Bootstrap (statistica): differenze tra le versioni

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Il '''bootstrap''' è una tecnica [[statistica]] di [[ricampionamento]] con reimmissione per approssimare la distribuzione campionaria di una statistica.

PermetteIl perciò'''bootstrap''' è una tecnica [[statistica]] di [[ricampionamento]] con reimmissione per approssimare la distribuzione campionaria di una statistica. Permette di approssimare media e varianza di uno [[stimatore]], costruire intervalli di confidenza e calcolare [[p-valuesvalue]] di test quando, in particolare, non si conosce la distribuzione della statistica di interesse.

Nel caso semplice di [[campionamento casuale]] semplice, il funzionamento è il seguente: consideriamo un campione effettivamente osservato di numerosità pari ad ''<math>n''</math>, diciamo <math>\mathbf{x}=(x_1,...\ldots,x_n)</math>. Da <math>\mathbf{x}</math> si ricampionano ''m''<math>B</math> altri campioni di numerosità costante pari ad ''<math>n''</math>, diciamo <math>\mathbf{x}^*_1,...\ldots,\mathbf{x}^*_m_B</math>;. inSe ciascuna<math>F</math> estrazioneè bootstrap,la ifunzione di ripartizione del dati[[fenomeno provenientialeatorio]] dal primoquale elementoè delstato campionecampionato <math>\textbf{x}</math>, cioèallora la [[funzione di ripartizione empirica]] <math>x_1\hat{F}</math>, possonoè essereun'approssimazione estrattidi più<math>F</math>; per cui un ricampionamento da essa approssima un ricampionamento dal modello originale. Per costruzione <math>\hat{F}</math> è la funzione di ripartizione di una voltavariabile ealeatoria ciascununiforme datosu ha<math>\textbf{x}</math>, probabilitàdunque paridi afatto ''ogni ricampionamento <math>\textbf{x}_k^*</math>, con <math>k=1,\dots,B</math>, è ottenuto scegliendo in modo uniforme con ripetizione <math>n''</math> divalori essereda estratto<math>\textbf{x}</math>.

Sia <math>T</math> lo stimatore di <math>\theta</math> che ci interessa studiare, diciamo <math>T(\mathbf{x})=\hat{\theta}</math>. Si calcola tale quantità per ogni campione bootstrap, <math>T(\mathbf x^*_1),...\ldots,T(\mathbf x^*_m_B)</math>. In questo modo si hanno a disposizione ''m''<math>B</math> stime di <math>\theta</math>, dalle quali è possibile calcolare la [[media (statistica)|media]] bootstrap, la [[varianza]] bootstrap, i percentili bootstrap, etcecc. che sono approssimazioni dei corrispondenti valori ignoti e portano informazioni sulla distribuzione di <math>T(\mathbf{x})</math>.

== Algoritmo bootstrap (per campione semplice) ==

Partendo quindi da queste quantità stimate è possibile calcolare [[intervallo di confidenza|intervalli di confidenza]], saggiare [[Ipotesi statistica|ipotesi]], etc.

Dato il campione <math>\textbf{x} =(x_1,\ldots, x_n)</math>:

* Si simulano <math>B</math> campioni <math>\textbf{x}^{*}_1,\ldots,\textbf{x}^{*}_B</math>, di numerosità <math>n</math> da <math>\hat{F}</math>.

* Si calcolano le <math>B</math> replicazioni corrispondenti ai campioni simulati: <math>\hat{\theta}(\textbf{x}^{*}_1),\ldots,\hat{\theta}(\textbf{x}^{*}_B)</math>, dove <math>\hat{\theta}(\textbf{x}^{*}_k) = T(\textbf{x}_k^*).</math>

* Si stima la varianza campionaria come:

::<math>\text{Var}_B(\hat{\theta}) = \frac{1}{B-1}\sum_{k=1}^B \left( \hat{\theta}(\textbf{x}^{*}_k)-\theta^* \right)^2,\quad \text{dove }\theta^* = \frac{1}{B}\sum_{k=1}^B \hat{\theta}(\textbf{x}^{*}_k).</math>

* Si stima la distorsione come:

::<math>\beta = \theta^*-\theta=\frac{1}{B}\sum_{k=1}^{B} \hat{\theta}(\textbf{x}^{*}_k)-\theta.</math>

Partendo quindi da queste quantità stimate è possibile, anche lavorando in ambito [[Statistica non parametrica|non parametrico]], calcolare [[intervallo di confidenza|intervalli di confidenza]], saggiare [[Ipotesi statistica|ipotesi]], etcecc.

== Bibliografia ==

* Efron,Bradley e Tibshirani, Robert, ''An Introduction to the Bootstrap'', New York, Chapman & Hall, 1994, ISBN 9781489945419

==Voci correlate==

* [[Metodo Monte Carlo]]

* [[Convalida incrociata]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Controllo di autorità}}

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