcuni valori dell'[[energia]], il suo moto risultante è [[Sistema caotico|caotico]].

==Analisi==

Si possono considerare diverse varianti del doppio pendolo; i due bracci possono avere lunghezze e masse uguali o diverse, possono essere [[pendolo semplice|pendoli semplici]] o [[pendolo composto|composti]] (detti anche pendoli complessi) e il moto può avvenire in tre dimensioni o limitato al solo piano verticale. Nella seguente analisi, i bracci sono considerati due pendoli composti identici di lunghezza <math>\ell</math> e le masse <math>m</math>, e il moto è limitato ad un piano.

[[File:Double-compound-pendulum-dimensioned.svg|right|thumb|200px|Doppio pendolo composto, formato da due bracci identici di lunghezza <math>\ell</math> e massa <math>m</math>.]]

In un pendolo composto, la massa è distribuita su tutta la lunghezza. Se la massa è distribuita uniformemente, allora il [[centro di massa]] di ogni braccio si trova alla sua metà, ed il [[momento di inerzia]] rispetto a tale punto è <math>\textstyle I=\frac{1}{12} m \ell^2</math>. Il momento di inerzia di una sbarra che ruota intorno ad uno dei suoi estremi è dato da <math>\textstyle I=\frac{1}{3} m \ell^2</math>.

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</math>

Il primo termine è l'[[energia cinetica]] di traslazione del centro di massa dei due bracci e il secondo è l'energia cinetica rotazionale intorno al centro di massa di ciascun braccio. Il terzo termine è l'[[energia potenziale gravitazionale]] assumendo una [[accelerazione]] costante <math>g</math>. La notazione <math>{\dot x}</math> indica la [[derivata]] rispetto al tempo ([[notazione di Newton]]).

Sostituendo le coordinate definite sopra e riordinando le equazioni si trova

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[[File:double-compound-pendulum.gif|right|frame|Moto di un doppio pendolo composto (calcolato con [[integrazione numerica]] delle equazioni del moto).]]

[[File:DPLE.jpg|right|thumb|216px|Una luce all'estremità del doppio pendolo lascia una traccia del proprio movimento in questa foto a lunga esposizione. L'evoluzione caotica del sistema crea una figura complessa e apparentemente disordinata.]]

L'unica quantità conservata in questo sistema è l'energia, e non ci sono [[momento generalizzato|momenti generalizzati]] conservati. I due momenti possono essere scritti come

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[[File:Double_pendulum_flips_graph.png|thumb|Grafico del tempo necessario perché il pendolo si capovolga, in funzione delle condizioni iniziali]]

Il doppio pendolo si muove con [[sistema caotico|moto caotico]], cioè la sua evoluzione è molto sensibile alle [[condizioni iniziali]]. L'immagine a destra mostra il tempo trascorso prima che il pendolo si capovolga, in funzione delle condizioni iniziali; il valore iniziale di θ₁ (direzione orizzontale nel grafico) va da &minus;3−3 a 3, e θ₂ (direzione verticale nel grafico) va da &minus;3−3 a 3. Il colore indica se uno dei due pendoli si capovolge entro <math>10\sqrt{\ell/g }</math> (in verde), entro <math>100\sqrt{\ell/g }</math> (rosso), <math>1000\sqrt{\ell/g }</math> (viola) o <math>10000\sqrt{\ell/g }</math> (blu). Le condizioni iniziali che non portano al capovolgimento entro <math>10000\sqrt{\ell/g}</math> sono in bianco.

Il bordo della regione bianca è definito in parte dalla conservazione dell'energia secondo la curva

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è energeticamente impossibile il capovolgimento per ciascun pendolo. Fuori da questa regione il pendolo può capovolgersi, ma è complicato determinare quando.

La mancanza di una frequenza di risonanza rende utile il doppio pendolo nel progetto di [[Ingegneria sismica|edifici antisismici]]. L'idea è di vedere l'intero edificio come un [[pendolo invertito]], e di aggiungere una massa secondaria per completare il doppio pendolo. La massa secondaria è solitamente un grosso peso sospeso all'interno dell'edificio. Il grattacielo taiwanese [[Taipei 101]], è dotato alla sua sommità di un [[mass damper]] di 660 tonnellate.

==Bibliografia==

*{{Cita libro|cognome=Meirovitch|nome=Leonard|anno=1986|titolo=Elements of Vibration Analysis|url=https://archive.org/details/elementsofvibrat0000meir|ed=2|editore=McGraw-Hill Science/Engineering/Math|ISBN=0-07-041342-8}}

*{{Cita libro

| cognome = Meirovitch

==Altri progetti==

| nome = Leonard

{{interprogetto|preposizione=sul}}

| anno = 1986

| titolo = Elements of Vibration Analysis

| edizione = 2nd edition

| editore = McGraw-Hill Science/Engineering/Math

| id=ISBN 0-07-041342-8

}}

==Collegamenti esterni==

* Eric W. Weisstein, ''[http://scienceworld.wolfram.com/physics/DoublePendulum.html Double pendulum]'' (2005), ScienceWorld ''(contains details of the complicated equations involved)'' and "[http://demonstrations.wolfram.com/DoublePendulum/ Double Pendulum]" by Rob Morris, [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007 (animations of those equations).

* Peter Lynch, ''[http://www.maths.tcd.ie/~plynch/SwingingSpring/doublependulum.html Double Pendulum]'', (2001). ''(Java applet simulation.)''

* Northwestern University, ''[http://www.physics.northwestern.edu/vpl/mechanics/pendulum.html Double Pendulum] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070603131902/http://www.physics.northwestern.edu/vpl/mechanics/pendulum.html |date=3 giugno 2007 }}'', ''(Java applet simulation.)''

* Theoretical High-Energy Astrophysics Group at UBC, ''[https://web.archive.org/web/20070310213326/http://tabitha.phas.ubc.ca/wiki/index.php/Double_pendulum Double pendulum]'', (2005).

*Animazioni e spiegazioni di Mike Wheatland (Univ. Sydney): [https://web.archive.org/web/20110611020230/http://www.physics.usyd.edu.au/~wheat/dpend_html/], [https://web.archive.org/web/20110519231951/http://www.physics.usyd.edu.au/~wheat/sdpend/]

*[httphttps://www.youtube.com/watch?v=Uzlccwt5SKc&NR=1 Video] di un doppio pendolo con tre condizioni iniziali (quasi) identiche.

*Simulazioni da [http://www.myphysicslab.com/dbl_pendulum.html www.myphysicslab.com]

*Simulationi, equazioni e spiegazioni del [https://web.archive.org/web/20110425013922/http://www.chris-j.co.uk/rott.php Pendolo di Rott]

*Video di confronto di un doppio pendolo con le stesse condizioni iniziali su [httphttps://www.youtube.com/watch?v=O2ySvbL3-yA YouTube]

* [httphttps://web.archive.org/web/20110816174203/https://freddie.witherden.org/tools/doublependulum/ Double Pendulum Simulator] - Simulatore opensource scritto in [[C++]] usando il [[Qt (toolkit)|Qt tookit]].

* Vadas Gintautas, [[Alfred Hubler|Alfred Hübler]] (2007). [httphttps://pre.aps.org/abstract/PRE/v75/i5/e057201 Experimental evidence for mixed reality states in an interreality system, Phys. Rev. E 75, 057201] Articolo che presenta dati da un esperimento in cui un pendolo reale e uno virtuale interagiscono.

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